Теорема Пифагора

Теорема Пифагора
Тип	Теорема
Поле	Евклидова геометрия
Заявление	Сумма площадей двух квадратов на катетах ( a и b ) равна площади квадрата на гипотенузе ( c ).
Символическое заявление
Обобщения	Закон косинусов ; Твердая геометрия ; Неевклидова геометрия ; Дифференциальная геометрия ;
Последствия	Пифагорова тройка ; Взаимная теорема Пифагора ; Комплексное число ; Евклидово расстояние ; Пифагорейское тригонометрическое тождество ;

В математике теорема Пифагора или теорема Пифагора является фундаментальным соотношением в евклидовой геометрии между тремя сторонами прямоугольного треугольника . Он гласит, что площадь квадрата , стороной которого является гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу ), равна сумме площадей квадратов, лежащих на двух других сторонах.

Теорему связывающего можно записать в виде уравнения, длины сторон a , b и гипотенузы c , иногда называемого уравнением Пифагора : ^[1]

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Теорема названа в честь греческого философа Пифагора , родившегося около 570 г. до н.э. Теорема была доказана множество раз разными методами – возможно, больше, чем любая математическая теорема. Доказательства разнообразны, включая как геометрические , так и алгебраические доказательства, некоторые из которых датируются тысячами лет.

Когда евклидово пространство представлено декартовой системой координат в аналитической геометрии , евклидово расстояние удовлетворяет соотношению Пифагора: квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разницы в каждой координате между точками.

Теорему можно обобщить различными способами: на пространства более высокой размерности , на пространства, которые не являются евклидовыми , на объекты, не являющиеся прямоугольными треугольниками, и на объекты, которые вообще не являются треугольниками, а являются n -мерными телами.

Доказательства с использованием построенных квадратов.

Доказательства перестановки

В одном доказательстве перестановки используются два квадрата, стороны которых имеют меру $a+b$ и которые содержат четыре прямоугольных треугольника, стороны которых равны a , b и c , а гипотенуза равна c . В квадрате с правой стороны треугольники расположены так, что углы квадрата соответствуют углам прямого угла в треугольниках, образуя в центре квадрат, стороны которого имеют длину c . Каждый внешний квадрат имеет площадь $(a+b)^{2}$ а также $2ab+c^{2}$ , с $2ab$ представляет собой общую площадь четырех треугольников. Внутри большого квадрата слева четыре треугольника перемещаются, образуя два одинаковых прямоугольника со сторонами длиной a и b . Эти прямоугольники в своем новом положении теперь очертили два новых квадрата: один со стороной a формируется в левом нижнем углу, а другой квадрат с длиной стороны b формируется в правом верхнем углу. В этом новом положении левая сторона теперь имеет площадь квадрата. $(a+b)^{2}$ а также $2ab+a^{2}+b^{2}$ . Поскольку оба квадрата имеют площадь $(a+b)^{2}$ отсюда следует, что другие меры площади квадрата также равны друг другу, так что $2ab+c^{2}$ = $2ab+a^{2}+b^{2}$ . Если удалить площади четырех треугольников из обеих частей уравнения, останется $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$ ^[2]

В другом доказательстве прямоугольники во втором блоке также можно разместить так, чтобы оба имели по одному углу, соответствующему последовательным углам квадрата. Таким образом, они также образуют две коробки, на этот раз в последовательных углах, с областями $a^{2}$ и $b^{2}$ что снова приведет ко второму квадрату с площадью $2ab+a^{2}+b^{2}$ .

Английский математик сэр Томас Хит приводит это доказательство в своем комментарии к предложению I.47 в » Евклида «Началах и упоминает предположения немецких математиков Карла Антона Бретшнайдера и Германа Ханкеля о том, что Пифагор мог знать это доказательство. Сам Хит поддерживает другое предложение доказательства Пифагора, но с самого начала своего обсуждения признает, что «греческая литература, которой мы располагаем, относящаяся к первым пяти столетиям после Пифагора, не содержит никаких утверждений, указывающих на это или какое-либо другое конкретное великое геометрическое открытие, сделанное им. " ^[3] Недавние исследования вызывают все большее сомнение в какой-либо роли Пифагора как создателя математики, хотя споры по этому поводу продолжаются. ^[4]

Алгебраические доказательства

Теорему можно доказать алгебраически, используя четыре копии одного и того же треугольника, расположенные симметрично вокруг квадрата со стороной c , как показано в нижней части диаграммы. ^[5] В результате получается больший квадрат со стороной a + b и площадью ( a + b ). ². Четыре треугольника и сторона квадрата c должны иметь ту же площадь, что и больший квадрат.

(b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,

предоставление

c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.

В аналогичном доказательстве используются четыре копии прямоугольного треугольника со сторонами a , b и c , расположенные внутри квадрата со стороной c, как показано в верхней половине диаграммы. ^[6] Треугольники подобны площади ${\tfrac {1}{2}}ab$ , а у маленького квадрата есть сторона b − a и площадь ( b − a ) ². Следовательно, площадь большого квадрата равна

(b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.

Но это квадрат со стороной с и площадью с. ², так

c^{2}=a^{2}+b^{2}.

Другие доказательства теоремы

У этой теоремы может быть больше известных доказательств, чем у любой другой ( закон квадратичной взаимности является еще одним претендентом на это различие); книга «Предложение Пифагора» содержит 370 доказательств. ^[7]

Доказательство с использованием подобных треугольников.

