Закон косинусов

Эта статья о тригонометрическом тождестве. О законе косинуса оптики см. Закон косинуса Ламберта .

Рис. 1 – Треугольник. Углы α (или A ), β (или B ) и γ (или C ) противолежат сторонам a , b и c соответственно .

В тригонометрии закон косинусов (также известный как формула косинусов или правило косинусов ) связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов . Для треугольника со сторонами $a,$ $b,$ и $c,$ противоположные соответствующие углы $\alpha ,$ $\beta ,$ и $\gamma$ (см. рис. 1), закон косинусов гласит:

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\[3mu]a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,\\[3mu]b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .\end{aligned}}$

Закон косинусов обобщает теорему Пифагора , справедливую только для прямоугольных треугольников : если $\gamma$ это прямой угол тогда $\cos \gamma =0,$ и закон косинусов сводится к $c^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Закон косинусов полезен для решения треугольника , когда заданы все три или две стороны и прилежащий к ним угол.

Использование при решении треугольников

Рис. 3 – Применение закона косинусов: неизвестная сторона и неизвестный угол.

Учитывая стороны треугольника b и c и угол γ , иногда есть два решения для a .

Теорема используется при решении треугольников , т.е. для нахождения (см. рисунок 3):

• третья сторона треугольника, если известны две стороны и угол между ними:
  $$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;$$
• углы треугольника, если известны три стороны:
  $$\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;$$
• третья сторона треугольника, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них (эту сторону можно найти также двумя применениями закона синусов ):
  $$a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.$$

Эти формулы дают большие ошибки округления при вычислениях с плавающей запятой , если треугольник очень острый, т. е. если c мало по сравнению с a , а b или γ мало по сравнению с 1. Можно даже получить результат, немного превышающий единицу. для косинуса угла.

Третья показанная формула является результатом решения квадратного уравнения a ² − 2 из cos γ + b ² − с ² = 0 . Это уравнение может иметь 2, 1 или 0 положительных решений, что соответствует количеству возможных треугольников с учетом данных. Оно будет иметь два положительных решения, если b sin γ < c < b , только одно положительное решение, если c = b sin γ , и не иметь решения, если c < b sin γ . Эти разные случаи также объясняются неоднозначностью сравнения сторон и углов .

История

Евклида Книга II «Начал» , составленная ок. 300 г. до н.э., основанный на материале, написанном на столетие или два старше, содержит геометрическую теорему, соответствующую закону косинусов, но выраженную на современном языке площадей прямоугольников; Эллинистическая тригонометрия возникла позже, а синус и косинус сами по себе впервые появились столетия спустя в Индии.

Случаи тупоугольных и остроугольных треугольников (соответствующие двум случаям отрицательного или положительного косинуса) рассматриваются отдельно в предложениях II.12 и II.13:

Предложение 12.
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, в два раза больше прямоугольника, содержащегося в одной из сторон вокруг тупого угла, а именно той, на которую падает перпендикуляр, и прямая линия, отсекаемая снаружи перпендикуляром к тупому углу.

- Евклида Элементы , перевод Томаса Л. Хита .

Предложение 13 содержит аналогичное утверждение для остроугольных треугольников. В своем комментарии (ныне утерянном и сохранившемся лишь в виде фрагментарных цитат) Герон Александрийский представил доказательства обратного как в II.12, так и в II.13.

Рис. 2 – Тупоугольный треугольник ABC с перпендикуляром BH

Используя обозначения, показанные на рис. 2, формулировку предложения II.12 Евклида можно представить более кратко (хотя и анахронично) формулой

$AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).$

Чтобы преобразовать это в знакомое выражение закона косинусов, замените $AB=c,$ $CA=b,$ $CB=a,$ и $CH=a\cos(\pi -\gamma )\$$=-a\cos \gamma .$

Предложение II.13 не использовалось во времена Евклида для решения треугольников, но позже оно использовалось таким образом при решении астрономических задач аль-Бируни (11 век) и Иоганнесом де Мюрисом (14 век). Нечто, эквивалентное сферическому закону косинусов, использовалось (но не формулировалось в целом) аль-Хорезми (9 век), аль-Баттани (9 век) и Нилакантой (15 век).

Джамшид аль-Каши , персидский математик и астроном XV века, вычисливший самые точные тригонометрические таблицы своего времени, писал о решении треугольников в своем «Мифтах аль-Хисаб» ( «Ключ арифметики» , 1427 г.), включая следующий метод нахождения третья сторона с учетом двух сторон и прилежащего к ним угла:

Версия закона косинусов Аль-Каши (случай, когда γ тупой), выраженная в современных алгебраических обозначениях.

