Обратная теорема Пифагора

База Пифагор горианский тройной	переменного тока	до нашей эры	компакт-диск	АБ
(3, 4, 5)	20 = 4× 5	15 = 3× 5	12 = 3× 4	25 = 5 ²
(5, 12, 13)	156 = 12×13	65 = 5×13	60 = 5×12	169 = 13 ²
(8, 15, 17)	255 = 15×17	136 = 8×17	120 = 8×15	289 = 17 ²
(7, 24, 25)	600 = 24×25	175 = 7×25	168 = 7×24	625 = 25 ²
(20, 21, 29)	609 = 21×29	580 = 20×29	420 = 20×21	841 = 29 ²
Все положительные целые примитивные тройки обратного Пифагора, имеющие до трех цифр, с гипотенузой для сравнения.

В геометрии обратная теорема Пифагора (также известная как обратная теорема Пифагора) ^[1] или перевернутая теорема Пифагора ^[2]) выглядит следующим образом: ^[3]

Пусть

A

,

B

— концы гипотенузы прямоугольного треугольника

△ ABC

. Пусть

D

— основание перпендикуляра, опущенного из

С

, вершины прямого угла, на гипотенузу. Затем

{\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.

Эту теорему не следует путать с предложением 48 в первой книге « , » Евклида Начал обратным теореме Пифагора, которая утверждает, что если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон тогда две другие стороны содержат прямой угол.

Доказательство

Площадь треугольника $△ ABC$ можно выразить либо через $AC$ и $BC$ , либо $через AB$ и $CD$ :

{\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt](AC\cdot BC)^{2}&=(AB\cdot CD)^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {AB^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\end{aligned}}

учитывая $CD > 0$ , $AC > 0$ и $BC > 0$ .

Используя теорему Пифагора ,

{\begin{aligned}{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}+AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\quad \therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}

как указано выше.

Обратите внимание, в частности:

{\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}

Частный случай крестообразной кривой

Крестообразная кривая или перекрестная кривая представляет собой кривую в плоскости четвертой степени, заданную уравнением

x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0

где два параметра, определяющие форму кривой, $a$ и $b,$ каждый равен $CD$ .

Замена $x$ на $AC$ и $y$ на $BC$ дает

{\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\[4pt]AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}

Тройки обратного Пифагора могут быть сгенерированы с использованием целочисленных параметров $t$ и $u$ следующим образом. ^[4]

{\begin{aligned}AC&=(t^{2}+u^{2})(t^{2}-u^{2})\\BC&=2tu(t^{2}+u^{2})\\CD&=2tu(t^{2}-u^{2})\end{aligned}}

Приложение

Если две одинаковые лампы размещены в точках $A$ и $B$ , из теоремы и закона обратных квадратов что сила света в точке $C$ такая же, как и при установке одной лампы в точке $D.$ следует ,

См. также

Теорема о среднем геометрическом - Теорема о прямоугольных треугольниках
Теорема Пифагора - Связь между сторонами прямоугольного треугольника.

Ссылки

^ Р.Б. Нельсен, Доказательство без слов: обратная теорема Пифагора, журнал Mathematics, 82, декабрь 2009 г., стр. 370
^ Перевернутая теорема Пифагора, Дженнифер Ричиник, The Mathematical Gazette, Vol. 92, № 524 (июль 2008 г.), стр. 313-316.
^ Йохан Вестлунд, «Суммирование обратных квадратов по евклидову принципу».геометрия», http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf , стр. 4–5.
^ «Диофантово уравнение трех переменных» .

Эта посвященная геометрии, статья, незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Р.Б. Нельсен, Доказательство без слов: обратная теорема Пифагора, журнал Mathematics, 82, декабрь 2009 г., стр. 370

[2] Перевернутая теорема Пифагора, Дженнифер Ричиник, The Mathematical Gazette, Vol. 92, № 524 (июль 2008 г.), стр. 313-316.

[3] Йохан Вестлунд, «Суммирование обратных квадратов по евклидову принципу».геометрия», http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf , стр. 4–5.

[4] «Диофантово уравнение трех переменных» .

[1]

[2]

[3]

[4]