Теорема Птолемея

Теорема Птолемея представляет собой соотношение между этими длинами в вписанном четырехугольнике. $\definecolor {V}{rgb}{0.5803921568627451,0,0.8274509803921568}\definecolor {B}{rgb}{0,0,1}\definecolor {R}{rgb}{0.8,0,0}{\color {V}AC}\cdot {\color {V}BD}={\color {B}AB}\cdot {\color {B}CD}+{\color {R}BC}\cdot {\color {R}AD}$

В евклидовой геометрии теорема Птолемея представляет собой соотношение между четырьмя сторонами и двумя диагоналями вписанного четырехугольника (четырехугольника, вершины которого лежат на общей окружности). Теорема названа в честь греческого астронома и математика Птолемея (Клавдия Птолемея). Птолемей использовал эту теорему для создания своей таблицы хорд , тригонометрической таблицы, которую он применил в астрономии.

Если вершины вписанного четырехугольника расположены по порядку A , B , C и D , то теорема утверждает, что:

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$

Устно это отношение может быть выражено следующим образом:

Если четырёхугольник вписанный , то произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон.

Более того, верно и обратное утверждение теоремы Птолемея:

В четырехугольнике, если сумма произведений длин двух его пар противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей, то четырехугольник можно вписать в окружность, т. е. он является вписанным четырехугольником .

Следствия о вписанных многоугольниках

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник

Теорема Птолемея дает в качестве следствия красивую теорему относительно равностороннего треугольника, вписанного в окружность.

Дан равносторонний треугольник, вписанный в окружность, и точка на этой окружности.

Расстояние от точки до самой дальней вершины треугольника представляет собой сумму расстояний от точки до двух ближайших вершин.

Доказательство: следует непосредственно из теоремы Птолемея:

$qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.$

Квадрат

Любой квадрат можно вписать в круг, центром которого является центр квадрата. Если общая длина четырех его сторон равна $a$ тогда длина диагонали равна $a{\sqrt {2}}$ согласно теореме Пифагора , и соотношение Птолемея, очевидно, выполняется.

Прямоугольник

Теорема Пифагора: «Оно очевидно» : Коперник

В более общем смысле, если четырехугольник представляет собой прямоугольник со сторонами a и b и диагональю d, то теорема Птолемея сводится к теореме Пифагора. В этом случае центр круга совпадает с точкой пересечения диагоналей. Тогда произведение диагоналей равно d ² , правая часть соотношения Птолемея представляет собой сумму a ² + б ² .

Коперник, который широко использовал теорему Птолемея в своих тригонометрических работах, называет этот результат «поризмом» или самоочевидным следствием:

Более того, ясно ( manifestum est ), что если дана хорда, стягивающая дугу, то можно найти и ту хорду, которая стягивает остальную часть полукруга.

Пентагон

Золотое сечение следует из этого применения теоремы Птолемея.

Более интересный пример — соотношение между длиной a стороны и (общей) длиной b пяти хорд правильного пятиугольника. Заполняя квадрат , отношение дает золотое сечение :

${\begin{array}{rl}b\cdot b\,\;\;\qquad \quad \qquad =&\!\!\!\!a\!\cdot \!a+a\!\cdot \!b\\b^{2}\;\;-ab\quad \qquad =&\!\!a^{2}\\{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\;\;-{\frac {ab}{a^{2}}}\;\;\;\qquad =&\!\!\!{\frac {a^{2}}{a^{2}}}\\\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\\\left({\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!\quad {\frac {5}{4}}\\{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\;\;\;=&\!\!\!\!\pm {\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {b}{a}}>0\,\Rightarrow \,\varphi ={\frac {b}{a}}=&\!\!\!\!{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}$

Сторона десятиугольника

Сторона вписанного десятиугольника

Если теперь диаметр AF провести пополам DC так, что DF и CF являются сторонами c вписанного десятиугольника, теорему Птолемея можно снова применить - на этот раз к вписанному четырехугольнику ADFC с диаметром d в качестве одной из его диагоналей:

$ad=2bc$

$\Rightarrow ad=2\varphi ac$ где $\varphi$ это золотое сечение.

