Неравенство Аристарха

Неравенство Аристарха (в честь греческого астронома и математика Аристарха Самосского ; ок. 310 – ок. 230 до н. э.) представляет собой закон тригонометрии , который гласит, что если α и β являются острыми углами (т. е. между 0 и прямым углом) и β < α затем

${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.$

Птолемей использовал первое из этих неравенств при построении своей таблицы хорд .

Доказательство

Доказательство является следствием более широко известных неравенств

$0<\sin(\alpha )<\alpha <\tan(\alpha )$,

$0<\sin(\beta )<\sin(\alpha )<1$ и

$1>\cos(\beta )>\cos(\alpha )>0$.

Доказательство первого неравенства

Используя эти неравенства, мы можем сначала доказать, что

${\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}.$

Прежде всего заметим, что неравенство эквивалентно

${\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}$

который сам по себе можно переписать как

${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.$

Теперь мы хотим показать, что

${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.$

Второе неравенство просто $\beta <\tan \beta$. Первое верно, потому что

${\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta ).$

Доказательство второго неравенства

Теперь мы хотим показать второе неравенство, т.е. что:

${\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.$

Прежде всего отметим, что в силу исходных неравенств имеем следующее:

$\beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}$

Следовательно, используя это $0<\alpha -\beta <\alpha$ в предыдущем уравнении (заменив $\beta$ к $\alpha -\beta <\alpha$) получаем:

${\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta ).$

Мы заключаем, что

${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.$

См. также

• Аристарх Самосский
• Эратосфен
• Посидоний

Внешние ссылки

• Лейбовиц, Джеральд М. «Астрономы-эллинисты и истоки тригонометрии» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 27 сентября 2011 г. Проверено 24 июня 2019 г.
• Доказательство первого неравенства
• Доказательство второго неравенства