О размерах и расстояниях (Аристарх)

О работе Гиппарха см. О размерах и расстояниях (Гиппарх) .

Расчеты Аристарха относительно относительных размеров Солнца, Земли и Луны в III веке до нашей эры из греческой копии X века нашей эры (слева направо).

Солнца и Луны). расстояниях ( написанной Аристархом из kaì , О размерах и selḗnēs] ) широко признана единственной сохранившейся работой íou Самос , древнегреческий астроном , живший около 310–230 гг. до н. э. В этой работе рассчитываются размеры Солнца и Луны , а также их расстояния от Земли с точки зрения радиуса Земли.

Книга предположительно сохранилась у студентов курса математики Паппа Александрийского , хотя свидетельств этому нет. Editio Princeps был опубликован Джоном Уоллисом в 1688 году с использованием нескольких средневековых рукописей, составленных сэром Генри Сэвилом . Самый ранний латинский перевод был сделан Джорджио Валлой в 1488 году. Существует также латинский перевод 1572 года и комментарии Фредерико Коммандино .

Символы

Метод работы основывался на нескольких наблюдениях:

• Видимые размеры Солнца и Луны на небе.
• Размер тени Земли по отношению к Луне во время лунного затмения
• Угол между Солнцем и Луной во время полумесяца составляет 90°.

Оставшаяся часть статьи подробно описывает реконструкцию метода и результатов Аристарха. Реконструкция использует следующие переменные:

Символ	Значение
ж	Угол между Луной и Солнцем во время полулуния (измеряется непосредственно)
л	Расстояние от Земли до Луны
С	Расстояние от Земли до Солнца
ℓ	Радиус Луны
с	Радиус Солнца
т	Радиус Земли
Д	Расстояние от центра Земли до вершины теневого конуса Земли
д	Радиус тени Земли в месте расположения Луны
н	Отношение, d/ℓ (непосредственно наблюдаемая величина во время лунного затмения )
х	Отношение S/L = s/ℓ (которое рассчитывается по φ )

Полумесяц

Аристарх начал с предпосылки, что во время полумесяца Луна образует прямоугольный треугольник с Солнцем и Землей. Наблюдая за углом между Солнцем и Луной, φ , соотношение расстояний до Солнца и Луны можно определить с помощью тригонометрии .

Из диаграммы и тригонометрии мы можем вычислить, что

${\frac {S}{L}}={\frac {1}{\cos \varphi }}=\sec \varphi .$

Диаграмма сильно преувеличена, поскольку в действительности S = ​​390 L , а φ чрезвычайно близок к 90°. Аристарх определил, что φ составляет тридцатую часть квадранта (в современных терминах 3 °) меньше прямого угла: в современной терминологии 87 °. Тригонометрические функции еще не были изобретены, но с помощью геометрического анализа в стиле Евклида Аристарх определил, что

$18<{\frac {S}{L}}<20.$

Другими словами, расстояние до Солнца было где-то в 18–20 раз больше, чем расстояние до Луны. Это значение (или близкие к нему значения) принималось астрономами в течение следующих двух тысяч лет, пока изобретение телескопа не позволило более точно оценить солнечный параллакс .

Аристарх также рассуждал, что, поскольку угловые размеры Солнца и Луны были одинаковыми, но расстояние до Солнца было в 18–20 раз дальше, чем до Луны, следовательно, Солнце должно быть в 18–20 раз больше.

