Теорема Менелая

В евклидовой геометрии теорема Менелая , названная в честь Менелая Александрийского , представляет собой утверждение о треугольниках в плоской геометрии . Предположим, у нас есть треугольник $△ ABC$ и трансверсальная линия, которая пересекает $BC, AC, AB$ в точках $D, E, F$ соответственно, причем $D, E, F$ отличны от $A, B,$ C. Слабая версия теоремы утверждает, что

$\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,$

где "| |" обозначает абсолютное значение (т. е. все длины сегментов положительны).

Теорему можно усилить до утверждения о знаковых длинах отрезков , которое дает некоторую дополнительную информацию об относительном порядке коллинеарных точек. Здесь длина $AB$ считается положительной или отрицательной в зависимости от того, находится ли $A$ слева или справа от $B$ в некоторой фиксированной ориентации линии; например, ${\tfrac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}$ определяется как имеющее положительное значение, когда $F$ находится между $A$ и $B$ , и отрицательное в противном случае. Подписанная версия теоремы Менелая гласит:

${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1.$

Эквивалентно, ^{[ 1 ]}

${\overline {AF}}\times {\overline {BD}}\times {\overline {CE}}=-{\overline {FB}}\times {\overline {DC}}\times {\overline {EA}}.$

Некоторые авторы по-разному организуют факторы и получают, казалось бы, иное соотношение ^{[ 2 ]} ${\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1,$ но поскольку каждый из этих факторов является отрицательным по отношению к соответствующему фактору, указанному выше, соотношение кажется таким же.

Обратное BC также верно: если точки $D, E, F$ выбраны на $, AC, AB$ соответственно так, что ${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1,$ тогда $D, E, F$ лежат на одной прямой . Обратное часто включается в теорему. (Обратите внимание, что обратное более слабому беззнаковому утверждению не обязательно верно.)

Теорема очень похожа на теорему Чевы тем, что их уравнения отличаются только знаком. Переписав каждую в терминах перекрестных отношений , обе теоремы можно рассматривать как проективно-двойственные . ^{[ 3 ]}

Доказательства

Стандартное доказательство ^{[ 4 ]}

Во-первых, знак левой части будет отрицательным, поскольку либо все три отношения отрицательны (это случай, когда линия $DEF$ не попадает в треугольник (нижняя диаграмма), либо одно отрицательное, а два других положительны, случай где $DEF$ пересекает две стороны треугольника. (См. аксиому Паша .)

Чтобы проверить величину, постройте перпендикуляры из $A, B, C$ к линии $DEF$ и примите их длины $a, b, c$ соответственно. Тогда из подобных треугольников следует, что $\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|.$

Поэтому, $\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {c}{a}}\right|=1.$

Для более простого, хотя и менее симметричного способа проверки величины: ^{[ 5 ]} нарисуйте $CK$ параллельно $AB$ где $DEF$ встречается с $CK$ в точке $K.$ , Тогда по подобным треугольникам $\left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {BF}}{\overline {CK}}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {CK}}}\right|,$ и результат получается путем исключения $CK$ из этих уравнений.

Обратное следует как следствие. ^{[ 6 ]} Пусть $D, E, F$ заданы на прямых $BC, AC, AB,$ так что уравнение выполняется. Пусть $F'$ — точка, где $DE$ пересекает $AB$ . Тогда по теореме уравнение справедливо и для $D, E, F'$ . Сравнивая эти два, ${\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}\ .$ Но не более чем одна точка может разрезать отрезок в заданном соотношении, поэтому $F = F'.$

Доказательство с использованием гомотетий

Следующее доказательство ^{[ 7 ]} использует только понятия аффинной геометрии , в частности гомотетий . Независимо от того, $ли D, E, F$ коллинеарными, существуют три гомотетии с центрами $D, E, F$ , которые соответственно отправляют $B$ в $C$ , $C$ в $A$ и $A$ в $B.$ являются Композиция трех тогда является элементом группы гомотетий-переводов, который фиксирует $B$ , поэтому это гомотетия с центром $B$ , возможно, с соотношением 1 (в этом случае это тождество). Эта композиция фиксирует прямую $DE$ тогда и только тогда, когда $F$ коллинеарна $D, E$ (поскольку первые две гомотетии заведомо фиксируют $DE$ , а третья — только в том случае, если $F$ лежит на $DE$ ). Следовательно, $D, E, F$ коллинеарны тогда и только тогда, когда эта композиция тождественна, что означает, что величина произведения трех отношений равна 1: ${\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=1,$ что эквивалентно данному уравнению.

