Куб

Кубический граф
Кубический граф
Назван в честь	Q 3
Вершины	8
Края	12
Радиус	3
Диаметр	3
Обхват	4
Автоморфизм	48
Хроматическое число	2
Характеристики	Гамильтониан , регулярный , симметричный , дистанционно регулярный , дистанционно транзитивный , 3-вершинно связный , двудольный , плоский граф
	Таблица графиков и параметров

Правильный шестигранник
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	Ф = 6, Е = 12 В = 8 (х = 2)
Лица по сторонам	6{4}
Обозначение Конвея	С
Символы Шлефли	{4,3}
Символы Шлефли	t{2,4} или {4}×{} тр{2,2} {}×{}×{} = {} ³
Конфигурация лица	В3.3.3.3
Символ Витхоффа	3 \| 2 4
Диаграмма Кокстера
Симметрия	О _h , B ₃ , [4,3], (*432)
Группа вращения	О , [4,3] ⁺, (432)
Ссылки	У ₀₆ , С ₁₈ , Ж ₃
Характеристики	правильный , выпуклый зоноэдр , многогранник Ханнера
Двугранный угол	90°
4.4.4 ( фигура вершины )	Октаэдр ( двойной многогранник )
Сеть

В геометрии куб ^[а] представляет собой трехмерный твердый объект, ограниченный шестью квадратными гранями, гранями или сторонами, по три из которых встречаются в каждой вершине . Если смотреть под углом, это шестиугольник , а его сетка обычно изображается в виде креста . ^[1]

Куб — единственный правильный шестигранник и одно из пяти Платоновых тел . У него 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.

Куб также является квадратным параллелепипедом , равносторонним кубоидом , прямым ромбоэдром и 3 - зоноэдром . Это правильная квадратная призма в трёх ориентациях и трёхугольный трапецоэдр в четырёх ориентациях.

Куб двойственен октаэдру . Он имеет кубическую или октаэдрическую симметрию и является единственным выпуклым многогранником , все грани которого представляют собой квадраты . Его обобщение для пространств более высокой размерности называется гиперкубом .

Ортогональные проекции [ править ]

Куб фигуре имеет четыре специальные ортогональные проекции , центрированные по вершине, ребрам, грани и нормали к вершины . Первая и третья соответствуют _А2 и _В2 плоскостям Кокстера .

Ортогональные проекции
В центре	Лицо	Вертекс
Самолеты Кокстера	B_Б2	A_А2
Проективный симметрия	[4]	[6]
Наклонные виды

Сферическая черепица [ править ]

Куб также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость посредством стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Декартовы координаты [ править ]

Для куба с центром в начале координат, краями, параллельными осям, и длиной ребра, равной 2, декартовы координаты вершин равны

(±1, ±1, ±1)

а внутренняя часть состоит из всех точек ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) с −1 < x _i < 1 для всех i .

В качестве конфигурации [ править ]

Эта матрица конфигурации представляет куб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа говорят, сколько каждого элемента встречается во всем кубе. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^[2] Например, цифра 2 в первом столбце средней строки означает, что на каждом ребре (т. е. на крайних точках) имеется по две вершины; цифра 3 в среднем столбце первой строки означает, что в каждой вершине сходятся 3 ребра.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Уравнение в трехмерном пространстве [ править ]

В аналитической геометрии поверхность куба с центром ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и длиной ребра 2a является геометрическим местом всех точек ( x , y , z ) таких, что

\max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.

Куб также можно считать предельным случаем трехмерного суперэллипсоида , поскольку все три показателя стремятся к бесконечности.

Формулы [ править ]

Для куба с длиной ребра $a$ :

площадь поверхности	$6a^{2}\,$	объем	$a^{3}\,$
диагональ лица	${\sqrt {2}}a$	космическая диагональ	${\textstyle {\sqrt {3}}a}$
радиус описанной сферы	${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$	радиус сферы, касательный к краям	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$
радиус вписанной сферы	${\frac {a}{2}}$	углы между гранями (в радианах )	${\frac {\pi }{2}}$

Поскольку объем куба равен третьей степени его сторон $a\times a\times a$ , третьи степени называются кубами по аналогии с квадратами и вторыми степенями.

