Теорема Фалеса

В геометрии гласит теорема Фалеса , что если $A$ , $B$ и $C$ — различные точки на окружности , где линия $AC$ является диаметром , то угол $∠ ABC$ является прямым углом . Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о вписанном угле и упоминается и доказывается как часть 31-го предложения в третьей книге « Евклида » Начал . ^{[ 1 ]} Обычно его приписывают Фалесу Милетскому , но иногда приписывают Пифагору .

История

*Нет, если это сделать первый шаг*
или если можно сделать полукруг
треугольник да, есть прямая сторона нонауссе.
Данте *– «Рай»* , Песнь 13, строки 100–102.

*Нет, если отдача — это первый шаг,*
Или если полукругом можно сделать
Треугольник так, чтобы у него не было прямого угла.
- английский перевод Лонгфелло

Вавилонские математики знали это для особых случаев еще до того, как это доказали греческие математики. ^{[ 2 ]}

Фалесу Милетскому (начало VI века до н. э.) традиционно приписывают доказательство теоремы; приписывались мудрым людям, таким как Фалес и Пифагор, однако даже к V веку до нашей эры от сочинений Фалеса ничего не сохранилось, а изобретения и идеи более поздними доксографами на основании слухов и предположений. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Ссылка на Фалеса была сделана Проклом (5 век нашей эры) и Диогеном Лаэртием (3 век нашей эры), документально задокументировав заявление Памфилы (1 век нашей эры) о том, что Фалес «был первым, кто вписал в круг прямоугольный треугольник». ^{[ 5 ]}

Утверждалось, что Фалес путешествовал по Египту и Вавилонии , где он, как предполагается, изучал геометрию и астрономию, а затем принес свои знания грекам, попутно изобретая концепцию геометрического доказательства и доказывая различные геометрические теоремы. Однако ни одно из этих утверждений не имеет прямых доказательств, и, скорее всего, они были вымышленными спекулятивными обоснованиями. Современные ученые полагают, что греческая дедуктивная геометрия, содержащаяся в » Евклида, «Началах не была разработана до 4 века до нашей эры, и любые геометрические знания, которыми мог обладать Фалес, могли быть основаны на наблюдениях. ^{[ 3 ]}^{[ 6 ]}

Евклида Теорема появляется в книге III «Начал» ( ок. 300 г. до н.э. ) как предложение 31: «В круге угол в полукруге прямой, что в большем сегменте меньше прямого угла, а в меньшем сегменте больше, чем прямой угол». прямой угол, далее угол большего отрезка больше прямого угла, а угол меньшего отрезка меньше прямого угла».

Данте Алигьери ( В «Рае» песня 13, строки 101–102) в ходе речи упоминается теорема Фалеса.

Доказательство

Первое доказательство

Используются следующие факты: сумма углов в треугольнике равна 180° и углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Если $AC$ представляет собой диаметр , угол при $B$ постоянный ( 90°).
Рисунок для доказательства.

Поскольку $OA = OB = OC$ , $△ OBA$ и $△ OBC$ — равнобедренные треугольники, и в силу равенства углов при основании равнобедренного треугольника, $∠ OBC = ∠ OCB$ и $∠ OBA = ∠ OAB$ .

Пусть $α = ∠ BAO$ и $β = ∠ OBC$ . Три внутренних угла треугольника $∆ ABC$ — это $α$ , $(α + β)$ и $β$ . Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем

{\begin{aligned}\alpha +(\alpha +\beta )+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2(\alpha +\beta )&=180^{\circ }\\\therefore \alpha +\beta &=90^{\circ }.\end{aligned}}

КЭД

Второе доказательство

Теорему также можно доказать с помощью тригонометрии : пусть $O = (0, 0)$ , $A = (-1, 0)$ и $C = (1, 0)$ . Тогда $B$ — точка единичной окружности $(cos θ, sin θ)$ . Мы покажем, что $ABC образует$ прямой угол, доказав, что $AB$ и $BC$ перпендикулярны △ , то есть произведение их наклонов равно −1. Рассчитаем наклоны для $AB$ и $BC$ :

{\begin{aligned}m_{AB}&={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\\[2pt]m_{BC}&={\frac {y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}}={\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\end{aligned}}

Затем мы покажем, что их произведение равно −1:

{\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[4pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\[4pt]={}&{-1}\end{aligned}}

Обратите внимание на использование тригонометрического тождества Пифагора. $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.$

Третье доказательство

Пусть $△ ABC$ — треугольник в окружности, где $AB$ — диаметр в этой окружности. Затем постройте новый треугольник $△ ABD$ , отразив $△ ABC$ на линии $AB$ , а затем снова отразив его на линии, перпендикулярной $AB$ , проходящей через центр круга. Поскольку прямые $AC$ и $BD$ параллельны и , как $AD$ и $CB$ , четырехугольник $ACBD$ является параллелограммом . Поскольку прямые $AB$ и $CD$ , диагонали параллелограмма, являются диаметрами круга и, следовательно, имеют одинаковую длину, параллелограмм должен быть прямоугольником. Все углы в прямоугольнике прямые.

