Двугранный угол

Эта статья о термине геометрии. Чтобы узнать о других значениях, см. Dihedral .

Угол между двумя полуплоскостями (α, β, бледно-синий) в третьей плоскости (красный), который пересекает линию пересечения под прямым углом.

Двугранный угол — это угол между двумя пересекающимися плоскостями или полуплоскостями . В химии это угол по часовой стрелке между полуплоскостями двух наборов по три атома , имеющих два общих атома. В твердотельной геометрии она определяется как объединение прямой общим и двух полуплоскостей, у которых эта линия является краем . В более высоких измерениях двугранный угол представляет собой угол между двумя гиперплоскостями .Говорят, что плоскости летательного аппарата находятся под положительным двугранным углом, когда основные плоскости как правого, так и левого борта (обычно называемые «крыльями») наклонены вверх к боковой оси; когда они наклонены вниз, говорят, что они находятся под отрицательным двугранным углом.

Математическая основа

Когда две пересекающиеся плоскости описываются в декартовых координатах двумя уравнениями

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$

двугранный угол, $\varphi$ между ними определяется:

$\cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$

и удовлетворяет $0\leq \varphi \leq \pi /2.$ Легко заметить, что угол не зависит от $d_{1}$ и $d_{2}$.

В качестве альтернативы, если n _A и n _B являются векторами нормалей к плоскостям, имеем

$\cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}$

где n _A · n _B — скалярное произведение векторов и | п _А | | п _Б | является произведением их длин.

В приведенных выше формулах требуется абсолютное значение, поскольку плоскости не изменяются при изменении знаков всех коэффициентов в одном уравнении или замене одного нормального вектора его противоположным.

Однако абсолютных значений можно и следует избегать при рассмотрении двугранного угла двух полуплоскостей , границы которых являются одной линией. В этом случае полуплоскости можно описать точкой P их пересечения и тремя векторами b ₀ , b ₁ и b ₂ такими, что P + b ₀ , P + b ₁ и P + b ₂ принадлежат соответственно пересечению линия, первая полуплоскость и вторая полуплоскость. Двугранный угол этих двух полуплоскостей определяется выражением

$\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{|\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1}||\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2}|}}$,

и удовлетворяет $0\leq \varphi <\pi .$ В этом случае переключение двух полуплоскостей дает тот же результат, как и замена $\mathbf {b} _{0}$ с $-\mathbf {b} _{0}.$ В химии (см. ниже) мы определяем двугранный угол так, что заменяя $\mathbf {b} _{0}$ с $-\mathbf {b} _{0}$ меняет знак угла, который может находиться в пределах от − π до π .

В физике полимеров

В некоторых научных областях, таких как физика полимеров , можно рассматривать цепочку точек и связи между последовательными точками. Если точки последовательно пронумерованы и расположены в позициях r ₁ , r ₂ , r ₃ и т. д., то векторы связи определяются формулами u ₁ = r ₂ - r ₁ , u ₂ = r ₃ - r ₂ и u _i = r _i+1 − r _i , в более общем плане. Это относится к кинематическим цепям или аминокислотам в структуре белка . В этих случаях часто интересуют полуплоскости, определяемые тремя последовательными точками, и двугранный угол между двумя последовательными такими полуплоскостями. Если u ₁ , u ₂ и u ₃ — три последовательных вектора связей, пересечение полуплоскостей ориентировано, что позволяет определить двугранный угол, принадлежащий интервалу (− π , π ] . Этот двугранный угол определяется выражением

${\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}))}{|\mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}$

или, используя функцию atan2 ,

$\varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})),|\mathbf {u} _{2}|\,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).$

Этот двугранный угол не зависит от ориентации цепочки (порядка рассмотрения точек) — изменение этого порядка на противоположное состоит в замене каждого вектора противоположным ему вектором и замене индексов 1 и 3. Обе операции не меняют косинус , но поменяйте знак синуса. Таким образом, вместе они не меняют угол.

Более простая формула для того же двугранного угла следующая (доказательство приведено ниже):

${\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}$

или эквивалентно,

$\varphi =\operatorname {atan2} (|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).$

Это можно вывести из предыдущих формул, используя формулу векторного четырехкратного произведения и тот факт, что скалярное тройное произведение равно нулю, если оно содержит дважды один и тот же вектор:

$(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}$

Учитывая определение векторного произведения , это означает, что $\varphi$ - это угол четвертого атома по часовой стрелке по сравнению с первым атомом, если смотреть вниз по оси от второго атома к третьему. Особыми случаями (можно сказать обычными) являются $\varphi =\pi$, $\varphi =+\pi /3$ и $\varphi =-\pi /3$, которые называются транс , гош ⁺ и грубый ⁻ конформации.

В стереохимии

Смотрите также: стереохимия алканов и конформационная изомерия.

Имена конфигураций по двугранному углу	син -н- бутан в ЛЕВЫЙ − конформация (-60°) Проекция Ньюмана	син -н- бутан козла проекция

Диаграмма свободной энергии н -бутана как функция двугранного угла.