$\Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}.$

откуда сторона вписанного десятиугольника получается через диаметр круга. Теорема Пифагора, примененная к прямоугольному треугольнику AFD, дает «b» в терминах диаметра и «а» в виде стороны пятиугольника. после этого рассчитывается как

$a={\frac {b}{\varphi }}=b\left(\varphi -1\right).$

Как писал Коперник (вслед за Птолемеем):

«Даны диаметр круга, даны также стороны треугольника, четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника, которые описывает тот же круг».

Доказательства

Дополнительная информация: Доказательства тригонометрических тождеств.

Визуальное доказательство

Анимированное визуальное доказательство теоремы Птолемея, основанное на Деррике и Херштейне (2012).

Анимация здесь показывает наглядную демонстрацию теоремы Птолемея, основанной на работе Деррика и Херштейна (2012).

Доказательство подобием треугольников.

Конструкции доказательства теоремы Птолемея.

Пусть ABCD — вписанный четырехугольник . На хорде BC вписанные углы ∠BAC = ∠BDC, а на AB ∠ADB = ∠ACB. Построим K на AC так, чтобы ∠ABK = ∠CBD; поскольку ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.

Итак, по общим углам △ABK подобен △DBC, а △ABD подобен △KBC. Таким образом, AK/AB = CD/BD и CK/BC = DA/BD; эквивалентно, AK⋅BD = AB⋅CD и CK⋅BD = BC⋅DA. Добавляя два равенства, мы получаем AK⋅BD + CK⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, а факторизация дает (AK+CK)·BD = AB⋅CD + BC⋅DA. Но AK+CK = AC, поэтому AC⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA, QED.

Написанное доказательство справедливо только для простых вписанных четырехугольников. Если четырехугольник самопересекающийся, то K будет находиться вне отрезка AC. Но в данном случае AK−CK = ±AC, что дает ожидаемый результат.

Доказательство тригонометрическими тождествами.

Пусть вписанные углы, образуемые $AB$, $BC$ и $CD$ быть, соответственно, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, а радиус круга будет $R$, тогда мы имеем $AB=2R\sin \alpha$, $BC=2R\sin \beta$, $CD=2R\sin \gamma$, $AD=2R\sin(180^{\circ }-(\alpha +\beta +\gamma ))$, $AC=2R\sin(\alpha +\beta )$ и $BD=2R\sin(\beta +\gamma )$, а исходное равенство, которое необходимо доказать, преобразуется в вид

$\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )$

откуда фактор $4R^{2}$ исчезло, разделив на него обе части уравнения.

Теперь, используя формулы суммы, $\sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y$ и $\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$, легко показать, что обе части приведенного выше уравнения равны

${\begin{aligned}&\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma \\+{}&\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma .\end{aligned}}$

КЭД

Вот еще одно, возможно, более наглядное доказательство с использованием элементарной тригонометрии. Определить новый четырехугольник $ABCD'$ вписан в тот же круг, где $A,B,C$ такие же как в $ABCD$, и $D'$ расположен в новой точке того же круга, определяемой формулой $|{\overline {AD'}}|=|{\overline {CD}}|$, $|{\overline {CD'}}|=|{\overline {AD}}|$. (Изображение треугольник $ACD$ перевернуто, так что вершина $C$ перемещается в вершину $A$ и вершина $A$ перемещается в вершину $C$. Вертекс $D$ теперь будет находиться в новой точке D' на окружности.) Затем, $ABCD'$ имеет одинаковые длины ребер и, следовательно, одинаковые вписанные углы, образуемые соответствующие ребра, так как $ABCD$, только в другом порядке. То есть, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, соответственно, $AB,BC$ и $AD'$. Также, $ABCD$ и $ABCD'$ имеют одинаковую площадь. Затем,