Другой случай , когда известны две стороны и угол между ними, а остальные неизвестны. Мы умножаем одну из сторон на синус [известного] угла один раз и на синус его дополнения, другой раз преобразуем, и вычитаем второй результат из другой стороны, если угол острый, и прибавляем его, если угол равен тупой. Затем мы возводим результат в квадрат и добавляем к нему квадрат первого результата. Извлекаем квадратный корень из суммы, чтобы получить оставшуюся часть....

- -Хисаб Мифтах аль Аль-Каши ,
Перевод Нуха Айдина, Лахдара Хаммуди и Гады Бакбука

Используя современные алгебраические обозначения и соглашения, это можно было бы записать

$c={\sqrt {(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}}}$

когда $\gamma$ носит острый или

$c={\sqrt {\left(b+a\left|\cos \gamma \right|\right)^{2}+\left(a\sin \gamma \right)^{2}}}$

когда $\gamma$тупо. (Когда $\gamma$ это глупо, современное соглашение таково, что $\cos \gamma$ является отрицательным и $\cos(\pi -\gamma )=-\cos \gamma$является положительным; исторически синусы и косинусы считались отрезками прямой с неотрицательной длиной.) Путем возведения в квадрат обеих сторон, расширения квадрата бинома, а затем применения тригонометрического тождества Пифагора $\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1,$ получаем знакомый закон косинусов:

${\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}-2ba\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\[5mu]&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

Во Франции закон косинусов иногда называют теоремой д'Аль-Каши .

Метод Аль-Каши по сути такой же, как метод, рекомендованный для решения таких треугольников в книге Насира ад-Дина ат-Туси « Китаб аль-Шакл аль-катта» ( «Книга о полном четырехугольнике» , ок. 1250 г.), но с описанными шагами. явно, вместо того, чтобы оставлять детали читателю.

Теорема была впервые записана с использованием алгебраических обозначений Франсуа Вьета в 16 веке. В начале XIX века современные алгебраические обозначения позволили записать закон косинусов в его нынешней символической форме.

Доказательства

Использование теоремы Пифагора

Доказательство закона косинусов в остроугольных и тупоугольных треугольниках с помощью теоремы Пифагора.

Тупоугольный треугольник ABC с высотой BH.

Случай тупого угла

Евклид доказал эту теорему, применив теорему Пифагора к каждому из двух прямоугольных треугольников на рис. 2 ( AHB и CHB ). Используя d для обозначения отрезка CH и h для высоты BH , треугольник AHB дает нам

$c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},$

и треугольник CHB дает

$d^{2}+h^{2}=a^{2}.$

Разложение первого уравнения дает

$c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.$

Подставив в это второе уравнение, можно получить следующее:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.$

Это 12-е предложение Евклида из второй книги « Начал» . Чтобы преобразовать его в современную форму закона косинусов, заметим, что

$d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .$

Случай острого угла

Доказательство Евклидом его предложения 13 идет по той же схеме, что и его доказательство предложения 12: он применяет теорему Пифагора к обоим прямоугольным треугольникам, образованным путем опускания перпендикуляра на одну из сторон, охватывающих угол γ , и использует квадрат разности для упрощения .

Еще одно доказательство в остром случае

Рис. 6 – Краткое доказательство с использованием тригонометрии для случая острого угла

Используя больше тригонометрии, закон косинусов можно вывести, применив теорему Пифагора только один раз. Фактически, используя прямоугольный треугольник в левой части рис. 6, можно показать, что:

${\begin{aligned}c^{2}&=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}$

используя тригонометрическое тождество $\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.$

Это доказательство нуждается в небольшой модификации, если b < a cos( γ ) . В этом случае прямоугольный треугольник, к которому применяется теорема Пифагора, выходит за пределы треугольника ABC . Единственное влияние, которое это оказывает на расчет, заключается в том, что величина b − a cos( γ ) заменяется на a cos( γ ) − b . Поскольку эта величина входит в расчет только через свой квадрат, остальная часть доказательства не затрагивается. Однако эта проблема возникает только тогда, когда β тупой, и ее можно избежать, отразив треугольник вокруг биссектрисы γ .

Ссылаясь на рис. 6, стоит отметить, что если угол, противоположный стороне a , равен α , то:

$\tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}.$

Это полезно для прямого расчета второго угла, когда заданы две стороны и прилежащий угол.