Это доказательство основано на пропорциональности сторон трёх подобных треугольников, т. е. на том факте, что соотношение любых двух соответствующих сторон подобных треугольников одинаково, независимо от размеров треугольников.

Пусть ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом , расположенным в точке C , как показано на рисунке. Проведем высоту из точки C и назовем H ее пересечение со стороной AB . Точка H делит длину гипотенузы c на части d и e . Новый треугольник ACH похож , а на треугольник ABC , поскольку оба они имеют прямой угол (по определению высоты) и имеют общий угол A это означает, что третий угол также будет одинаковым в обоих треугольниках. отмечено буквой θ на рисунке . По аналогичным рассуждениям треугольник CBH также подобен ABC . Доказательство подобия треугольников требует постулата треугольника : сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам и эквивалентна постулату параллельности . Подобие треугольников приводит к равенству отношений соответствующих сторон:

{\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.

Первый результат приравнивает косинусы углов θ , тогда как второй результат приравнивает их синусы .

Эти соотношения можно записать как

BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.

Суммируя эти два равенства, получим

BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB(AH+BH)=AB^{2},

что после упрощения демонстрирует теорему Пифагора:

BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}.

Роль этого доказательства в истории является предметом многочисленных спекуляций. Основной вопрос заключается в том, почему Евклид не использовал это доказательство, а изобрел другое. Одна из гипотез состоит в том, что доказательство с помощью подобных треугольников включало теорию пропорций, тему, которая не обсуждалась до более позднего времени в « Началах» , и что теория пропорций в то время нуждалась в дальнейшем развитии. ^[8]

Доказательство Эйнштейна путем рассечения без перестановки

Прямоугольный треугольник на гипотенузе, разделенный на два подобных прямоугольных треугольника по катетам, согласно доказательству Эйнштейна.

Альберт Эйнштейн дал доказательство путем вскрытия, в котором части не нужно перемещать. ^[9] Вместо квадрата на гипотенузе и двух квадратов на катетах можно использовать любую другую фигуру, включающую гипотенузу, и две подобные фигуры, каждая из которых включает один из двух катетов вместо гипотенузы (см. Подобные фигуры с трех сторон ). . В доказательстве Эйнштейна фигура, включающая гипотенузу, сама является прямоугольным треугольником. Разрезание заключается в опущении перпендикуляра из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу, таким образом разбивая весь треугольник на две части. Эти две части имеют ту же форму, что и исходный прямоугольный треугольник, катеты исходного треугольника являются их гипотенузами, а сумма их площадей равна сумме площадей исходного треугольника. Поскольку отношение площади прямоугольного треугольника к квадрату его гипотенузы одинаково для подобных треугольников, соотношение площадей трех треугольников справедливо и для квадратов сторон большого треугольника.

Доказательство Евклида

Вкратце, вот как проходит доказательство в Евклида » «Началах . Большой квадрат разделен на левый и правый прямоугольник. Построен треугольник, площадь которого равна половине площади левого прямоугольника. Затем строится еще один треугольник, крайняя левая сторона которого имеет половину площади квадрата. Показано, что эти два треугольника конгруэнтны , что доказывает, что этот квадрат имеет ту же площадь, что и левый прямоугольник. За этим аргументом следует аналогичная версия для правого прямоугольника и оставшегося квадрата. Если соединить два прямоугольника вместе, чтобы преобразовать квадрат на гипотенузе, его площадь будет равна сумме площадей двух других квадратов. Подробности следуют далее.

Пусть A , B , C — вершины прямоугольного треугольника с прямым углом A. в Опустите перпендикуляр из А на сторону, противоположную гипотенузе, в квадрате над гипотенузой. Эта линия делит квадрат на гипотенузе на два прямоугольника, каждый из которых имеет ту же площадь, что и один из двух квадратов на катетах.

Для формального доказательства нам потребуются четыре элементарные леммы :

Если в двух треугольниках две стороны одного равны двум сторонам другого, каждый по отношению к каждому, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники конгруэнтны ( сторона-угол-сторона ).
Площадь треугольника равна половине площади любого параллелограмма, имеющего то же основание и ту же высоту.
Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних сторон.
Площадь квадрата равна произведению двух его сторон (следует из 3).

Далее каждому верхнему квадрату соответствует треугольник, конгруэнтный другому треугольнику, связанному, в свою очередь, с одним из двух прямоугольников, составляющих нижний квадрат. ^[10]

Доказательство следующее:

Пусть ACB — прямоугольный треугольник с прямым углом CAB.
На каждой из сторон BC, AB и CA нарисованы квадраты CBDE, BAGF и ACIH в указанном порядке. Построение квадратов требует непосредственно предшествующих теорем Евклида и зависит от постулата параллельности. ^[11]
Из А проведите линию, параллельную BD и CE. Он будет перпендикулярно пересекать BC и DE в точках K и L соответственно.
Соедините CF и AD, чтобы образовать треугольники BCF и BDA.
Углы CAB и BAG оба прямые; следовательно, C, A и G лежат на одной прямой .
Углы CBD и FBA оба прямые; следовательно, угол ABD равен углу FBC, поскольку оба они являются суммой прямого угла и угла ABC.
Так как AB равен FB, BD равен BC и угол ABD равен углу FBC, то треугольник ABD должен быть равен треугольнику FBC.
Поскольку AKL — прямая линия, параллельная BD, то прямоугольник BDLK имеет вдвое большую площадь треугольника ABD, поскольку они имеют общее основание BD и имеют одинаковую высоту BK, т. е. линию, нормальную к их общему основанию, соединяющую параллельные прямые BD и АЛ. (лемма 2)
Поскольку C коллинеарна A и G, а эта прямая параллельна FB, то квадрат BAGF должен быть вдвое больше по площади треугольнику FBC.
Следовательно, прямоугольник БДЛК должен иметь ту же площадь, что и квадрат BAGF = AB. ².
Применяя шаги с 3 по 10 к другой стороне фигуры, можно аналогичным образом показать, что прямоугольник CKLE должен иметь ту же площадь, что и квадрат ACIH = AC. ².
Сложив эти два результата, AB ² + переменный ток ² = БД × БК + КЛ × КС
Поскольку BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
Следовательно, АБ ² + переменный ток ² = до нашей эры ², поскольку CBDE — квадрат.

