Сферический закон косинусов

В сферической тригонометрии действует закон косинусов (также называемый правилом косинусов для сторон). ^[1]) — теорема, связывающая стороны и углы сферических треугольников , аналогичная обычному закону косинусов из плоской тригонометрии .

Сферический треугольник решается по закону косинусов.

Учитывая единичную сферу, «сферический треугольник» на поверхности сферы определяется большими кругами, соединяющими три точки $u, v$ и $w$ на сфере (показано справа). Если длины этих трех сторон равны $a$ (от $u$ до $v), b$ (от $u$ до $w$ ) и $c$ (от $v$ до $w$ ), а угол угла, противоположного $c,$ равен $C$ , то (первая) сферическая закон косинусов гласит: ^[2]^[1]

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\,$

Поскольку это единичная сфера, длины $a, b$ и $c$ просто равны углам (в радианах ), образуемым этими сторонами из центра сферы. (Для неединичной сферы длины представляют собой произведение стянутых углов на радиус, и формула по-прежнему справедлива, если $a, b$ и $c$ интерпретируются как стянутые углы). В частном случае для $C = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ π / 2 ⁠$ , тогда $cos C = 0$ , и получается сферический аналог теоремы Пифагора :

$\cos c=\cos a\cos b\,$

используется закон косинусов $Если для определения c$ , необходимость инвертирования косинуса увеличивает ошибки округления, когда $c$ мало. альтернативная формулировка закона гаверсинусов . В этом случае предпочтительна ^[3]

Вариация закона косинусов, второго сферического закона косинусов. ^[4] (также называемое правилом косинусов для углов ^[1]) утверждает:

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c\,$

где $A$ и $B$ — углы углов, противоположных сторонам $a$ и $b$ соответственно. Его можно получить, рассматривая сферический треугольник, двойственный данному.

Доказательства [ править ]

Первое доказательство [ править ]

Пусть $u, v$ и $w$ обозначают единичные векторы от центра сферы к этим углам треугольника. Углы и расстояния не изменяются при повороте системы координат, поэтому мы можем повернуть систему координат так, что $\mathbf {u}$ находится на северном полюсе и $\mathbf {v}$ находится где-то на нулевом меридиане (долгота 0). При таком вращении сферические координаты для $\mathbf {v}$ являются $(r,\theta ,\phi )=(1,a,0),$ где $θ$ - угол, измеренный от северного полюса, а не от экватора, и сферические координаты для $\mathbf {w}$ являются $(r,\theta ,\phi )=(1,b,C).$ Декартовы координаты для $\mathbf {v}$ являются $(x,y,z)=(\sin a,0,\cos a)$ и декартовы координаты для $\mathbf {w}$ являются $(x,y,z)=(\sin b\cos C,\sin b\sin C,\cos b).$ Стоимость $\cos c$ является скалярным произведением двух декартовых векторов, что $\sin a\sin b\cos C+\cos a\cos b.$

Второе доказательство [ править ]

Пусть $u, v$ и $w$ обозначают единичные векторы от центра сферы к этим углам треугольника. У нас есть $ты \cdot ты = 1$ , $v \cdot w = cos c$ , $ты \cdot v = cos a$ и $u \cdot w = cos b$ . Векторы $u \times v$ и $u \times w$ имеют длины $sin a$ и $sin b$ соответственно, а угол между ними равен $C$ , поэтому

грех а грех б потому что C знак равно (ты \times v) \cdot (ты \times ш) знак равно (ты \cdot ты)(v \cdot ш) - (ты \cdot v)(ты \cdot ш) знак равно потому что c - потому что а потому что б

,

с использованием векторных произведений , скалярных произведений и тождества Бине–Коши $(p \times q) \cdot (r \times s) = (p \cdot r)(q \cdot s) - (p \cdot s)(q \cdot r)$ .

Третье доказательство [ править ]

Пусть $u, v$ и $w$ обозначают единичные векторы от центра сферы к этим углам треугольника. Рассмотрим следующую последовательность поворотов, в которой мы сначала поворачиваем вектор $v$ к $u$ на угол $a,$ за которым следует еще один поворот вектора $u$ к $w$ на угол $b,$ после чего мы поворачиваем вектор $w$ обратно к $v$ на угол $c.$ Композиция этих трех вращений образует тождественное преобразование. ^{[ нужны разъяснения ]} То есть составное вращение отображает точку $v$ в саму себя. Эти три операции вращения могут быть представлены кватернионами :

${\begin{aligned}q_{A}&=\cos {\frac {a}{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}},\\q_{B}&=\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}},\\q_{C}&=\cos {\frac {c}{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}},\end{aligned}}$ где $\mathbf {A} ,$ $\mathbf {B} ,$ и $\mathbf {C}$ являются единичными векторами, представляющими оси вращения, как определено правилом правой руки соответственно. Состав этих трех вращений един, $q_{C}q_{B}q_{A}=1.$ Правильное умножение обеих частей на сопряженные $q_{A}^{*}q_{B}^{*},$ у нас есть $q_{C}=q_{A}^{*}q_{B}^{*},$ где ${\textstyle q_{A}^{*}=\cos {\frac {a}{2}}-\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}}$ и ${\textstyle q_{B}^{*}=\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}}.}$ Это дает нам тождество ^[5]^[6]

$\cos {\frac {c}{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}}=\left(\cos {\frac {a}{2}}-\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\right)\left(\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}}\right).$