С трёх высот

Рис. 5 – Остроугольный треугольник с перпендикуляром

Высота , проходящая через вершину C , представляет собой отрезок, перпендикулярный стороне c . Расстояние от подножия высоты до вершины А плюс расстояние от подножия высоты до вершины В равно длине стороны с (см. рис. 5). Каждое из этих расстояний можно записать как произведение одной из других сторон на косинус прилежащего угла:

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha .$

(Это по-прежнему верно, если α или β тупые, и в этом случае перпендикуляр выходит за пределы треугольника.) Умножение обеих сторон на c дает

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .$

Те же шаги работают так же хорошо, если рассматривать любую из других сторон как основание треугольника:

${\begin{aligned}a^{2}&=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\\[3mu]b^{2}&=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

Взяв уравнение для $c^{2}$ и вычитая уравнения для $b^{2}$ и $a^{2},$

${\begin{aligned}c^{2}-a^{2}-b^{2}&={\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}+{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-{\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}-{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

Это доказательство не зависит от теоремы Пифагора , поскольку оно основано только на определении косинуса в прямоугольном треугольнике и алгебраически получает квадраты длин сторон. теорему Пифагора и являются более геометрическими, рассматривая cos Другие доказательства обычно явно ссылаются на γ как метку длины определенного отрезка прямой.

рассматриваются случаи тупых и острых углов γ В отличие от многих доказательств, в этом унифицировано .

Декартовы координаты

Рис. 4 – Доказательство координатной геометрии

Рассмотрим треугольник со сторонами длиной a , b , c , где θ — это угол, противоположный стороне длины c . Этот треугольник можно поместить в декартову систему координат со стороной a, выровненной по оси x , и углом θ , расположенным в начале координат, путем нанесения на график компонентов трех точек треугольника, как показано на рис. 4:

$A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{ and }}C=(0,0).$

По формуле расстояния ,

$c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}.$

Возведение в квадрат обеих сторон и упрощение

${\begin{aligned}c^{2}&=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\&=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}$

Преимущество этого доказательства в том, что оно не требует рассмотрения отдельных случаев в зависимости от того, является ли угол γ острым, прямым или тупым. Однако случаи, рассмотренные отдельно в Элементах II.12–13 и позже ат-Туси, аль-Каши и другими, сами по себе могут быть объединены с использованием понятий знаковых длин и площадей и понятия знакового косинуса, без необходимости полного декартова система координат.

Используя теорему Птолемея

Доказательство закона косинусов с помощью теоремы Птолемея.

На схеме треугольник ABC со сторонами AB = c , BC = a и AC = b нарисован внутри описанной окружности, как показано. Треугольник ABD построен равным треугольнику ABC , причем AD = BC и BD = AC . Перпендикуляры из D и C пересекают основание AB в точках E и F соответственно. Затем:

${\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}$

Теперь закон косинусов выражается прямым применением теоремы Птолемея к вписанному четырехугольнику ABCD :

${\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}$

если угол B прямой Очевидно, что , то ABCD — прямоугольник, и применение теоремы Птолемея приводит к теореме Пифагора :

$a^{2}+c^{2}=b^{2}.\quad$

Сравнивая области

Рис. 7а – Доказательство закона косинусов для острого угла γ методом «вырезания и склеивания».

Рис. 7б – Доказательство закона косинусов для тупого угла γ методом «вырезания и склеивания».

Закон косинусов можно также доказать, вычислив площади . Изменение знака по мере того, как угол γ становится тупым, делает необходимым различение падежей.

Напомним, что

• а ² , б ² , и с ² – площади квадратов со сторонами a , b и c соответственно;
• если γ острый, то ab cos γ — площадь параллелограмма со сторонами a и b , образующими угол γ′ = π / 2 - γ ;
• если γ тупой, и поэтому cos γ отрицательен, то − ab cos γ — это площадь параллелограмма , стороны a и b которого образуют угол γ′ = γ − п / 2 .

Острый случай. На рис. 7а показан семиугольник , разрезанный на более мелкие части (двумя разными способами), что дает доказательство закона косинусов. Различные части

• розовым выделены области a ² , б ² слева и области 2 ab cos γ и c ² справа;
• синим цветом треугольник ABC слева и справа;
• серым цветом — вспомогательные треугольники, все конгруэнтные ABC . , одинаковое число (а именно 2) как слева, так и справа

Равенство площадей слева и справа дает

$\,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma \,.$

Тупой случай. разрезается На рисунке 7б шестиугольник на более мелкие части двумя разными способами, что дает доказательство закона косинусов в случае, когда угол γ тупой. У нас есть

• розовым выделены области a ² , б ² , и −2 ab cos γ слева и c ² справа;
• синим цветом треугольник ABC дважды, слева и справа.