Куб имеет наибольший объём среди кубоидов (прямоугольных коробок) с заданной площадью поверхности . Кроме того, куб имеет самый большой объем среди кубоидов с одинаковым общим линейным размером (длина+ширина+высота).

Точка в пространстве [ править ]

Для куба, описывающая сферу которого имеет радиус R , и для данной точки в его трехмерном пространстве с расстояниями d _i от восьми вершин куба, мы имеем: ^[3]

{\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}}{8}}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}}{8}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.

Удвоение куба [ править ]

Удвоение куба , или Делосская проблема , — это задача, поставленная древнегреческими математиками: они использовали только циркуль и линейку, чтобы начать с длины ребра данного куба и построить длину ребра куба, удвоенную длину ребра куба. объем исходного куба. Им не удалось решить эту задачу, что в 1837 году Пьер Ванцель доказал невозможностью, поскольку кубический корень из 2 не является конструктивным числом .

и симметрия цвета Равномерные

Куб имеет три однородные раскраски, названные по уникальным цветам квадратных граней вокруг каждой вершины: 111, 112, 123.

Куб имеет четыре класса симметрии, которые можно представить вершинно-транзитивной раскраской граней. Высшая октаэдрическая симметрия Oh _имеет все грани одного цвета. Двугранная симметрия D _4h возникает из-за того, что куб представляет собой твердое тело, все шесть сторон которого имеют разные цвета. Призматическое подмножество D _2d имеет ту же окраску, что и предыдущее, а D _2h имеет чередующиеся цвета сторон, всего три цвета, спаренные противоположными сторонами. Каждая форма симметрии имеет свой символ Витхоффа .

Имя	Обычный шестигранник	Квадратная призма	Прямоугольный трапезопризма	Прямоугольный кубовидный	ромбический призма	Треугольный трапецоэдр
Коксетер диаграмма
Шлефли символ	{4,3}	{4}×{ } рр{4,2}	с2 _{ 2,4}	{ } ³ тр{2,2}	{ }×2{ }
Витхофф символ	3 \| 4 2	4 2 \| 2		2 2 2 \|
Симметрия	Ой [4,3] (*432)	Д _{4 часа} [4,2] (*422)	Д _2д [4,2 ⁺] (2*2)	Д _{2 часа} [2,2] (*222)		Д _3д [6,2 ⁺] (2*3)
Симметрия заказ	24	16	8	8		12
Изображение (униформа раскраска)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Геометрические отношения [ править ]

Куб имеет одиннадцать сеток : то есть существует одиннадцать способов сплющить полый куб, обрезав семь ребер. ^[4] Чтобы раскрасить куб так, чтобы никакие две соседние грани не имели одинаковый цвет, потребуется как минимум три цвета.

Куб — это ячейка единственного правильного замощения трехмерного евклидова пространства . Оно также уникально среди платоновых тел тем, что имеет грани с четным числом сторон и, следовательно, является единственным членом этой группы, который является зоноэдром (каждая грань имеет точечную симметрию).

Куб можно разрезать на шесть одинаковых квадратных пирамид . Если эти квадратные пирамиды затем присоединить к граням второго куба, ромбдодекаэдр получится (с парами копланарных треугольников, объединенных в ромбические грани).

В богословии [ править ]

Кубы появляются в авраамических религиях . Кааба . (по-арабски «куб») в Мекке является одним из примеров Кубики также фигурируют в иудаизме как тфилин , а Новый Иерусалим описывается в Новом Завете как куб. ^[5]

Другие размеры [ править ]

Аналог куба в четырехмерном евклидовом пространстве имеет особое название — тессеракт или гиперкуб . Точнее, гиперкуб (или n -мерный куб или просто n -куб) является аналогом куба в n -мерном евклидовом пространстве, а тессеракт — это гиперкуб четвертого порядка. Гиперкуб также называют многогранником меры .

