Обозначение Шенфлиса

Шенфлиса Шенфлиса (или , ) Обозначение , названное в честь немецкого математика Артура Морица Шенфлиса представляет собой обозначение, в основном используемое для определения групп точек в трех измерениях . Поскольку одной точечной группы вполне достаточно для описания симметрии молекулы , этого обозначения часто бывает достаточно, и оно обычно используется в спектроскопии . Однако в кристаллографии существует дополнительная трансляционная симметрия , а точечных групп недостаточно для описания полной симметрии кристаллов, поэтому полная пространственная группа вместо нее обычно используется . Именование полных пространственных групп обычно следует другому общепринятому соглашению — нотации Германа-Могена , также известной как международная нотация.

Хотя обозначение Шенфлиса без надстрочных индексов представляет собой чисто обозначение точечной группы, при желании можно добавить надстрочные индексы для дальнейшего указания отдельных пространственных групп. Однако для пространственных групп связь с основными элементами симметрии гораздо более ясна в обозначениях Германа – Могена, поэтому последнее обозначение обычно предпочтительнее для пространственных групп.

Элементы симметрии

Элементы симметрии обозначаются i для центров инверсии, C для осей собственного вращения, σ для зеркальных плоскостей и S для осей неправильного вращения ( осей вращения-отражения ). За C и S обычно следует индекс (абстрактно обозначаемый n ), обозначающий возможный порядок вращения.

По соглашению, ось собственного вращения наибольшего порядка определяется как главная ось. Все остальные элементы симметрии описываются относительно него. Вертикальная зеркальная плоскость (содержащая главную ось) обозначается σ _v ; горизонтальная плоскость зеркала (перпендикулярная главной оси) обозначается σ _h .

Группы точек

В трех измерениях существует бесконечное количество точечных групп, но все их можно отнести к нескольким семействам.

C _n (для циклического ) имеет ось вращения n- го порядка.
- C _{n h} — это C _n с добавлением зеркальной (отражательной) плоскости, перпендикулярной оси вращения ( горизонтальной плоскости ).
- C _{n v} — это C _n с добавлением n зеркальных плоскостей, содержащих ось вращения ( вертикальных плоскостей ).
C _s обозначает группу, имеющую только зеркальную плоскость (от Spiegel , по-немецки зеркало) и никаких других элементов симметрии.
S _n (от Spiegel , по-немецки зеркало ) содержит только n -кратную ось вращения-отражения . Индекс n должен быть четным, потому что, когда он нечетный, n -кратная ось вращения-отражения эквивалентна комбинации n -кратной оси вращения и перпендикулярной плоскости, следовательно, S _n = C _{n h} для нечетного n .
C _{n i} имеет только ось ротоинверсии . Это обозначение используется редко, поскольку вместо этого любая ось ротоинверсии может быть выражена как ось вращения-отражения: для нечетного C n n _{i =} S 2 _{n и} C 2 _{n i =} S n ₌ C n _{h ,} а для четного n , C _{2 п я знак} равно S _{2 п} . только обозначение C _i (означающее C _1i Обычно используется ), а в некоторых источниках пишут C _3i , C _5i и т. д.
D _n (для двугранного или двустороннего) имеет n -кратную ось вращения плюс n двойных осей, перпендикулярных этой оси.
- D _{n h} имеет, кроме того, горизонтальную зеркальную плоскость и, как следствие, еще n вертикальных зеркальных плоскостей, каждая из которых содержит ось n -кратного порядка и одну из осей двойного порядка.
- D _{n d} имеет, помимо элементов D _n , n вертикальных зеркальных плоскостей, которые проходят между осями второго порядка ( диагональные плоскости ).
T (хиральная тетраэдрическая группа) имеет оси вращения тетраэдра (три оси 2-го порядка и четыре оси 3-го порядка).
- T _d включает в себя диагональные зеркальные плоскости (каждая диагональная плоскость содержит только одну двойную ось и проходит между двумя другими двойными осями, как в D _2d ). Это добавление диагональных плоскостей приводит к трем неправильным операциям вращения S ₄ .
- T _h включает в себя три горизонтальные зеркальные плоскости. Каждая плоскость содержит две оси второго порядка и перпендикулярна третьей оси второго порядка, что приводит к центру инверсии i .
O (хиральная октаэдрическая группа) имеет оси вращения октаэдра или куба (три оси 4-го порядка, четыре оси 3-го порядка и шесть диагональных осей 2-го порядка).
- O _h включает в себя горизонтальные зеркальные плоскости и, как следствие, вертикальные зеркальные плоскости. Он также содержит операции центра инверсии и неправильного вращения.
I (хиральная группа икосаэдра ) указывает на то, что группа имеет оси вращения икосаэдра или додекаэдра (шесть осей 5-го порядка, десять осей 3-го порядка и 15 осей 2-го порядка).
- I _h включает горизонтальные зеркальные плоскости, а также содержит операции центра инверсии и несобственного вращения.