» Евклида Это доказательство, которое появляется в «Началах как доказательство предложения 47 в книге 1, демонстрирует, что площадь квадрата на гипотенузе представляет собой сумму площадей двух других квадратов. ^[12]^[13]Это совершенно отличается от доказательства подобием треугольников, которое, как предполагается, было доказательством, которое использовал Пифагор. ^[14]^[15]

Доказательства путем вскрытия и перестановки

Другая перестановка дает среднюю анимацию. Образуется большой квадрат площадью c ², из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников со сторонами a , b и c , расположенных вокруг небольшого центрального квадрата. образуются два прямоугольника со сторонами a и b Затем путем перемещения треугольников . Объединение меньшего квадрата с этими прямоугольниками дает два квадрата с площадями а. ² и б ², который должен иметь ту же площадь, что и исходный большой квадрат. ^[16]

Третье, самое правое изображение также дает доказательство. Два верхних квадрата разделены, как показано синей и зеленой штриховкой, на части, которые при перестановке можно разместить в нижнем квадрате на гипотенузе - или, наоборот, большой квадрат можно разделить, как показано на части, заполняющие два других. . Такой способ разрезания одной фигуры на части и перестановки их для получения другой фигуры называется рассечением . Это показывает, что площадь большого квадрата равна площади двух меньших. ^[17]

Анимация, показывающая доказательство перестановкой четырех одинаковых прямоугольных треугольников.

Анимация, показывающая еще одно доказательство путем перестановки

Доказательство путем сдвига с сохранением площади.

Как показано в сопровождающей анимации, отображения и сдвиги, сохраняющие площадь, могут преобразовать квадраты на сторонах, прилегающих к прямому углу, в квадрат на гипотенузе, вместе точно покрывая его. ^[18] Каждый сдвиг оставляет неизменными основание и высоту, тем самым оставляя неизменной и площадь. Переводы также оставляют область неизменной, поскольку они вообще не меняют формы. Каждый квадрат сначала разрезается на параллелограмм, а затем на прямоугольник, который можно перевести на одно сечение квадрата по гипотенузе.

Другие алгебраические доказательства

Соответствующее доказательство было опубликовано будущим президентом США Джеймсом А. Гарфилдом (тогда представителем США ) (см. диаграмму). ^[19]^[20]^[21] Вместо квадрата используется трапеция , которую можно построить из квадрата во втором из приведенных выше доказательств путем деления внутреннего квадрата пополам по диагонали, чтобы получить трапецию, как показано на диаграмме. Площадь трапеции можно вычислить как половину площади квадрата, то есть

{\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.

Внутренний квадрат делится пополам аналогичным образом, а треугольников всего два, поэтому доказательство продолжается так же, как указано выше, за исключением коэффициента ${\frac {1}{2}}$ , который удаляется путем умножения на два, чтобы получить результат.

Доказательство с использованием дифференциалов

К теореме Пифагора можно прийти, изучив, как изменение стороны приводит к изменению гипотенузы, и применив математические вычисления . ^[22]^[23]^[24]

Треугольник ABC — прямоугольный, как показано в верхней части диаграммы, с BC гипотенузой . В то же время длины треугольника измеряются, как показано, с гипотенузой длиной y , стороной AC длиной x и стороной AB длиной a , как показано в нижней части диаграммы.

Если x увеличить на небольшую величину dx путем небольшого удлинения стороны AC до D , то y также увеличится на dy . Они образуют две стороны треугольника CDE , который (при E выборе так, чтобы CE был перпендикулярен гипотенузе) представляет собой прямоугольный треугольник, примерно аналогичный ABC . Следовательно, отношения их сторон должны быть одинаковыми, то есть:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.

Это можно переписать как $y\,dy=x\,dx$ , которое представляет собой дифференциальное уравнение , которое можно решить прямым интегрированием:

\int y\,dy=\int x\,dx\,,

предоставление

y^{2}=x^{2}+C.

Константу можно вывести из x = 0, y = a, чтобы получить уравнение

y^{2}=x^{2}+a^{2}.

Это скорее интуитивное доказательство, чем формальное: его можно сделать более строгим, если вместо dx и dy использовать соответствующие пределы .

Конверсы

теоремы Верно и обратное утверждение : ^[25]

Дан треугольник со сторонами длиной a , b и c , если a ² + б ² = с ², то угол между a и b прямой . сторонами

Для любых трёх положительных действительных чисел a , b и c таких, что a ² + б ² = с ², существует треугольник со сторонами a , b и c как следствие обратного неравенства треугольника .

