Группа Фриз

В математике фриз или рисунок фриза — это двумерный рисунок, повторяющийся в одном направлении. Этот термин заимствован из архитектуры и декоративного искусства , где часто используются такие повторяющиеся узоры. (См. фриз .) Узоры фризов можно разделить на семь типов в зависимости от их симметрии. Набор симметрий рисунка фриза называется группой фриза .

Группы фризов — это двумерные группы линий , повторяющиеся только в одном направлении. Они относятся к более сложным группам обоев , которые классифицируют узоры, повторяющиеся в двух направлениях, и кристаллографическим группам , которые классифицируют узоры, повторяющиеся в трех направлениях.

Общие [ править ]

Семь групп фризов
p1:T (только перевод, в горизонтальном направлении) p1m1: TV (перенос и отражение вертикальной линии) p11m: THG (перенос, отражение горизонтальной линии и отражение скольжения) p11g: TG (трансляция и скользящее отражение) p2: TR (перенос и поворот на 180°) p2mg: TRVG (перенос, вращение на 180 °, отражение вертикальной линии и отражение скольжения) p2mm: TRHVG (перенос, поворот на 180°, отражение горизонтальной линии, отражение вертикальной линии и отражение скольжения)

Формально группа фриза — это класс бесконечных дискретных групп симметрии класс групп изометрий узоров на полосе (бесконечно широком прямоугольнике), следовательно , плоскости или полосы. Группа симметрии группы фриза обязательно содержит трансляции и может содержать скользящие отражения , отражения вдоль длинной оси полосы, отражения вдоль узкой оси полосы и повороты на 180° . Всего имеется семь групп фризов, перечисленных в сводной таблице. Многие авторы представляют группы фризов в разном порядке. ^[1]^[2]

Реальные группы симметрии внутри группы фриза характеризуются наименьшим расстоянием перевода, а для групп фризов с отражением вертикальной линии или поворотом на 180° (группы 2, 5, 6 и 7) — параметром сдвига, определяющим ось отражения. или точка вращения. В случае групп симметрии в плоскости дополнительными параметрами являются направление вектора трансляции, а для групп фризов с горизонтальным линейным отражением, скользящим отражением или поворотом на 180° (группы 3–7) – положение отражения. ось или точка вращения в направлении, перпендикулярном вектору перемещения. Таким образом, существует две степени свободы для группы 1, три для групп 2, 3 и 4 и четыре для групп 5, 6 и 7.

Для двух из семи групп фризов (группы 1 и 4) группы симметрии порождены одиночно , для четырех (группы 2, 3, 5 и 6) они имеют пару образующих, а для группы 7 группы симметрии требуют трех образующих. . Группа симметрии в группе фриза 1, 2, 3 или 5 является подгруппой группы симметрии в последней группе фриза с тем же расстоянием перевода. Группа симметрии в группе фриза 4 или 6 — это подгруппа группы симметрии в последней группе фриза с половиной поступательного расстояния. Эта последняя группа фризов содержит группы симметрии простейших периодических узоров в полосе (или плоскости), ряду точек. Любое преобразование плоскости, оставляющее этот шаблон инвариантным, может быть разложено на сдвиг ( x , y ) ↦ ( n + x , y ) , за которым необязательно следует отражение по любой горизонтальной оси ( x , y ) ↦ ( x , - y ) или вертикальная ось, ( x , y ) ↦ (- x , y ) , при условии, что эта ось выбрана через или посередине между двумя точками, или поворот на 180 °, ( x , y ) ↦ (- x , − y ) (то же самое). Поэтому в каком-то смысле эта группа фризов содержит «самые большие» группы симметрии, состоящие из всех подобных преобразований.

Включение условия дискретности заключается в исключении группы, содержащей все переводы, и групп, содержащих сколь угодно малые сдвиги (например, группу горизонтальных сдвигов на рациональные расстояния). Даже если не считать масштабирования и сдвига, существует бесконечно много случаев, например, при рассмотрении рациональных чисел, знаменателями которых являются степени данного простого числа.

Включение условия бесконечности заключается в исключении групп, не имеющих переводов:

группа только с единицей (изоморфна C ₁ , тривиальной группе порядка 1).
группа, состоящая из единицы и отражения по горизонтальной оси (изоморфна C ₂ , циклической группе порядка 2).
группы, каждая из которых состоит из идентичности и отражения на вертикальной оси (то же самое)
группы, каждая из которых состоит из идентичности и поворота на 180 ° вокруг точки на горизонтальной оси (то же самое)
группы, каждая из которых состоит из идентичности, отражения по вертикальной оси, отражения по горизонтальной оси и поворота на 180 ° вокруг точки пересечения (изоморфно четырехгруппе Клейна )

Описания семи групп фризов [ править ]

В дискретной группе фризов есть семь различных подгрупп (вплоть до масштабирования и смещения узоров), создаваемых перемещением, отражением (вдоль одной оси) и поворотом на 180°. Каждая из этих подгрупп представляет собой группу симметрии фриза, а образцы рисунков показаны на рис. 1. Семь различных групп соответствуют 7 бесконечным сериям осевых точечных групп в трех измерениях с n = ∞. ^[3]

Они идентифицированы в таблице ниже с использованием нотации Германа-Могена , нотации Коксетера , нотации Шёнфлиса , орбифолдной нотации , прозвищ, созданных математиком Джоном Х. Конвеем , и, наконец, описания с точки зрения перевода, отражения и вращения.