Равенство площадей слева и справа дает

$\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.$

Строгое доказательство должно будет включать доказательства того, что различные фигуры конгруэнтны и, следовательно, имеют одинаковую площадь. Для этого воспользуемся теорией равных треугольников .

Использование геометрии круга

Рис. 8а – Треугольник ABC (розовый), вспомогательный круг (голубой) и вспомогательный прямоугольный треугольник (желтый)

Рис. 8б – Треугольник ABC (розовый), вспомогательный круг (голубой) и два вспомогательных прямоугольных треугольника (желтый)

Рис. 9 – Доказательство закона косинусов с использованием силы точечной теоремы.

Используя геометрию круга , можно дать более геометрическое доказательство, чем используя одну лишь теорему Пифагора . Алгебраические манипуляции (в частности, биномиальная теорема ) избегаются.

Случай острого угла γ , где a > 2 b cos γ . Опустите перпендикуляр из A на a = BC , создав отрезок длиной b cos γ . Дублируйте прямоугольный треугольник , чтобы сформировать равнобедренный треугольник ACP . Постройте круг с центром A и радиусом b и его касательной h = BH проходящей через B. , Касательная h образует прямой угол с радиусом b Евклида ( Начала : Книга 3, Предложение 18; или см. здесь ), поэтому желтый треугольник на рисунке 8 является прямым. Примените теорему Пифагора , чтобы получить

$c^{2}=b^{2}+h^{2}.$

Затем используйте теорему о касательном секущем Евклида ( Начала : Книга 3, Предложение 36), которая гласит, что квадрат касательной, проходящей через точку B вне круга, равен произведению двух отрезков прямой (из B ), созданных любым секущим. круга B. через В данном случае: БХ ² = BC · BP , или

$h^{2}=a(a-2b\cos \gamma ).$

Подстановка в предыдущее уравнение дает закон косинусов:

$c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \gamma ).$

Обратите внимание, что ч ² — степень точки B относительно окружности. Использование теоремы Пифагора и теоремы о касательном секущем можно заменить однократным применением теоремы о мощности точки .

Случай острого угла γ , где a < 2 b cos γ . Опустите перпендикуляр из A на a = BC , создав отрезок длиной b cos γ . Дублируйте прямоугольный треугольник , чтобы сформировать равнобедренный треугольник ACP . Постройте круг с центром A и радиусом b и хордой , проходящей через B , перпендикулярной c = AB , половина которой равна h = BH . Примените теорему Пифагора , чтобы получить

$b^{2}=c^{2}+h^{2}.$

Теперь используйте теорему о хорде Евклида ( Начала : Книга 3, предложение 35), которая гласит, что если две хорды пересекаются, произведение двух отрезков, полученных на одной хорде, равно произведению двух отрезков, полученных на другой хорде. . В данном случае: БХ ² = BC · BP , или

$h^{2}=a(2b\cos \gamma -a).$

Подстановка в предыдущее уравнение дает закон косинусов:

$b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \gamma -a)\,.$

Обратите внимание, что степень точки B относительно окружности имеет отрицательное значение — h ² .

Случай тупого угла γ . В этом доказательстве напрямую используется сила точечной теоремы, без вспомогательных треугольников, полученных путем построения касательной или хорды. Постройте круг с центром B и радиусом a (см. рисунок 9), который секущие через A и C в C и K. пересекает Степень А точки AB относительно окружности равна как ² − до нашей эры ² и АС · АК . Поэтому,

${\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos \gamma ),\end{aligned}}$

что является законом косинусов.

Используя алгебраические меры для отрезков линий (допуская отрицательные числа в качестве длин отрезков), случай тупого угла ( CK > 0 ) и острого угла ( CK < 0 ) можно рассматривать одновременно.