Кватернионное произведение в правой части этого тождества определяется выражением

$\left(\cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right)-\left(\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \times \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right).$

Приравнивая скалярные части по обе стороны тождества, имеем

$\cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}.$

Здесь $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\cos(\pi -C)=-\cos C.$ Поскольку это тождество справедливо для любых углов дуги, исключающих половинки, имеем

$\cos c=\cos a\cos b+\cos C\sin a\sin b.$

Мы также можем восстановить закон синуса, сначала заметив, что $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {u} \sin C$ а затем приравнивая части вектора по обе стороны от идентичности как

$\mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}}=-\left(\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}+\mathbf {u} \sin C\sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right).$

Вектор $\mathbf {u}$ ортогонален обоим векторам $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B} ,$ и как таковой $\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} =0.$ Взяв скалярное произведение по отношению к $\mathbf {u}$ с обеих сторон, и подавляя половинки, имеем $\mathbf {u} \cdot \mathbf {C} \sin c=-\sin C\sin a\sin b.$ Сейчас $\mathbf {v} \times \mathbf {w} =-\mathbf {C} \sin c$ и поэтому у нас есть $\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=-\mathbf {u} \cdot \mathbf {C} \sin c=\sin C\sin a\sin b.$ Разделив каждую сторону на $\sin a\sin b\sin c,$ у нас есть

${\frac {\sin C}{\sin c}}={\frac {\mathbf {u} \cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )}{\sin a\sin b\sin c}}.$

Поскольку правая часть приведенного выше выражения не изменяется при циклической перестановке, мы имеем

${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$

Перестановки [ править ]

Первый и второй сферические законы косинусов можно переставить так, чтобы стороны ( $a, b, c$ ) и углы ( $A, B, C$ ) оказались на противоположных сторонах уравнений: ${\begin{aligned}\cos C&={\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}\\\cos c&={\frac {\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}\\\end{aligned}}$

Плоский предел: малые углы [ править ]

Для маленьких сферических треугольников, т. е. для малых $a, b$ и $c$ , сферический закон косинусов примерно такой же, как обычный планарный закон косинусов: $c^{2}\approx a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,.$

Для доказательства этого воспользуемся малоугловой аппроксимацией, полученной из ряда Маклорена для функций косинуса и синуса: ${\begin{aligned}\cos a&=1-{\frac {a^{2}}{2}}+O\left(a^{4}\right)\\\sin a&=a+O\left(a^{3}\right)\end{aligned}}$

Подставив эти выражения в сферический закон косинусов:

$1-{\frac {c^{2}}{2}}+O\left(c^{4}\right)=1-{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+\cos(C)\left(ab+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right)\right)$

или после упрощения:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(c^{4}\right)+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(a^{2}b^{2}\right)+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right).$

В больших терминах O для $a$ и $b$ преобладает $O (a 4) + О (б 4)$ по мере того, как $a$ и $b$ становятся малыми, поэтому мы можем записать это последнее выражение как:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(c^{4}\right).$

История [ править ]

Нечто, эквивалентное сферическому закону косинусов, использовалось (но не формулировалось в целом) аль-Хорезми (9 век), аль-Баттани (9 век) и Нилакантой (15 век). ^[7]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с В. Геллерт, С. Готвальд, М. Хеллвич, Х. Кестнер и Х. Кюстнер, Краткая математическая энциклопедия VNR , 2-е изд., гл. 12 (Ван Ностранд Рейнхольд: Нью-Йорк, 1989).
^ Ромуальд Иренеус 'Скибор-Мархоцки, Сферическая тригонометрия , Веб-страница тригонометрии элементарной геометрии (1997).
^ Р.В. Синнотт, "Достоинства гаверсина", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
^ Рейман, Иштван (1999). Геометрия и ее границы . Салай Конивкиадо és Kereskedőház Kft p. 83.
^ Бранд, Луи (1947). «§186 Дуги Большого круга» . Векторный и тензорный анализ . Уайли. стр. 416–417.
^ Койперс, Джек Б. (1999). «§10 Сферическая тригнометрия». Кватернионы и последовательности вращения . Издательство Принстонского университета. стр. 235–255.
^ Ван Браммелен, Глен (2012). Небесная математика: Забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета. п. 98. Бибкод : 2012hmfa.book.....V .

[VNR-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с В. Геллерт, С. Готвальд, М. Хеллвич, Х. Кестнер и Х. Кюстнер, Краткая математическая энциклопедия VNR , 2-е изд., гл. 12 (Ван Ностранд Рейнхольд: Нью-Йорк, 1989).

[Ireneus-2] Ромуальд Иренеус 'Скибор-Мархоцки, Сферическая тригонометрия , Веб-страница тригонометрии элементарной геометрии (1997).

[3] Р.В. Синнотт, "Достоинства гаверсина", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).

[4] Рейман, Иштван (1999). Геометрия и ее границы . Салай Конивкиадо és Kereskedőház Kft p. 83.

[5] Бранд, Луи (1947). «§186 Дуги Большого круга» . Векторный и тензорный анализ . Уайли. стр. 416–417.

[6] Койперс, Джек Б. (1999). «§10 Сферическая тригнометрия». Кватернионы и последовательности вращения . Издательство Принстонского университета. стр. 235–255.

[7] Ван Браммелен, Глен (2012). Небесная математика: Забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета. п. 98. Бибкод : 2012hmfa.book.....V .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]