» Евклида Это обратное явление появляется в «Началах (книга I, предложение 48): «Если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух оставшихся сторон треугольника, то угол, заключенный между двумя оставшимися сторонами треугольник правильный». ^[26]

Это можно доказать, используя закон косинусов или следующим образом:

Пусть ABC — треугольник со сторонами a , b и c , а ² + б ² = с ². Постройте второй треугольник, стороны которого a и b содержат прямой угол. По теореме Пифагора следует, что гипотенуза этого треугольника имеет длину c = √ a ² + б ², то же, что и гипотенуза первого треугольника. Поскольку стороны обоих треугольников имеют одинаковую длину a , b и c , треугольники конгруэнтны и должны иметь одинаковые углы. Следовательно, угол между сторонами длин a и b в исходном треугольнике является прямым.

Приведенное выше доказательство обратного использует саму теорему Пифагора. Обратное утверждение также можно доказать, не прибегая к теореме Пифагора. ^[27]^[28]

Следствием обратной теоремы Пифагора является простой способ определить, является ли треугольник прямым, тупым или остроугольным, следующим образом. Пусть c выбрано как самая длинная из трех сторон и a + b > c (иначе треугольника не будет согласно неравенству треугольника ). Применяются следующие утверждения: ^[29]

Если ² + б ² = с ², то треугольник правильный .
Если ² + б ² > с ², то треугольник остроугольный .
Если ² + б ² < с ², то треугольник тупоугольный .

Эдсгер В. Дейкстра сформулировал это утверждение об остром, прямоугольном и тупом треугольниках на этом языке:

sgn( α + β − γ ) = sgn( а ² + б ² − с ²),

где α — угол, противоположный стороне a , β — угол, противоположный стороне b , γ — угол, противоположный стороне c , а Sign — знаковая функция . ^[30]

Следствия и использование теоремы

Пифагоровы тройки

Тройка Пифагора имеет три натуральных числа a , b и c , такие что a ² + б ² = с ². Другими словами, тройка Пифагора представляет собой длины сторон прямоугольного треугольника, где все три стороны имеют целые длины. ^[1] Такую тройку обычно пишут ( a , b , c ). Некоторые хорошо известные примеры: (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Примитивная пифагорова тройка — это тройка, в которой , b и c взаимно ( просты наибольший общий делитель a и , b a c равен 1).

Ниже приводится список примитивных троек Пифагора со значениями меньше 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Обратная теорема Пифагора

Дан прямоугольный треугольник со сторонами $a,b,c$ и высота $d$ (линия, проведенная под прямым углом и перпендикулярная гипотенузе $c$ ). Теорема Пифагора имеет:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

а обратная теорема Пифагора связывает две ноги $a,b$ на высоту $d$ , ^[31]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}

Уравнение можно преобразовать к,

{\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}

где $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ для любого ненулевого действительного $x,y,z$ . Если $a,b,d$ должны быть целыми числами , наименьшим решением $a>b>d$ тогда

{\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}

используя наименьшую пифагорову тройку $3,4,5$ . Обратная теорема Пифагора является частным случаем оптического уравнения

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}

где знаменатели — квадраты, а также для семиугольного треугольника , стороны которого $p,q,r$ являются квадратными числами.

Несоизмеримые длины

Одним из следствий теоремы Пифагора является то, что отрезки прямой, длина которых несоизмерима (поэтому отношение которых не является рациональным числом ), можно построить с помощью линейки и циркуля . Теорема Пифагора позволяет построить несоизмеримые длины, поскольку гипотенуза треугольника связана со сторонами операцией извлечения квадратного корня .

На рисунке справа показано, как построить отрезки прямой, длина которых равна квадратному корню любого положительного целого числа. ^[32] У каждого треугольника есть сторона (обозначенная цифрой «1»), которая является выбранной единицей измерения. В каждом прямоугольном треугольнике теорема Пифагора устанавливает длину гипотенузы в этой единице. Если гипотенуза связана с единицей квадратным корнем из положительного целого числа, которое не является полным квадратом, это реализация длины, несоизмеримой с единицей, например √ 2 , √ 3 , √ 5 . Более подробно см. Квадратичная иррациональность .

Несоизмеримые длины противоречили представлению школы Пифагора о числах как о целых числах. Школа Пифагора имела дело с пропорциями путем сравнения целых чисел, кратных общей субъединице. ^[33] По одной из легенд, Гиппас из Метапонта ( ок. 470 г. до н. э.) был утоплен в море за то, что сообщил о существовании иррационального или несоизмеримого. ^[34]Тщательное обсуждение вклада Гиппаса можно найти у Фрица . ^[35]

Комплексные числа

Для любого комплексного числа

z=x+iy,

абсолютное значение или модуль определяется выражением

r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Таким образом, три величины r , x и y связаны уравнением Пифагора:

r^{2}=x^{2}+y^{2}.

Обратите внимание, что r определяется как положительное число или ноль, но x и y могут быть как отрицательными, так и положительными. Геометрически r — это расстояние z от нуля или начала координат O на комплексной плоскости .

Это можно обобщить, чтобы найти расстояние между двумя точками, скажем, z ₁ и z ₂ . Требуемое расстояние определяется выражением

|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},

и снова они связаны версией уравнения Пифагора:

|z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.

Евклидово расстояние

Формула расстояния в декартовых координатах выведена из теоремы Пифагора. ^[36] Если ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) являются точками на плоскости, то расстояние между ними, также называемое евклидовым расстоянием , определяется выражением

{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.