Конверсы

Для любого треугольника и, в частности, для любого прямоугольного треугольника существует ровно одна окружность, содержащая все три вершины треугольника. ( Эскиз доказательства . Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является прямая линия, называемая биссектрисой отрезка, соединяющего точки. Биссектрисы любых двух сторон треугольника пересекаются ровно в одной точке. В этой точке должна быть равноудалена от вершин треугольника.) Эта окружность называется описанной окружностью треугольника.

Один из способов формулировки теоремы Фалеса таков: если центр описанной окружности треугольника лежит на треугольнике, то треугольник правильный, а центр описанной окружности лежит на его гипотенузе.

Тогда обратная теорема Фалеса такова: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на его гипотенузе. (Точно так же гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной окружности.)

Доказательство обратного с помощью геометрии.

Это доказательство состоит в «завершении» прямоугольного треугольника, чтобы сформировать прямоугольник , и в замечании, что центр этого прямоугольника равноудален от вершин, а также является центром описанной окружности исходного треугольника. Оно использует два факта:

смежные углы в параллелограмме являются дополнительными (прибавляют 180°) и,
диагонали прямоугольника равны и пересекаются в средней точке.

Пусть существует прямой угол $∠ ABC$ , $r —$ прямая, параллельная $BC,$ через $A$ , и $s$ — прямая, параллельная $AB,$ проходящая через $C.$ проходящая Пусть $D$ — точка пересечения прямых $r$ и $s$ . (Не доказано, что $D$ лежит на окружности.)

Четырехугольник $ABCD$ по построению образует параллелограмм (так как противоположные стороны параллельны). Поскольку в параллелограмме смежные углы являются дополнительными (добавляются 180°) и $∠ ABC$ — прямой угол (90°), то углы $∠ BAD, ∠ BCD, ∠ ADC$ также являются прямыми (90°); следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и BD . Тогда точка $O$ факту выше равноудалена от $A$ , $B$ и $C.$ по второму Итак, $О$ — центр описанной окружности, а гипотенуза треугольника ( $АС$ ) — диаметр окружности.

Альтернативное доказательство обратного с использованием геометрии

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$ . Постройте окружность $Ω$ диаметром $AC$ . Пусть $O$ — центр $Ω$ . Пусть $D$ — пересечение $Ω$ и луча $OB$ . По теореме Фалеса $∠ ADC$ правый. Но тогда $должно$ равняться $B.$ D (Если $D$ лежит внутри $△ ABC$ , $∠ ADC$ будет тупым, а если $D$ лежит снаружи $△ ABC$ , $∠ ADC$ будет острым.)

Доказательство обратного с помощью линейной алгебры

Это доказательство использует два факта:

две линии образуют прямой угол тогда и только тогда, когда скалярное произведение их векторов направлений равно нулю, и
квадрат длины вектора определяется скалярным произведением вектора на самого себя.

Пусть существует прямой угол $∠ ABC$ и окружность $M$ с AC диаметром . Пусть центр M лежит в начале координат, для облегчения вычислений. Тогда мы знаем

$A = - C$ , потому что окружность с центром в начале координат имеет $AC , и$ диаметр
$(A - B) \cdot (B - C) = 0$ , потому что $∠ ABC$ — прямой угол.

Отсюда следует

{\begin{aligned}0&=(A-B)\cdot (B-C)\\&=(A-B)\cdot (B+A)\\&=|A|^{2}-|B|^{2}.\\[4pt]\therefore \ |A|&=|B|.\end{aligned}}

Это означает, что $и$ B $равноудалены$ от начала координат, т.е. от центра $M.$ A Поскольку $A$ лежит на $M$ , то же самое лежит и на $M$ , и поэтому окружность $M$ является описанной окружностью треугольника.

Приведенные выше расчеты фактически устанавливают, что оба направления теоремы Фалеса действительны в любом пространстве внутреннего продукта .