${\begin{aligned}\mathrm {Area} (ABCD)&={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin(\alpha +\gamma );\\\mathrm {Area} (ABCD')&={\frac {1}{2}}AB\cdot AD'\cdot \sin(180^{\circ }-\alpha -\gamma )+{\frac {1}{2}}BC\cdot CD'\cdot \sin(\alpha +\gamma )\\&={\frac {1}{2}}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)\cdot \sin(\alpha +\gamma ).\end{aligned}}$

КЭД

Доказательство обращением

Доказательство теоремы Птолемея методом обращения окружности.

Выберите вспомогательный круг $\Gamma$ радиуса $r$ с центром в точке D, относительно которой описанная окружность ABCD переворачивается в прямую (см. рисунок). Затем $A'B'+B'C'=A'C'.$ Затем $A'B',B'C'$ и $A'C'$ может быть выражено как ${\textstyle {\frac {AB\cdot DB'}{DA}}}$, ${\textstyle {\frac {BC\cdot DB'}{DC}}}$ и ${\textstyle {\frac {AC\cdot DC'}{DA}}}$ соответственно. Умножив каждое слагаемое на ${\textstyle {\frac {DA\cdot DC}{DB'}}}$ и используя ${\textstyle {\frac {DC'}{DB'}}={\frac {DB}{DC}}}$ дает равенство Птолемея.

КЭД

Обратите внимание, что если четырехугольник не является вписанным, то A', B' и C' образуют треугольник и, следовательно, A'B'+B'C' > A'C', что дает нам очень простое доказательство неравенства Птолемея, которое представлено ниже. .

Доказательство с использованием комплексных чисел

Вложим ABCD в комплексную плоскость. $\mathbb {C}$ путем выявления $A\mapsto z_{A},\ldots ,D\mapsto z_{D}$ как четыре различных комплексных числа $z_{A},\ldots ,z_{D}\in \mathbb {C}$. Определить перекрестное соотношение

$\zeta :={\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\in \mathbb {C} _{\neq 0}$.

Затем

${\begin{aligned}{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}&=\left|z_{A}-z_{B}\right|\left|z_{C}-z_{D}\right|+\left|z_{A}-z_{D}\right|\left|z_{B}-z_{C}\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right|+\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left(\left|{\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\right|+1\right)\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left(\left|\zeta \right|+1\right)\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&\geq \left|(\zeta +1)(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})\right|\\&=\left|z_{A}-z_{C}\right|\left|z_{B}-z_{D}\right|\\&={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\end{aligned}}$

с равенством тогда и только тогда, когда перекрестное отношение $\zeta$ является положительным действительным числом. Это доказывает неравенство Птолемея в целом, поскольку остается только показать, что $z_{A},\ldots ,z_{D}$ лежат последовательно расположенные по окружности (возможно, бесконечного радиуса, т.е. по линии) в $\mathbb {C}$ тогда и только тогда, когда $\zeta \in \mathbb {R} _{>0}$.

Из полярной формы комплексного числа $z=\vert z\vert e^{i\arg(z)}$, следует

${\begin{aligned}\arg(\zeta )&=\arg {\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\\&=\arg(z_{A}-z_{B})+\arg(z_{C}-z_{D})-\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{B}-z_{C}){\pmod {2\pi }}\\&=\arg(z_{A}-z_{B})+\arg(z_{C}-z_{D})-\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(-1){\pmod {2\pi }}\\&=-\left[\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B})\right]-\left[\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D})\right]-\arg(-1){\pmod {2\pi }}\\&=-\angle ABC-\angle CDA-\pi {\pmod {2\pi }}\\&=0\end{aligned}}$

причем последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда ABCD является вписанным, поскольку четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна $\pi$.