В более общем смысле, в евклидовом n -пространстве евклидово расстояние между двумя точками $A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ и $B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ , определяется путем обобщения теоремы Пифагора как:

{\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.

Если вместо евклидова расстояния используется квадрат этого значения ( квадрат евклидова расстояния или SED), полученное уравнение не имеет квадратных корней и представляет собой просто сумму SED координат:

(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.

Квадратная форма представляет собой гладкую выпуклую функцию обеих точек и широко используется в теории оптимизации и статистике , образуя основу метода наименьших квадратов .

Евклидово расстояние в других системах координат

Если не используются декартовы координаты, например, если полярные координаты используются в двух измерениях или, в более общем плане, если используются криволинейные координаты , формулы, выражающие евклидово расстояние, более сложны, чем теорема Пифагора, но их можно вывести из это. Типичный пример, когда расстояние по прямой между двумя точками преобразуется в криволинейные координаты, можно найти в приложениях полиномов Лежандра в физике . Формулы можно найти, используя теорему Пифагора с уравнениями, связывающими криволинейные координаты с декартовыми координатами. Например, полярные координаты ( r , θ ) можно ввести как:

x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .

Тогда две точки с местоположениями ( r ₁ , θ ₁ ) и ( r ₂ , θ ₂ ) разделены расстоянием s :

s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.

Выполняя квадраты и объединяя члены, формула Пифагора для расстояния в декартовых координатах дает разделение в полярных координатах как:

{\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}

используя тригонометрические формулы произведения к сумме . Эта формула представляет собой закон косинусов , иногда называемый обобщенной теоремой Пифагора. ^[37] Из этого результата в случае, когда радиусы двух мест находятся под прямым углом, приложенный угол Δ θ = $π$ / 2 и форма, соответствующая теореме Пифагора, восстанавливается: $s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.$ Таким образом, теорема Пифагора, справедливая для прямоугольных треугольников, является частным случаем более общего закона косинусов, справедливого для произвольных треугольников.

Пифагорейское тригонометрическое тождество

В прямоугольном треугольнике со сторонами a , b и гипотенузой определяет синус c тригонометрия и косинус угла θ между стороной a и гипотенузой как:

\sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.

Отсюда следует:

{\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,

где на последнем этапе применяется теорема Пифагора. Это соотношение между синусом и косинусом иногда называют фундаментальным тригонометрическим тождеством Пифагора. ^[38] В подобных треугольниках соотношения сторон одинаковы независимо от размеров треугольников и зависят от углов. Следовательно, на рисунке треугольник с гипотенузой единичного размера имеет противоположную сторону размера sin θ и прилегающую сторону размера cos θ в единицах гипотенузы.

Связь с векторным произведением

Теорема Пифагора связывает векторное произведение и скалярное произведение : аналогичным образом ^[39]

\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.

Это видно из определений векторного произведения и скалярного произведения, как

{\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}

где n - единичный вектор, нормальный как к a, так и к b . Связь следует из этих определений и тригонометрического тождества Пифагора.

Это также можно использовать для определения перекрестного произведения. Перестановкой получается следующее уравнение

\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.

Это можно рассматривать как условие векторного произведения и, следовательно, как часть его определения, например, в семи измерениях . ^[40]^[41]

Как аксиома

Если предположить, что первые четыре аксиомы евклидовой геометрии верны, то теорема Пифагора эквивалентна пятой. То есть пятый постулат Евклида подразумевает теорему Пифагора и наоборот.

Обобщения

Подобные фигуры с трех сторон

Теорема Пифагора обобщает не только площади квадратов с трех сторон, но и любые подобные фигуры . Об этом знал Гиппократ Хиосский в V веке до нашей эры. ^[42] и был включен Евклидом в его «Начала» : ^[43]

Если возвести на сторонах прямоугольного треугольника подобные фигуры (см. Евклидову геометрию ) с соответствующими сторонами, то сумма площадей фигур на двух меньших сторонах равна площади фигуры на большей стороне.

Это расширение предполагает, что стороны исходного треугольника являются соответствующими сторонами трех конгруэнтных фигур (поэтому общие отношения сторон между подобными фигурами равны a:b:c ). ^[44] Хотя доказательство Евклида применимо только к выпуклым многоугольникам, теорема также применима к вогнутым многоугольникам и даже к подобным фигурам, имеющим изогнутые границы (но при этом часть границы фигуры все же является стороной исходного треугольника). ^[44]

Основная идея этого обобщения заключается в том, что площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любого линейного измерения и, в частности, пропорциональна квадрату длины любой стороны. Таким образом, если подобные фигуры площадей A , B и C воздвигнуты на сторонах соответствующей длины a , b и c , то:

{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,

\Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.

Но по теореме Пифагора ² + б ² = с ², А + В = С. поэтому

И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех одинаковых фигур, не используя теорему Пифагора, то мы сможем работать в обратном направлении, чтобы построить доказательство теоремы. Например, начальный центральный треугольник можно воспроизвести и использовать как треугольник C на его гипотенузе, а два подобных прямоугольных треугольника ( A и B ) построить на двух других сторонах, образуя путем деления центрального треугольника на его высоту . Следовательно, сумма площадей двух меньших треугольников равна площади третьего, таким образом, A + B = C , и обращение вышеуказанной логики приводит к теореме Пифагора a. ² + б ² = с ². ( См. также доказательство Эйнштейна путем рассечения без перестановки )

Закон косинусов

Теорема Пифагора является частным случаем более общей теоремы о длине сторон любого треугольника, закона косинусов, который гласит, что

a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}

где

\theta

это угол между сторонами

a

и

b

. ^[45]

Когда $\theta$ является ${\frac {\pi }{2}}$ радиан или 90°, тогда $\cos {\theta }=0$ , и формула сводится к обычной теореме Пифагора.