Обобщения и связанные с ними результаты

Как говорилось выше, теорема Фалеса представляет собой частный случай теоремы о вписанном угле (доказательство которой весьма похоже на первое доказательство теоремы Фалеса, приведенное выше):

Учитывая три точки

A

,

B

и

C

на окружности с центром

O

, угол

∠ AOC

в два раза больше угла

∠ ABC

.

Связанный с теоремой Фалеса результат следующий:

Если $AC$ — диаметр круга, то:

Если $B$ находится внутри круга, то $∠ ABC > 90°.$
Если $B$ находится на окружности, то $∠ ABC = 90°.$
Если $B$ находится вне круга, то $∠ ABC < 90°$ .

Приложения

Построение касательной к окружности, проходящей через точку

Теорему Фалеса можно использовать для построения касательной к данной окружности, проходящей через данную точку. На рисунке справа дана окружность $k$ с центром $O$ и точка $P$ вне $k$ разделите $OP$ пополам в точке $H$ и нарисуйте круг радиуса $OH$ с центром $H.$ , $OP$ — диаметр этого круга, поэтому треугольники, соединяющие OP с точками $T$ и $T',$ где круги пересекаются, являются прямоугольными.

Нахождение центра круга

Теорему Фалеса также можно использовать для нахождения центра круга с помощью объекта с прямым углом, например квадратного или прямоугольного листа бумаги, большего размера, чем круг. ^{[ 7 ]} Угол располагают в любом месте своей окружности (рисунок 1). Пересечения двух сторон с окружностью определяют диаметр (рисунок 2). Повторение этого действия с другим набором пересечений дает другой диаметр (рис. 3). Центр находится на пересечении диаметров.

См. также

Примечания

^ Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Том. 2 (Книги 3–9) (2-е изд.). Дувр. п. 61. ИСБН 0486600890 . Первоначально опубликовано издательством Cambridge University Press. 1-е издание 1908 г., 2-е издание 1926 г.
^ де Лаэт, Зигфрид Дж. (1996). История человечества: научное и культурное развитие . ЮНЕСКО , Том 3, с. 14. ISBN 92-3-102812-Х
^ Jump up to: ^а ^б Дикс, ДР (1959). «Талес». Классический ежеквартальный журнал . 9 (2): 294–309.
^ Аллен, Дж. Дональд (2000). «Фалес Милетский» (PDF) . Проверено 12 февраля 2012 г.
^ Патронис, Тасос; Патсопулос, Димитрис (январь 2006 г.). «Теорема Фалеса: исследование названий теорем в школьных учебниках геометрии» . Международный журнал истории математического образования : 57–68. ISSN 1932-8826 . Архивировано из оригинала 25 апреля 2018 г.
^ Сидоли, Натан (2018). «Греческая математика» (PDF) . В Джонсе, А.; Тауб, Л. (ред.). Кембриджская история науки: Том. 1. Древняя наука . Издательство Кембриджского университета. стр. 345–373.
^ Ресурсы для преподавания математики: 14–16 Колин Фостер

Ссылки

Агрикола, Илька ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . АМС. п. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5 .
Хит, TL (1921). История греческой математики: от Фалеса до Евклида . Том. Я. Оксфорд. стр. 131 и далее.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фалеса» . Математический мир .
Разбираемся с вписанными углами
Объяснение теоремы Фалеса с помощью интерактивной анимации
Демонстрация теоремы Фалеса Майкла Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .

[1] Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Том. 2 (Книги 3–9) (2-е изд.). Дувр. п. 61. ИСБН 0486600890 . Первоначально опубликовано издательством Cambridge University Press. 1-е издание 1908 г., 2-е издание 1926 г.

[2] де Лаэт, Зигфрид Дж. (1996). История человечества: научное и культурное развитие . ЮНЕСКО , Том 3, с. 14. ISBN 92-3-102812-Х

[dicks-3] Jump up to: ^а ^б Дикс, ДР (1959). «Талес». Классический ежеквартальный журнал . 9 (2): 294–309.

[4] Аллен, Дж. Дональд (2000). «Фалес Милетский» (PDF) . Проверено 12 февраля 2012 г.

[5] Патронис, Тасос; Патсопулос, Димитрис (январь 2006 г.). «Теорема Фалеса: исследование названий теорем в школьных учебниках геометрии» . Международный журнал истории математического образования : 57–68. ISSN 1932-8826 . Архивировано из оригинала 25 апреля 2018 г.

[6] Сидоли, Натан (2018). «Греческая математика» (PDF) . В Джонсе, А.; Тауб, Л. (ред.). Кембриджская история науки: Том. 1. Древняя наука . Издательство Кембриджского университета. стр. 345–373.

[7] Ресурсы для преподавания математики: 14–16 Колин Фостер

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]