Фризовые группы
МУК	Кокс.	Хороший. ^*	Орбифолд		Описание
п1	[∞] ⁺	C _∞ Z _∞	∞∞	прыгать	(T) Только переводы: Эта группа генерируется отдельно путем перемещения на наименьшее расстояние, на котором образец является периодическим.
p11g	[∞ ⁺,2 ⁺]	S _∞ Z _∞	∞×	шаг	(ТГ) Скользящие отражения и переводы: Эта группа генерируется отдельно посредством скользящего отражения, а переводы получаются путем объединения двух скользящих отражений.
п1м1	[∞]	C _∞v Dih _∞	*∞∞	мы ели	(ТВ) Вертикальные линии отражения и переводы: Группа аналогична нетривиальной группе в одномерном случае; оно генерируется перемещением и отражением по вертикальной оси.
п2	[∞,2] ⁺	D _∞ Dih _∞	22∞	вращающийся хоп	(TR) Трансляции и повороты на 180°: Группа создается путем перемещения и поворота на 180°.
п2мг	[∞,2 ⁺]	D _∞d Dih _∞	2*∞	вращающаяся сторона	(TRVG) Вертикальные линии отражения, скользящие отражения, перемещения и повороты на 180°: Переводы здесь возникают из-за скользящих отражений, поэтому эта группа генерируется скользящим отражением и либо вращением, либо вертикальным отражением.
п11м	[∞ ⁺,2]	C _∞h Z _∞×Dih ₁	∞*	прыгать	(THG) Трансляции, Горизонтальные отражения, Скользящие отражения: Эта группа генерируется перемещением и отражением по горизонтальной оси. Отражение скольжения здесь возникает как сочетание поступательного движения и горизонтального отражения.
п2мм	[∞,2]	D _∞h Dih _∞×Dih ₁	*22∞	прыжок с вращением	(TRHVG) Горизонтальные и вертикальные линии отражения, перемещения и повороты на 180°: Для этой группы требуются три генератора, причем один генераторный набор состоит из перемещения, отражения по горизонтальной оси и отражения по вертикальной оси.

^*Обозначение точечной группы Шёнфлиса здесь расширено до бесконечных случаев эквивалентных симметрий двугранных точек.

^§На диаграмме показана одна фундаментальная область желтым цветом, линии отражения - синим, линии скользящего отражения - пунктирным зеленым, нормали перемещения - красным, а точки 2-кратного вращения - маленькими зелеными квадратами.

только четыре Из семи групп фризов с точностью до изоморфизма . Два из них порождены отдельно и изоморфны $\mathbb {Z}$ ; четыре из них двукратно порождены, среди которых один абелев и три неабелевых и изоморфны $D_{\infty }$ , бесконечная группа диэдра ; и один из них имеет три генератора. ^[5]

Типы решеток: Косые и прямоугольные [ править ]

Группы можно классифицировать по типу двумерной сетки или решетки. ^[6] Наклонная решетка означает, что второе направление не обязательно должно быть ортогональным направлению повторения.

Тип решетки	Группы
Косой	п1, п2
Прямоугольный	п1м1, п11м, п11г, п2мм, п2мг

См. также [ править ]

Веб-демо и программное обеспечение [ править ]

Существуют программные графические инструменты, которые создают 2D-узоры с использованием групп фризов. Обычно весь шаблон обновляется автоматически в ответ на изменения исходной полосы.

EscherSketch Бесплатная онлайн-программа для рисования, сохранения и экспорта тесселяций. Поддерживает все группы обоев.
Kali — бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом для создания обоев, фризов и других узоров.
Kali. Архивировано 21 ноября 2020 г. на Wayback Machine . Kali можно бесплатно загрузить для Windows и Mac Classic.
Tess , программа тесселяции Nagware для нескольких платформ, поддерживает все группы обоев, фризов и розеток, а также мозаику Хеша.
FriezingWorkz — бесплатный стек Hypercard для платформы Classic Mac, поддерживающий все группы Frieze.

Ссылки [ править ]

^ Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 47–49 . ISBN 0-471-50458-0 .
^ Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии, 2-е изд . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 117–118, 165–171. ISBN 0-387-98972-2 .
^ Фишер, Г.Л.; Меллор, Б. (2007), «Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бусин» (PDF) , Journal of Mathematics and the Arts , 1 (2): 85–96, doi : 10.1080/17513470701416264 , S2CID 40755219
^ Узоры фризов Математик Джон Конвей придумал названия, относящиеся к следам, для каждой из групп фризов.
^ Ландау, Тайлер (10 мая 2019 г.). «Классификации фризовых групп и введение в кристаллографические группы» (PDF) . Колледж Уитмена.
^ Хитцер, ЕСМ; Итикава, Д. (2008), «Представление кристаллографических субпериодических групп с помощью геометрической алгебры» (PDF) , Electronic Proc. Of AGACSE (3, 17–19 августа 2008 г.), Лейпциг, Германия, заархивировано из оригинала (PDF) 14 марта 2012 г.

Внешние ссылки [ править ]

[1] Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 47–49 . ISBN 0-471-50458-0 .

[2] Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии, 2-е изд . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 117–118, 165–171. ISBN 0-387-98972-2 .

[3] Фишер, Г.Л.; Меллор, Б. (2007), «Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бусин» (PDF) , Journal of Mathematics and the Arts , 1 (2): 85–96, doi : 10.1080/17513470701416264 , S2CID 40755219

[4] Узоры фризов Математик Джон Конвей придумал названия, относящиеся к следам, для каждой из групп фризов.

[5] Ландау, Тайлер (10 мая 2019 г.). «Классификации фризовых групп и введение в кристаллографические группы» (PDF) . Колледж Уитмена.

[6] Хитцер, ЕСМ; Итикава, Д. (2008), «Представление кристаллографических субпериодических групп с помощью геометрической алгебры» (PDF) , Electronic Proc. Of AGACSE (3, 17–19 августа 2008 г.), Лейпциг, Германия, заархивировано из оригинала (PDF) 14 марта 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]