Произвольный треугольник

В любой выбранный угол общего треугольника со сторонами a, b, c впишите равнобедренный треугольник такой, что равные углы при его основании θ равны выбранному углу. Предположим, что выбранный угол θ противоположен стороне, обозначенной c . Вписав равнобедренный треугольник, получим треугольник CAD с углом θ, противоположным стороне b , и стороной r, направленной вдоль c . Второй треугольник формируется с углом θ, противоположным стороне a , и стороной длиной s вдоль c , как показано на рисунке. Сабит ибн Курра заявил, что стороны трех треугольников связаны следующим образом: ^[47]^[48]

a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .

По мере приближения угла θ к $π$ /2 основание равнобедренного треугольника сужается, а длины r и s перекрываются всё меньше и меньше. Когда θ = $π$ /2, ADB становится прямоугольным треугольником, r + s = c , и исходная теорема Пифагора восстанавливается.

Одно из доказательств гласит, что треугольник ABC имеет те же углы, что и треугольник CAD , но в противоположном порядке. (Два треугольника имеют общий угол в вершине A, оба содержат угол θ и поэтому имеют один и тот же третий угол согласно постулату треугольника .) Следовательно, ABC подобен отражению CAD , треугольника DAC на нижней панели. Взяв отношение сторон, противоположных и прилежащих к θ,

{\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}\ .

Аналогично для отражения другого треугольника:

{\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .

Очистка дробей и добавление этих двух отношений:

cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,

требуемый результат.

Теорема остается справедливой, если угол $\theta$ тупой, поэтому длины r и s не перекрываются.

Общие треугольники с использованием параллелограммов

Теорема Паппа о площади — это дальнейшее обобщение, применимое к треугольникам, не являющимся прямоугольными, с использованием параллелограммов на трех сторонах вместо квадратов (квадраты, конечно, являются особым случаем). На верхнем рисунке показано, что для разностороннего треугольника площадь параллелограмма на самой длинной стороне равна сумме площадей параллелограммов на двух других сторонах, при условии, что параллелограмм на длинной стороне построен так, как указано (размеры, отмеченные знаком стрелки одинаковые и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет явное сходство с исходной теоремой Пифагора и считалась обобщением Паппа Александрийского в 4 году нашей эры. ^[49]^[50]

На нижнем рисунке показаны элементы доказательства. Сосредоточьтесь на левой стороне фигуры. Левый зеленый параллелограмм имеет ту же площадь, что и левая синяя часть нижнего параллелограмма, поскольку оба имеют одинаковое основание b и высоту h . Однако левый зеленый параллелограмм также имеет ту же площадь, что и левый зеленый параллелограмм верхнего рисунка, потому что у них одинаковое основание (верхняя левая сторона треугольника) и одинаковая высота по нормали к этой стороне треугольника. Повторяя аргументы для правой части рисунка, нижний параллелограмм имеет ту же площадь, что и сумма двух зеленых параллелограммов.

Твердая геометрия

С точки зрения твердотельной геометрии теорема Пифагора может быть применена к трем измерениям следующим образом. Рассмотрим кубоид , изображенный на рисунке. Длина диагонали грани AC находится по теореме Пифагора как:

{\overline {AC}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}\,,

где эти три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используя диагональ AC и горизонтальное ребро CD , длина диагонали тела AD затем находится посредством второго применения теоремы Пифагора как:

{\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\,,

или, делая все это за один шаг:

{\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\,.

Этот результат представляет собой трехмерное выражение величины вектора v (диагонали AD) через его ортогональные компоненты { v _k } (три взаимно перпендикулярные стороны):

\|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.

Эту одношаговую формулировку можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора на более высокие измерения. Однако этот результат на самом деле представляет собой просто повторное применение исходной теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательности ортогональных плоскостей.

Существенным обобщением теоремы Пифагора на три измерения является теорема де Гуа , названная в честь Жана Поля де Гуа де Мальвеса : Если тетраэдр имеет прямой угол (как угол куба ) , то квадрат площади грани напротив угла прямого угла есть сумма квадратов площадей остальных трёх граней. Этот результат можно обобщить, как в « n -мерной теореме Пифагора»: ^[51]

Позволять $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ — ортогональные векторы в R ^н. Рассмотрим n -мерный симплекс S с вершинами $0,x_{1},\ldots ,x_{n}$ . (Представьте себе ( n − 1)-мерный симплекс с вершинами $x_{1},\ldots ,x_{n}$ не включая начало координат как «гипотенузу» S и остальные ( n − 1)-мерные грани S как его «ноги».) Тогда квадрат объема гипотенузы S есть сумма квадратов объемы n ног.

Это утверждение в трех измерениях иллюстрируется тетраэдром на рисунке. «Гипотенуза» — это основание тетраэдра в задней части фигуры, а «ноги» — это три стороны, исходящие из вершины на переднем плане. По мере увеличения глубины основания от вершины площадь «ножек» увеличивается, а площадь основания фиксируется. Теорема предполагает, что когда эта глубина равна значению, создающему правую вершину, применяется обобщение теоремы Пифагора. В другой формулировке: ^[52]

Для n -прямоугольного n -мерного симплекса квадрат ( n - 1)-содержимого грани, противоположной правой вершине, будет равен сумме квадратов ( n - 1)-содержимого остальных граней.