Использование закона синусов

Закон косинусов можно доказать алгебраически на основе закона синусов и нескольких стандартных тригонометрических тождеств. Для начала сложим три угла треугольника в прямой угол ( $\alpha +\beta +\gamma =\pi$радианы). Таким образом, согласно тождествам суммы углов для синуса и косинуса,

${\begin{alignedat}{3}\sin \gamma &={\phantom {-}}\sin(\pi -\gamma )&&={\phantom {-}}\sin(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta ,\\[5mu]\cos \gamma &=-\cos(\pi -\gamma )&&=-\cos(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \alpha \,\cos \beta .\end{alignedat}}$

Возводя в квадрат первое из этих тождеств, затем подставляя $\cos \alpha \,\cos \beta ={}$$\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma$ со второго и, наконец, заменив $\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha ={}$$\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1,$ имеем тригонометрическое тождество Пифагора :

${\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=(\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta )^{2}\\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \alpha \,\cos \beta +\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta (\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma )+\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha (\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+\sin ^{2}\beta (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma .\end{aligned}}$

Закон синусов утверждает, что

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=k,$

поэтому, чтобы доказать закон косинусов, мы умножаем обе части нашего предыдущего тождества на $k^{2}\colon$

${\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma {\frac {c^{2}}{\sin ^{2}\gamma }}&=\sin ^{2}\alpha {\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+\sin ^{2}\beta {\frac {b^{2}}{\sin ^{2}\beta }}-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma {\frac {ab}{\sin \alpha \,\sin \beta }}\\[10mu]c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

На этом доказательство завершается.

Использование векторов

Треугольник с векторными краями a и b , разделенными углом θ .

Обозначим

${\overrightarrow {CB}}={\vec {a}},\ {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}},\ {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}$

Поэтому,

${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$

Взяв скалярное произведение каждой стороны с собой:

${\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})$

$\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

Использование личности

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \,\Vert {\vec {v}}\Vert \cos \angle ({\vec {u}},\ {\vec {v}})$

приводит к

$\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\,\Vert {\vec {a}}\Vert \!\;\Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})$

Результат следующий.

Равнобедренный случай

Когда a = b , т. е. когда треугольник равнобедренный и две стороны, лежащие на угле γ, равны, закон косинусов существенно упрощается. А именно, потому что ² + б ² = 2 а ² = 2 ab , закон косинусов принимает вид

$\cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}$

или

$c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).$

Аналог тетраэдров

Дан произвольный тетраэдр , четыре грани которого имеют площади A , B , C и D с двугранным углом . $\varphi _{ab}$ между гранями A и B и т. д. многомерный аналог закона косинусов:

$A^{2}=B^{2}+C^{2}+D^{2}-2\left(BC\cos \varphi _{bc}+CD\cos \varphi _{cd}+DB\cos \varphi _{db}\right).$

Версия подходит для небольших углов

Когда угол γ мал, а прилегающие стороны a и b имеют одинаковую длину, правая часть стандартной формы закона косинусов подвергается катастрофическому сокращению в числовых приближениях. В ситуациях, когда это важно, математически эквивалентная версия закона косинусов, подобная формуле хаверсинуса может оказаться полезной :

${\begin{aligned}c^{2}&=(a-b)^{2}+4ab\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=(a-b)^{2}+4ab\operatorname {haversin} (\gamma ).\end{aligned}}$

В пределе бесконечно малого угла закон косинусов вырождается в длины дуги окружности формулу c = a γ .

В сферической и гиперболической геометрии

Основные статьи: Сферический закон косинусов и Гиперболический закон косинусов

Сферический треугольник решается по закону косинусов.

Версии, аналогичные закону косинусов для евклидовой плоскости, справедливы и на единичной сфере и в гиперболической плоскости. В сферической геометрии треугольник определяется тремя точками u , v и w на единичной сфере и дугами больших кругов, соединяющими эти точки. Если эти большие круги образуют углы A , B и C с противоположными сторонами a , b , c , то сферический закон косинусов утверждает, что выполняются оба следующих соотношения:

${\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.\end{aligned}}$

В гиперболической геометрии пара уравнений известна под общим названием гиперболический закон косинусов . Первое - это

$\cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A$

где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус , а второй —

$\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.$

Как и в евклидовой геометрии, можно использовать закон косинусов для определения углов A , B , C по знанию сторон a , b , c . В отличие от евклидовой геометрии, в обеих неевклидовых моделях возможен и обратный процесс: углы A , B , C определяют стороны a , b , c .

Многогранники

Закон косинусов можно обобщить на все многогранники , рассмотрев любой многогранник с векторными сторонами и применив теорему о дивергенции. .

См. также

• Полусторонняя формула
• Закон синусов
• Закон касательных
• Закон котангенсов
• Список тригонометрических тождеств
• Формула Молвейде

Внешние ссылки

• «Теорема косинуса» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Несколько выводов закона косинуса, в том числе вывод Евклида при разрезании узла.
• Интерактивный апплет закона косинусов