КЭД

Обратите внимание, что это доказательство эквивалентно выполнено с учетом того, что цикличность ABCD, т. е. дополнительность $\angle ABC$ и $\angle CDA$, эквивалентно условию

$\arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})\right]{\pmod {2\pi }}$;

в частности, происходит ротация $\mathbb {C}$ в котором это $\arg$ равно 0 (т.е. все три произведения являются положительными действительными числами), и согласно теореме Птолемея

${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$

тогда непосредственно устанавливается из простого алгебраического тождества

$(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})=(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D}).$

Следствия

$|S_{1}|=\sin(\theta _{1})$

Следствие 1: Теорема Пифагора

В случае круга единичного диаметра стороны $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ любого вписанного четырехугольника ABCD численно равны синусам углов $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ и $\theta _{4}$ которые они скрывают. Точно так же диагонали равны синусу суммы любой пары углов, на которые они опираются. Тогда мы можем записать теорему Птолемея в следующей тригонометрической форме:

$\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})$

Применение определенных условий к стягиваемым углам $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ и $\theta _{4}$ можно вывести ряд важных следствий, используя вышеизложенное в качестве отправной точки. В дальнейшем важно иметь в виду, что сумма углов $\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=180^{\circ }$.

Следствие 1. Теорема Пифагора.

Позволять $\theta _{1}=\theta _{3}$ и $\theta _{2}=\theta _{4}$. Затем $\theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }$ (поскольку противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными). Затем:

$\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})$

$\sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})$

$\sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1$

Следствие 2. Закон косинусов.

Следствие 2: закон косинусов

Позволять $\theta _{2}=\theta _{4}$. Прямоугольник из следствия 1 теперь представляет собой симметричную трапецию с равными диагоналями и парой равных сторон. Параллельные стороны отличаются по длине на $2x$ единицы, где:

$x=S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})$

В этом случае будет проще вернуться к стандартной формулировке теоремы Птолемея:

${\begin{array}{lcl}S_{1}S_{3}+S_{2}S_{4}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\\\Rightarrow S_{1}S_{3}+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow S_{1}[S_{1}-2S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})]+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow {S_{1}}^{2}+{S_{2}}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\overline {AC}}^{2}\\\end{array}}$

Правило косинусов треугольника ABC.

Следствие 3. Сложный угол синус (+)

Позволять

$\theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }.$

Затем

$\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})$

Поэтому,

$\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\times 1$

Формула синуса составного угла (+).

Следствие 4. Синус сложного угла (−)

Позволять $\theta _{1}=90^{\circ }$. Затем $\theta _{2}+(\theta _{3}+\theta _{4})=90^{\circ }$. Следовательно,

$\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})$

$\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}$

$\sin \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\sin \theta _{2}$

Формула синуса составного угла (-).

Этот вывод соответствует третьей теореме как записано Коперником вслед за Птолемеем в «Альмагесте» . В частности, если заданы стороны пятиугольника (стягивающего 36° по окружности) и шестиугольника (стягивающего 30° по окружности), можно вычислить хорду, стягивающую 6°. Это был решающий шаг в древнем методе расчета таблиц аккордов.

Следствие 5. Сложный угол косинус (+)

Это следствие является ядром Пятой теоремы , записанной Коперником вслед за Птолемеем в «Альмагесте».

Позволять $\theta _{3}=90^{\circ }$. Затем $\theta _{1}+(\theta _{2}+\theta _{4})=90^{\circ }$. Следовательно

$\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})$

$\cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}$

$\cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}$

Формула косинуса составного угла (+)

Несмотря на недостаток ловкости наших современных тригонометрических обозначений, из приведенных выше следствий должно быть ясно, что в теореме Птолемея (или, проще говоря, Второй теореме ) древний мир имел в своем распоряжении чрезвычайно гибкий и мощный тригонометрический инструмент, который позволял познавать те раз, чтобы составить точные таблицы аккордов (соответствующие таблицам синусов) и использовать их в своих попытках понять и нанести на карту космос, каким они его видели. Поскольку таблицы аккордов были составлены Гиппархом за три столетия до Птолемея, мы должны предположить, что он знал о «Второй теореме» и ее производных. Следуя по следам древних астрономов, история записывает звездный каталог Тимохариса Александрийского. Если, что кажется вероятным, составление таких каталогов требовало понимания «Второй теоремы», то истинные истоки последней впоследствии исчезают в тумане древности, но не может быть неразумным предполагать, что астрономы, архитекторы и инженеры-строители Древний Египет, возможно, имел некоторые знания об этом.