Внутренние пространства продукта

Теорему Пифагора можно обобщить на пространства внутреннего произведения : ^[53] которые являются обобщениями известных 2-мерных и 3-мерных евклидовых пространств . Например, функцию можно рассматривать как вектор с бесконечным количеством компонентов в пространстве внутреннего продукта, как в функциональном анализе . ^[54]

В пространстве внутреннего продукта концепция перпендикулярности заменяется концепцией ортогональности : два вектора v и w ортогональны, если их внутренний продукт $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ равен нулю. Внутренний продукт является обобщением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение называется стандартным внутренним продуктом или евклидовым внутренним продуктом. Однако возможны и другие внутренние продукты. ^[55]

Понятие длины заменяется понятием нормы ‖ v ‖ вектора v , определяемого как: ^[56]

\lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\,.

В пространстве внутреннего произведения теорема Пифагора утверждает, что для любых двух ортогональных векторов v и w имеем

\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.

Здесь векторы v и w подобны сторонам прямоугольного треугольника с гипотенузой, заданной векторной суммой v + w . Эта форма теоремы Пифагора является следствием свойств скалярного продукта :

{\begin{aligned}\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}&=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle \\[3mu]&=\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \\[3mu]&=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},\end{aligned}}

где $\langle \mathbf {v,\ w} \rangle =\langle \mathbf {w,\ v} \rangle =0$ из-за ортогональности.

Дальнейшим обобщением теоремы Пифагора в пространстве внутреннего произведения на неортогональные векторы является закон параллелограмма : ^[56]

2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}\ ,

который гласит, что удвоенная сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин диагоналей. Любая норма, удовлетворяющая этому равенству, ipso facto является нормой, соответствующей скалярному продукту. ^[56]

Тождество Пифагора можно расширить до сумм более чем двух ортогональных векторов. Если v ₁ , v ₂ , ..., v _n — попарно ортогональные векторы в пространстве внутреннего произведения, то применение теоремы Пифагора к последовательным парам этих векторов (как описано для 3-мерных измерений в разделе, посвященном твердотельной геометрии) ) приводит к уравнению ^[57]

{\biggl \|}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}{\biggr \|}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}

Наборы m -мерных объектов в n -мерном пространстве

Другое обобщение теоремы Пифагора применимо к измеримым по Лебегу множествам объектов любого числа измерений. В частности, квадрат меры m -мерного набора объектов в одной или нескольких параллельных m -мерных плоскостях в n -мерном евклидовом пространстве равен сумме квадратов мер ортогональных проекций объекта(ов) ) на все m -мерные координатные подпространства. ^[58]

В математических терминах:

\mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}

где:

$\mu _{m}$ — мера в m -мерностях (длина в одном измерении, площадь в двух измерениях, объем в трех измерениях и т. д.).
$s$ представляет собой набор одного или нескольких непересекающихся m -мерных объектов в одной или нескольких параллельных m -мерных плоскостях в n -мерном евклидовом пространстве.
$\mu _{ms}$ — полная мера (сумма) множества m -мерных объектов.
$p$ представляет собой m -мерную проекцию исходного набора на ортогональное координатное подпространство.
$\mu _{mp_{i}}$ является мерой проекции m -мерного множества на m -мерное координатное подпространство $i$ . Поскольку проекции объектов могут перекрываться в координатном подпространстве, мера каждой проекции объекта в наборе должна рассчитываться индивидуально, а затем меры всех проекций складываются вместе, чтобы получить общую меру для набора проекций в данном координатном подпространстве.
$x$ — количество ортогональных m -мерных координатных подпространств в n -мерном пространстве ( $R н$ ), на который m проецируются -мерные объекты ( m ≤ n ): $x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}$

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выведена из аксиом евклидовой геометрии , и в самом деле, если бы теорема Пифагора не удалась для некоторого прямоугольного треугольника, то плоскость, в которой содержится этот треугольник, не могла бы быть евклидовой. Точнее, теорема Пифагора подразумевает и подразумевается (пятым) постулатом Евклида о параллельности . ^[59]^[60] Таким образом, прямоугольные треугольники в неевклидовой геометрии ^[61]не удовлетворяют теореме Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем, a , b и c ), ограничивающего октант единичной сферы, имеют длину, равную $π$ /2, и все его углы являются прямыми, что нарушает принцип Пифагора. теорема, потому что $a^{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}$ .

Здесь рассматриваются два случая неевклидовой геометрии — сферическая геометрия и геометрия гиперболической плоскости ; в каждом случае, как и в евклидовом случае для непрямоугольных треугольников, результат, заменяющий теорему Пифагора, следует из соответствующего закона косинусов.

если условие прямоугольности треугольника заменяется условием того, что сумма двух углов равна третьему, скажем, A + B = C. Однако теорема Пифагора остается верной в гиперболической геометрии и эллиптической геометрии , Стороны тогда связаны следующим образом: сумма площадей кругов диаметром a и b равна площади круга диаметром c . ^[62]

Сферическая геометрия

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиуса $R$ (например, если $на$ рисунке — прямой угол) со сторонами $a, b, c γ$ соотношение между сторонами принимает вид: ^[63]

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}.