Существуют аналоги куба и в более низких измерениях: точка в измерении 0, отрезок в одном измерении и квадрат в двух измерениях.

Связанные многогранники [ править ]

Фактор куба по антиподальному отображению дает проективный многогранник — полукуб .

Если исходный куб имеет длину ребра 1, его двойственный многогранник ( октаэдр ) имеет длину ребра $\scriptstyle {\sqrt {2}}/2$ .

Куб — частный случай в различных классах общих многогранников:

Имя	Одинаковая длина ребер?	Равные углы?	Прямые углы?
Куб	Да	Да	Да
Ромбоэдр	Да	Да	Нет
Кубовидный	Нет	Да	Да
Параллелепипед	Нет	Да	Нет
четырехсторонний шестигранник	Нет	Нет	Нет

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр ; в более общем смысле это называется демикубом . Вместе они образуют правильное соединение — звезду октангулу . Пересечение этих двух форм образует правильный октаэдр. Симметрии правильного тетраэдра соответствуют симметрии куба, который отображает каждый тетраэдр сам в себя; другие симметрии куба отображают их друг на друга.

Один такой правильный тетраэдр имеет объем 1/3 объема . куба Оставшееся пространство состоит из четырех равных неправильных тетраэдров объемом 1/6 часть . куба каждый

Выпрямленный — куб кубооктаэдр . Если срезать меньшие углы, то получится многогранник с шестью восьмиугольными гранями и восемью треугольными. В частности, мы можем получить правильные восьмиугольники ( усеченный куб ). Ромбокубооктаэдр . получается путем срезания на нужную величину как углов, так и ребер

Куб можно вписать в додекаэдр так, что каждая вершина куба является вершиной додекаэдра, а каждое ребро — диагональю одной из граней додекаэдра; взятие всех таких кубиков дает правильное соединение из пяти кубиков.

Если два противоположных угла куба усечь на глубину трёх непосредственно связанных с ними вершин, то получится неправильный октаэдр. Восемь таких неправильных октаэдров можно прикрепить к треугольным граням правильного октаэдра, чтобы получить кубооктаэдр.

Куб топологически связан с серией сферических многогранников и мозаик с вершинными фигурами третьего порядка .

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,3} v т и
Spherical				Euclidean	Compact hyperb.		Paraco.	Noncompact hyperbolic

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Кубооктаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.

Однородные октаэдрические многогранники
Symmetry: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= or	= or	=

Duals to uniform polyhedra
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Куб топологически связан как часть последовательности правильных мозаик, простирающихся в гиперболическую плоскость : {4,p}, p=3,4,5...

* n 42 мутация симметрии правильных мозаик: {4, n } v т и
Spherical	Euclidean	Compact hyperbolic				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

При двугранной симметрии Dih ₄ куб топологически связан в ряд однородных многогранников и мозаик 4.2n.2n, простирающихся в гиперболическую плоскость:

* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4,2 n .2 n v т и
Symmetry *n42 [n,4]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
Symmetry *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Truncated figures
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis figures
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Все эти фигуры обладают октаэдрической симметрией .

Куб является частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с [ n ,3] симметрией группы Кокстера . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, где ромбы — это квадраты.

Мутации симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V(3.n) ²
*n32	Spherical			Euclidean	Hyperbolic
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Tiling
Conf.	V(3.3)²	V(3.4)²	V(3.5)²	V(3.6)²	V(3.7)²	V(3.8)²	V(3.∞)²

Куб представляет собой квадратную призму :

Семейство однородных n -угольных призм v т и
Prism name	Digonal prism	(Trigonal) Triangular prism	(Tetragonal) Square prism	Pentagonal prism	Hexagonal prism	Heptagonal prism	Octagonal prism	Enneagonal prism	Decagonal prism	Hendecagonal prism	Dodecagonal prism	...	Apeirogonal prism
Polyhedron image												...
Spherical tiling image												Plane tiling image
Vertex config.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter diagram												...