В стереохимии торсионный угол определяется как частный пример двугранного угла, описывающего геометрическое соотношение двух частей молекулы, соединенных химической связью . Каждый набор из трех неколлинеарных атомов молекулы определяет полуплоскость. Как объяснялось выше, когда две такие полуплоскости пересекаются (т. е. набор из четырех последовательно связанных атомов), угол между ними представляет собой двугранный угол. Двугранные углы используются для определения молекулярной конформации . Стереохимические структуры, соответствующие углам от 0 ° до ± 90 °, называются син (s), а те, которые соответствуют углам от ± 90 ° до 180 °, анти (а). Точно так же расположения, соответствующие углам между 30 ° и 150 ° или между -30 ° и -150 °, называются клинальными (c), а расположения между 0 ° и ± 30 ° или ± 150 ° и 180 ° называются перипланарными (p).

Эти два типа терминов можно объединить, чтобы определить четыре диапазона углов; от 0° до ±30° синперипланарно (sp); синклинальные от 30° до 90° и от -30° до -90° (sc); антиклиналь от 90° до 150° и от -90° до -150° (переменный ток); ±150–180° антиперипланарно (ap). Синперипланарная конформация также известна как син- или цис -конформация; антиперипланарный как анти или транс ; и синклинальный, как неуклюжий или асимметричный .

Например, для н - бутана две плоскости могут быть определены через два центральных атома углерода и один из атомов углерода метила. Показанная выше син - конформация с двугранным углом 60° менее стабильна, чем анти -конформация с двугранным углом 180°.

Для макромолекулярного использования символы T, C, G ⁺ , Г ⁻ , А ⁺ и А ⁻ рекомендуются (ap, sp, +sc, -sc, +ac и -ac соответственно).

Белки

Изображение белка , показывающее, к чему относятся ω, φ и ψ.

График Рамачандрана (также известный как диаграмма Рамачандрана или график [ φ , ψ ]), первоначально разработанный в 1963 году Г. Н. Рамачандраном , К. Рамакришнаном и В. Сасисекхараном. это способ визуализировать энергетически разрешенные области для двугранных углов ψ основной цепи в зависимости от φ аминокислотных - остатков в структуре белка .В белковой цепи определяются три двугранных угла:

• ω (омега) – угол в цепочке C ^а - С' - Н - С ^а ,
• φ(phi) — угол в цепочке C' − N − C ^а − С'
• ψ (psi) — угол в цепочке N − C ^а − C' − N (названный φ′ ) Рамачандраном

Рисунок справа иллюстрирует расположение каждого из этих углов (но неправильно показывает, как они определяются).

Планарность пептидной связи обычно ограничивает ω значением 180 ° (типичный транс- случай) или 0 ° (редкий цис- случай). Расстояние между С ^а атомов в транс- и цис- изомерах составляет примерно 3,8 и 2,9 Å соответственно. Подавляющее большинство пептидных связей в белках являются транс- , хотя в пептидной связи с азотом пролина преобладает цис-связь по сравнению с другими парами аминокислот.

Двугранные углы боковой цепи обозначены χ _n (chi- n ). Они имеют тенденцию группироваться около 180 °, 60 ° и -60 °, которые называются транс , гош . ⁻ и грубый ⁺ конформации. На стабильность некоторых двугранных углов боковой цепи влияют значения φ и ψ . Например, существуют прямые стерические взаимодействия между C γ боковой цепи в гош ⁺ ротамер и азот основной цепи следующего остатка, когда ψ около -60°. Это очевидно из статистических распределений в зависимых от основной цепи библиотеках ротамеров .

Преобразование двугранных углов в декартовы координаты в цепочках

Основы полимеров, особенно белков, принято представлять во внутренних координатах ; то есть список последовательных двугранных углов и длин связей. Однако в некоторых видах вычислительной химии вместо этого используются декартовы координаты . При оптимизации вычислительной структуры некоторым программам необходимо переключаться между этими представлениями во время своих итераций. Эта задача может доминировать над временем расчета. Для процессов со многими итерациями или длинными цепочками это также может привести к накопленной числовой неточности. Хотя все алгоритмы преобразования дают математически идентичные результаты, они различаются по скорости и числовой точности.

Геометрия

См. Также: Таблица двугранных углов многогранников.

Каждый многогранник имеет двугранный угол на каждом ребре, описывающий взаимосвязь двух граней, разделяющих это ребро. Этот двугранный угол, также называемый углом грани , измеряется как внутренний угол по отношению к многограннику. Угол 0° означает, что векторы нормалей граней антипараллельны и грани перекрывают друг друга, что означает, что они являются частью вырожденного многогранника. Угол 180° означает, что грани параллельны, как в мозаике . Угол больше 180° существует на вогнутых частях многогранника.

Каждый двугранный угол в реберно-транзитивном многограннике имеет одно и то же значение. Сюда входят 5 платоновых тел , 13 каталонских тел , 4 многогранника Кеплера-Пуансо , два квазирегулярных тела и два квазирегулярных двойственных тела.

Закон косинусов для двугранного угла

Учитывая три грани многогранника, которые встречаются в общей вершине P и имеют ребра AP, BP и CP, косинус двугранного угла между гранями, содержащими APC и BPC, равен:

$\cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}$

Это можно вывести из сферического закона косинусов.

См. также

• атропоизомер

Внешние ссылки

• Двугранный угол в деревообработке на Tips.FM
• Анализ пяти правильных многогранников дает пошаговый вывод этих точных значений.