Неравенство Птолемея

Основная статья: неравенство Птолемея

Это не вписанный четырёхугольник. Равенство здесь никогда не выполняется и является неравным в направлении, указанном неравенством Птолемея.

Уравнение в теореме Птолемея никогда не верно для нециклических четырехугольников. Неравенство Птолемея является расширением этого факта и представляет собой более общую форму теоремы Птолемея. В нем говорится, что если задан четырехугольник ABCD , то

${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный . Этот частный случай эквивалентен теореме Птолемея.

Сопутствующая теорема о соотношении диагоналей

Теорема Птолемея дает произведение диагоналей (вписанного четырехугольника), зная стороны, следующая теорема дает то же самое для отношения диагоналей.

${\frac {AC}{BD}}={\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}$

Доказательство : Известно, что площадь треугольника $ABC$ вписан в окружность радиуса $R$ является: ${\mathcal {A}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}$

Записав площадь четырехугольника как сумму двух треугольников, имеющих одну и ту же описанную окружность, мы получим два соотношения для каждого разложения.

${\mathcal {A}}_{\text{tot}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}+{\frac {CD\cdot DA\cdot AC}{4R}}={\frac {AC\cdot (AB\cdot BC+CD\cdot DA)}{4R}}$

${\mathcal {A}}_{\text{tot}}={\frac {AB\cdot BD\cdot DA}{4R}}+{\frac {BC\cdot CD\cdot DB}{4R}}={\frac {BD\cdot (AB\cdot DA+BC\cdot CD)}{4R}}$

Приравнивая, получаем заявленную формулу.

Следствие : Зная произведение и отношение диагоналей, мы выводим их непосредственные выражения:

${\begin{aligned}AC^{2}&=AC\cdot BD\cdot {\frac {AC}{BD}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}\\[8pt]BD^{2}&={\frac {AC\cdot BD}{\frac {AC}{BD}}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot DA+BC\cdot CD}}\end{aligned}}$

См. также

• Теорема Кейси
• Греческая математика

Ссылки

• Коксетер, Х.С.М. и С.Л. Грейцер (1967) «Теорема Птолемея и ее расширения». §2.6 в книге «Возвращение к геометрии» , Математическая ассоциация Америки, стр. 42–43.
• Коперник (1543) De Revolutionibus Orbium Coelestium , английский перевод найден в книге «На плечах гигантов» (2002) под редакцией Стивена Хокинга , Penguin Books. ISBN   0-14-101571-3
• Амарасингхе, GWIS (2013) Краткое элементарное доказательство теоремы Птолемея , Глобальный журнал перспективных исследований классической и современной геометрии (GJARCMG) 2 (1): 20–25 (pdf).

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Птолемея для циклического четырехугольника.
• MathPages – О теореме Птолемея
• Элерт, Гленн (1994). «Таблица аккордов Птолемея» . Электронный мир .
• Теорема Птолемея о разрубании узла
• Доказательство сложного угла при разрезании узла
• Теорема Птолемея. Архивировано 24 июля 2011 г. в Wayback Machine на PlanetMath.
• Неравенство Птолемея в MathWorld
• О революциях небесных сфер в Гарварде.
• Глубокие тайны: Великая пирамида, золотое сечение и королевский локоть
• Теорема Птолемея Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Книга XIII . «Начал» Евклида
• Чудесное доказательство (теоремы Птолемея) Звезделины Станковой, числофила.