История

Неизвестно, кто на самом деле открыл эту теорему; однако самая старая из сохранившихся экспозиций появляется в «Сферике» Менелая. В этой книге плоская версия теоремы используется в качестве леммы для доказательства сферической версии теоремы. ^{[ 8 ]}

В «Альмагесте» Птолемей применяет теорему к ряду задач сферической астрономии. ^{[ 9 ]} Во времена Золотого века ислама мусульманские учёные посвятили ряд работ, в которых занимались исследованием теоремы Менелая, которую они называли «предложением о секущих» ( шакл аль-катта ). Полный четырехугольник в их терминологии назывался «фигурой секущих». ^{[ 9 ]} аль-Бируни В работе «Ключи астрономии » перечислен ряд таких работ, которые можно отнести к исследованиям как части комментариев к «Альмагесту » Птолемея , а также к работам ан-Найризи и аль-Хазина , где каждая из них демонстрирует частные случаи астрономии. Теорема Менелая, приведшая к правилу синуса . ^{[ 10 ]} или произведения, составленные как независимые трактаты, такие как:

«Трактат о фигуре секущих» ( Рисала фи Шакл аль-Катта Сабита ибн Курры ) ^{[ 9 ]}
Хусама ад-Дина аль-Салара Книга «Снятие завесы с тайн фигуры секущих» (Кашф аль-кина 'ан асрар аль-шакл аль-катта'), также известная как «Книга о фигуре секущих». ( Китаб аш-шакл аль-катта' ) или в Европе как «Трактат о полном четырехугольнике» . На утраченный трактат ссылались Шараф ад-Дин ат-Туси и Насир ад-Дин ат-Туси . ^{[ 9 ]}
Работа аль-Сиджи . ^{[ 10 ]}
Тахзиб Абу Насра ибн Ирака . ^{[ 10 ]}
Рошди Рашед и Афанасий Пападопулос , Сферики Менелая: ранний перевод и версия Аль-Махани/аль-Харави, Де Грюйтер, Серия: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, страницы. ISBN 978-3-11-057142-4

Ссылки

^ Рассел, с. 6 .
^ Джонсон, Роджер А. (2007) [1927], Advanced Euclidean Geometry , Dover, p. 147, ISBN 978-0-486-46237-0
^ Бенитес, Хулио (2007). «Единое доказательство теорем Чевы и Менелая с использованием проективной геометрии» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 11 (1): 39–44.
^ Следует за Расселом
^ Следует Хопкинс, Джордж Ирвинг (1902). «Ст. 983». Индуктивная плоская геометрия . округ Колумбия Хит и Ко.
^ Следует за Расселом с некоторым упрощением.
^ См. Мишель Оден, Геометрия, издания BELIN, Париж, 1998: указания к упражнению 1.37, стр. 273
^ Смит, Делавэр (1958). История математики . Том. II. Публикации Courier Dover. п. 607. ИСБН 0-486-20430-8 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Рашид, Рошди (1996). Энциклопедия истории арабской науки . Том. 2. Лондон: Рутледж. п. 483. ИСБН 0-415-02063-8 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафаха и определениях Киблы». Арабские науки и философия . 21 (1). Издательство Кембриджского университета : 1–56. дои : 10.1017/S095742391000007X . S2CID 171015175 .

Рассел, Джон Уэлсли (1905). «Гл. 1 §6 «Теорема Менелая» ». Чистая геометрия . Кларендон Пресс.

Внешние ссылки

Альтернативное доказательство теоремы Менелая от PlanetMath.
Менелай Из чего-то
Цева и Менелай встречаются на дороге
Менелай и Сева в MathPages
Демонстрация теоремы Менелая Джея Варендорфа. Демонстрационный проект Wolfram .
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Менелая» . Математический мир .

[1] Рассел, с. 6 .

[2] Джонсон, Роджер А. (2007) [1927], Advanced Euclidean Geometry , Dover, p. 147, ISBN 978-0-486-46237-0

[3] Бенитес, Хулио (2007). «Единое доказательство теорем Чевы и Менелая с использованием проективной геометрии» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 11 (1): 39–44.

[4] Следует за Расселом

[5] Следует Хопкинс, Джордж Ирвинг (1902). «Ст. 983». Индуктивная плоская геометрия . округ Колумбия Хит и Ко.

[6] Следует за Расселом с некоторым упрощением.

[7] См. Мишель Оден, Геометрия, издания BELIN, Париж, 1998: указания к упражнению 1.37, стр. 273

[8] Смит, Делавэр (1958). История математики . Том. II. Публикации Courier Dover. п. 607. ИСБН 0-486-20430-8 .

[rashed-9] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Рашид, Рошди (1996). Энциклопедия истории арабской науки . Том. 2. Лондон: Рутледж. п. 483. ИСБН 0-415-02063-8 .

[musa-10] Jump up to: ^а ^б ^с Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафаха и определениях Киблы». Арабские науки и философия . 21 (1). Издательство Кембриджского университета : 1–56. дои : 10.1017/S095742391000007X . S2CID 171015175 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]