Все группы, которые содержат не более одной оси высшего порядка (порядка 3 и более), можно расположить, как показано в таблице ниже; символы красного цвета используются редко.

	п = 1	2	3	4	5	6	7	8	...	∞
С _н	C_С1	С ₂	С ₃	С ₄	C_С5	C_С6	C_С7	С ₈	...	C _∞
С _{н в}	С _1в = С _1h	С _2В	С _3В	С _4В	С _5В	С _6в	С _7В	постоянный ток _{8 В}	...	C _∞v
С _{н ч}	С _{1 ч} = С _с	С _{2 часа}	С _{3 часа}	С _{4 часа}	С _5ч	С _{6 часов}	С _{7 часов}	С _{8 часов}	...	C _∞h
С _н	S ₁ = С _с	S ₂ = C _я	S3 = C_C3h	С ₄	С ₅ = С _5ч	S_S6	S7 = C_C7h	С ₈	...	S _∞ = C _∞h
C _{n i} (резервный)	С _1i = С _я	С _2i = С _s	С _3и = С ₆	С _4и = С ₄	С _5и = С ₁₀	С _6i = С _3h	С _7и = С ₁₄	С _8и = С ₈	...	C _∞i = C _∞h
Д _н	Д ₁ = С ₂	D_Д2	Д ₃	Д ₄	Д ₅	Д ₆	D ₇	Д ₈	...	D _∞
Д _{н ч}	Д _1h = С _2в	Д _{2 часа}	Д _{3 часа}	Д _{4 часа}	Д _5ч	Д _6ч	Д _7ч.	Д _8ч.	...	D _∞h
Д _{н д}	Д _1д = С _2ч	Д _2д	Д _3д	Д _4д	Д _5д	Д _6д	Д _7д	D_D8d	...	D _∞d = D _∞h

В кристаллографии из-за кристаллографической ограничительной теоремы n ограничено значениями 1, 2, 3, 4 или 6. Некристаллографические группы показаны серым фоном. D _4d и D _6d также запрещены, поскольку содержат несобственные вращения с n = 8 и 12 соответственно. таблице плюс T , Td _и , Th _{групп в} , O Oh 27 точечных _группы составляют 32 кристаллографические точечные .

Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри . Есть еще две предельные группы, не указанные в таблице: К (от Kugel , по-немецки шар, сфера), группа всех вращений в трехмерном пространстве; и K _h , группа всех вращений и отражений. В математике и теоретической физике они известны соответственно как специальная ортогональная группа и ортогональная группа в трехмерном пространстве с символами SO (3) и O (3).

Космические группы

Пространственные группы с данной точечной группой нумеруются 1, 2, 3, ... (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется в качестве верхнего индекса к символу Шенфлиса для соответствующей точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых равна C _2, имеют символы Шёнфлиса C. ¹
₂ , С ²
₂ , С ³
₂.

В то время как в случае точечных групп символ Шенфлиса однозначно определяет элементы симметрии группы, дополнительный верхний индекс для пространственной группы не несет никакой информации о трансляционной симметрии пространственной группы (центрирование решетки, трансляционные компоненты осей и плоскостей), поэтому необходимо обращаться к специальным таблицам, содержащим информацию о соответствии между обозначениями Шёнфлиса и обозначениями Германа–Могена . Такая таблица приведена на странице «Список пространственных групп» .

См. также

Ссылки

Фларри Р.Л., Группы симметрии: теория и химические приложения . Прентис-Холл, 1980. ISBN 978-0-13-880013-0 LCCN: 79-18729
Коттон, Ф.А., Химические применения теории групп , John Wiley & Sons: Нью-Йорк, 1990. ISBN 0-471-51094-7
Харрис Д., Бертолуччи М. Симметрия и спектроскопия . Нью-Йорк, Dover Publications, 1989.

Внешние ссылки

Симметрия @ Оттербейн