Лунное затмение

Затем Аристарх использовал другую конструкцию, основанную на лунном затмении:

По подобию треугольников, ${\frac {D}{L}}={\frac {t}{t-d}}\quad$ и $\quad {\frac {D}{S}}={\frac {t}{s-t}}.$

Разделив эти два уравнения и воспользовавшись наблюдением, что Солнце и Луна кажутся людям на Земле одинакового размера, $s/S=\ell /L$, дает

${\frac {\ell }{s}}={\frac {t-d}{s-t}}\ \ \implies \ \ {\frac {s-t}{s}}={\frac {t-d}{\ell }}\ \ \implies \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.$

Крайнее правое уравнение можно решить либо относительно $\ell /t$ или $s/t$

${\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\dfrac {\ell }{s}}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\dfrac {s}{\ell }}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}}.$

Эти уравнения можно упростить, выразив длины $d$ и $s$ по радиусу Луны $\ell$ как единица, определяющая ${\hat {d}}=d/\ell$ и ${\hat {s}}=s/\ell .$ Затем

${\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{{\hat {s}}(1+{\hat {d}})}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{1+{\hat {d}}}}$

Приведенные выше уравнения дают радиусы Луны и Солнца полностью в наблюдаемых величинах.

Следующие формулы дают расстояния до Солнца и Луны в земных единицах:

${\frac {L}{t}}=\left({\frac {\ell }{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)$

${\frac {S}{t}}={\biggl (}{\frac {s}{t}}{\biggr )}\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)$

где θ — видимый радиус Луны и Солнца, измеряемый в градусах.

Аристарх не использовал эти точные формулы, однако эти формулы, вероятно, являются хорошим приближением к формулам Аристарха.

Результаты

Приведенные выше формулы можно использовать для реконструкции результатов Аристарха. В следующей таблице показаны результаты давней (но сомнительной) реконструкции с использованием n = 2, x = 19,1 ( φ = 87 °) и θ = 1 °, наряду с современными принятыми значениями.

Количество	Связь	Реконструкция	Современный
с/т	Радиус Солнца в радиусах Земли	6.7	109
т/ℓ	Радиус Земли в радиусах Луны	2.85	3.67
Л/т	Расстояние Земля-Луна в радиусах Земли	20	60.34
С/т	Расстояние Земля-Солнце в радиусах Земли	380	23,481

Ошибка в этом расчете возникает в первую очередь из-за плохих значений x и θ . Плохое значение θ особенно удивительно, поскольку Архимед пишет, что Аристарх был первым, кто определил, что Солнце и Луна имеют видимый диаметр в полградуса. Это дало бы значение θ = 0,25 и соответствующее расстояние до Луны в 80 земных радиусов, что является гораздо лучшей оценкой. Разногласия в работе с Архимедом, по-видимому, связаны с тем, что она приняла утверждение Аристарха о том, что лунно-солнечный диаметр, равный 1/15 «мероса» зодиака, означает 1/15 зодиакального знака (30°), не зная, что Греческое слово «мерос» означало либо «часть», либо 7°1/2; и 1/15 последней суммы составляет 1°/2, в соответствии с показаниями Архимеда.

Подобную процедуру позже использовали Гиппарх , который оценил среднее расстояние до Луны как 67 земных радиусов, и Птолемей , принявший за эту величину 59 земных радиусов.

Иллюстрации

Некоторые интерактивные иллюстрации предложений в разделе «Размеры» можно найти здесь:

• Гипотеза 4 гласит, что, когда Луна кажется нам уменьшенной вдвое, ее расстояние от Солнца тогда меньше квадранта на одну тридцатую квадранта [то есть оно меньше 90° на 1/30 90° или 3° , и поэтому равен 87°] (Heath 1913:353).
• Положение 1 гласит, что две равные сферы охватываются одним и тем же цилиндром, а две неравные сферы — одним и тем же конусом, имеющим вершину в направлении меньшей сферы; и прямая линия, проведенная через центры сфер, находится под прямым углом к ​​каждому из кругов, в которых поверхность цилиндра или конуса касается сфер (Heath 1913: 354).
• Предложение 2 гласит, что если сфера будет освещена сферой, большей, чем она сама, освещенная часть первой сферы будет больше, чем полушарие (Heath 1913:358).
• Предложение 3 утверждает, что круг на Луне, разделяющий темную и светлую части, наименьший, когда конус, охватывающий и Солнце, и Луну, имеет свою вершину в нашем глазу (Heath 1913:362).
• Предложение 4 утверждает, что круг, разделяющий темную и светлую части Луны, заметно не отличается от большого круга на Луне (Heath 1913:365).
• Предложение 6 утверждает, что Луна движется [по орбите] ниже, чем [орбита] Солнца, и, когда она уменьшена вдвое, находится на расстоянии менее квадранта от Солнца (Heath 1913:372).
• Предложение 7 гласит, что расстояние Солнца от Земли более чем в 18 раз, но менее чем в 20 раз, расстояние Луны от Земли (Heath 1913:377). Другими словами, Солнце находится в 18–20 раз дальше и шире Луны.
• Предложение 13 утверждает, что прямая линия, соединяющая часть, заключенную в земной тени, окружности круга, по которому движутся концы диаметра круга, разделяющего темную и светлую части Луны, меньше вдвое диаметра Луна, но имеет к ней отношение большее, чем то, которое имеет 88 к 45; и оно меньше 1/9 части диаметра Солнца, но имеет к нему отношение большее, чем отношение 21 к 225. Но оно должно быть прямой линией, проведенной из центра Солнца под прямым углом к ось и встречающиеся стороны конуса имеют отношение больше, чем то, которое имеет 979 к 10 125 (Heath 1913:394).
• Предложение 14 гласит, что прямая линия, соединяющая центр Земли с центром Луны, должна быть прямой, отрезанной от оси к центру Луны прямой линией, стягивающей [окружность] внутри тени Земли a отношение больше, чем то, которое имеет 675 к 1 (Heath 1913:400).
• Предложение 15 утверждает, что диаметр Солнца имеет отношение к диаметру Земли больше 19/3, но меньше 43/6 (Heath 1913:403). Это означает, что Солнце (среднее) 6 + 3/4 раза шире Земли, или что Солнце Ширина 13 + 1 ⁄ 2 радиуса Земли. Тогда Луна и Солнце должны быть 20 + 1 ⁄ 4 и 387 земных радиусов от нас, чтобы сжать угловой размер 2 градуса.
• Предложение 17а в средневековой арабской версии книги ат-Туси « О размерах» гласит, что соотношение расстояний вершины теневого конуса от центра Луны (когда Луна находится на оси [т. е. в середине затмение] конуса, содержащего Землю и Солнце), чтобы расстояние от центра Луны до центра Земли было больше отношения 71 к 37 и меньше отношения 3 к одному (Berggren & Sidoli 2007: 218). Другими словами, кончик теневого конуса Земли находится на расстоянии от 108/37 до четырех раз дальше, чем Луна.

Известные копии

• Экспонат Библиотеки Конгресса Ватикана.

См. также

• Аристарх Самосский
• Эратосфен ( ок. 276 — ок. 194/195 до н.э. ), греческий математик, вычисливший окружность Земли, а также расстояние от Земли до Солнца.
• Гиппарх ( ок. 190 — ок. 120 до н. э. ), греческий математик, измеривший радиусы Солнца и Луны, а также их расстояния от Земли.
• О размерах и расстояниях (Гиппарх)
• Посидоний ( ок. 135 — ок. 51 до н. э. ), греческий астроном и математик, вычисливший окружность Земли.

Библиография

• Гомес, Альберто (2023). Расшифровка Аристарха . Берлин : Питер Ланг Верлаг . ISBN  9783631892619 .
• Хит, Томас (1913). Аристарх Самосский, Древний Коперник . Оксфорд: Кларендон. Позже это было перепечатано, см. ( ISBN   0-486-43886-4 ).
• Ван Хелден, А. Измерение Вселенной: космические измерения от Аристарха до Галлея . Чикаго: Университет. Чикагский пр., 1985 г. ISBN   0-226-84882-5 .