Как тригональный трапецоэдр , куб относится к семейству гексагонально-диэдральной симметрии.

Однородные шестиугольные двугранные сферические многогранники
Symmetry: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Duals to uniforms

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Правильные и однородные соединения кубиков
Соединение трёх кубиков	Соединение пяти кубиков

В единых сотах и полихоре [ править ]

Это элемент 9 из 28 выпуклых однородных сот :

Кубические соты	Усеченные квадратные призматические соты	Курносые квадратные призматические соты	Вытянутые треугольные призматические соты.	Гироудлиненные треугольные призматические соты

Кантелеллированные кубические соты	Канитусеченные кубические соты	Усеченные кубические соты	Ранцинированные чередующиеся кубические соты

Это также элемент пяти четырехмерных однородных полихор :

Тессеракт	Согнутый 16-клеточный	Сморщенный тессеракт	Кантиусеченный 16-ячеечный	Ранцитусеченный 16-клеточный

Кубический граф [ править ]

Скелет куба (вершины и ребра) образует граф с 8 вершинами и 12 ребрами, называемый графом куба . Это частный случай графа гиперкуба . ^[6] Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых представляет собой скелет своего Платонового тела .

Расширением является трехмерный k -ARY граф Хэмминга , который при k = 2 является графом-кубом. Графы такого типа встречаются в теории параллельной обработки на компьютерах.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ от латинского cubus , от греческого κύβος (kubos) «куб, игральная кость, позвонок». В свою очередь от протоиндоевропейского *keu(b)- «сгибаться, поворачиваться».

Ссылки [ править ]

^ «Сети твердых тел | Геометрия | Сети куба | Сети конуса и цилиндра» .
^ Коксетер 1973 , с. 12, §1.8 Конфигурации.
^ Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf. Архивировано 10 октября 2016 г. в Wayback Machine.
^ Уэхара, Рюхэй (2020). «Рисунок 1.1». Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Сингапур: Спрингер. п. 4. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4469-9 . МР 4215620 . S2CID 220150682 .
^ «Символика Куба • Ева из сада» . 30 октября 2020 г.
^ Харари, Фрэнк ; Хейс, Джон П.; Ву, Хорнг-Джых (1988). «Обзор теории графов гиперкубов» (PDF) . Компьютеры и математика с приложениями . 15 (4): 277–289. дои : 10.1016/0898-1221(88)90213-1 . hdl : 2027.42/27522 . МР 0949280 .

Цитируемые работы [ править ]

Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. стр. 122–123 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Куб» . Математический мир .
Куб: Интерактивная модель многогранника *
Объем куба с интерактивной анимацией
Cube (сайт Роберта Уэбба)

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] от латинского cubus , от греческого κύβος (kubos) «куб, игральная кость, позвонок». В свою очередь от протоиндоевропейского *keu(b)- «сгибаться, поворачиваться».

[2] «Сети твердых тел | Геометрия | Сети куба | Сети конуса и цилиндра» .

[FOOTNOTECoxeter197312§1.8_Configurations-3] Коксетер 1973 , с. 12, §1.8 Конфигурации.

[4] Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf. Архивировано 10 октября 2016 г. в Wayback Machine.

[5] Уэхара, Рюхэй (2020). «Рисунок 1.1». Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Сингапур: Спрингер. п. 4. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4469-9 . МР 4215620 . S2CID 220150682 .

[6] «Символика Куба • Ева из сада» . 30 октября 2020 г.

[7] Харари, Фрэнк ; Хейс, Джон П.; Ву, Хорнг-Джых (1988). «Обзор теории графов гиперкубов» (PDF) . Компьютеры и математика с приложениями . 15 (4): 277–289. дои : 10.1016/0898-1221(88)90213-1 . hdl : 2027.42/27522 . МР 0949280 .

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]