Это уравнение можно вывести как частный случай сферического закона косинусов , который применим ко всем сферическим треугольникам:

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\,\sin {\frac {b}{R}}\,\cos {\gamma }.

Для бесконечно малых треугольников на сфере (или, что то же самое, для конечных сферических треугольников на сфере бесконечного радиуса) сферическое соотношение между сторонами прямоугольного треугольника сводится к евклидовой форме теоремы Пифагора. у нас есть сферический треугольник с фиксированными длинами сторон $a, b и$ что $c$ на сфере с расширяющимся радиусом $R.$ Чтобы увидеть, как это сделать, предположим , Когда $R$ приближается к бесконечности, величины $a/R, b/R стремятся к нулю ,$ и $c/R$ и сферическое тождество Пифагора сводится к $1=1,$ поэтому мы должны рассмотреть его асимптотическое разложение .

Ряд Маклорена для косинуса можно записать как ${\textstyle \cos x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+O{\left(x^{4}\right)}}$ с остаточным членом в большой записи O. Сдача в аренду $x=c/R$ быть стороной треугольника и рассматривать выражение как асимптотическое разложение через $R$ для фиксированного $c$ ,

{\begin{aligned}\cos {\frac {c}{R}}=1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\end{aligned}}

и то же самое для $a$ и $b$ . Подстановка асимптотического разложения для каждого из косинусов в сферическое соотношение для прямоугольного треугольника дает

{\begin{aligned}1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}&=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\\&=1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.\end{aligned}}

Вычитая 1, а затем отрицая каждую сторону,

{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.

Умножение на $2 R 2,$ асимптотическое разложение для $c$ в терминах фиксированных $a, b$ и переменной $R$ равно

c^{2}=a^{2}+b^{2}+O{\left(R^{-2}\right)}.

Евклидово-пифагорово соотношение. ${\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ в пределе восстанавливается, так как остаток обращается в нуль при приближении радиуса R к бесконечности.

Для практических вычислений в сферической тригонометрии с маленькими прямоугольными треугольниками косинусы можно заменить синусами, используя тождество двойного угла. $\cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }$ во избежание потери значимости . Тогда сферическую теорему Пифагора можно альтернативно записать как

\sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\,\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}.

Гиперболическая геометрия

В гиперболическом пространстве с равномерной гауссовой кривизной −1/ R ², для прямоугольного треугольника с катетами a , b и гипотенузой c соотношение сторон принимает вид: ^[64]

\cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}

где cosh — гиперболический косинус . Эта формула представляет собой специальную форму гиперболического закона косинусов , применимого ко всем гиперболическим треугольникам: ^[65]

\cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\ \cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,

где γ - угол при вершине, противоположной стороне c .

Используя ряд Маклорена для гиперболического косинуса, получим cosh x ≈ 1 + x ²/2 можно показать, что по мере того, как гиперболический треугольник становится очень маленьким (то есть когда a , b и c все стремятся к нулю), гиперболическое соотношение для прямоугольного треугольника приближается к форме теоремы Пифагора.

Для маленьких прямоугольных треугольников ( a , b << R ) гиперболические косинусы можно исключить, чтобы избежать потери значимости , давая

\sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.

Очень маленькие треугольники

Для любой равномерной кривизны K (положительной, нулевой или отрицательной) в очень маленьких прямоугольных треугольниках (| K | a ², | К | б ² << 1) с гипотенузой c можно показать, что

c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.

Дифференциальная геометрия

Теорема Пифагора применима к бесконечно малым треугольникам, наблюдаемым в дифференциальной геометрии . В трехмерном пространстве расстояние между двумя бесконечно удаленными точками удовлетворяет условию

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},

где ds — элемент расстояния и ( dx , dy , dz ) — компоненты вектора, разделяющего две точки. Такое пространство называется евклидовым пространством . Однако в римановой геометрии обобщение этого выражения, полезное для общих координат (не только декартовых) и общих пространств (не только евклидовых), принимает форму: ^[66]

ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}

который называется метрическим тензором . (Иногда, злоупотребляя языком, тот же термин применяется к набору коэффициентов . _gij ) Он может быть функцией положения и часто описывает искривленное пространство . Простой пример — евклидово (плоское) пространство, выраженное в криволинейных координатах . Например, в полярных координатах :

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .

История

Ведутся споры о том, была ли теорема Пифагора открыта один раз или много раз во многих местах, и дата первого открытия неизвестна, как и дата первого доказательства. Историки месопотамской математики пришли к выводу, что правило Пифагора широко использовалось в период Старого Вавилона (20-16 века до н. э.), более чем за тысячу лет до Пифагора . рождения ^[68]^[69]^[70]^[71] Историю теоремы можно разделить на четыре части: знание троек Пифагора , знание отношений между сторонами прямоугольного треугольника, знание отношений между смежными углами и доказательства теоремы в рамках некоторой дедуктивной системы .

Написано ок. 1800 г. до н.э., египетское Среднее царство. Берлинский папирус 6619 включает задачу, решением которой является тройка Пифагора 6:8:10, но в задаче не упоминается треугольник. Месопотамская табличка Плимптон 322 , написанная недалеко от Ларсы, также ок. 1800 г. до н. э., содержит множество записей, тесно связанных с тройками Пифагора. ^[72]

В Индии Баудхаяна Шулба Сутра , даты которой даны по-разному: между 8 и 5 веками до нашей эры, ^[73] содержит список троек Пифагора и изложение теоремы Пифагора как в частном случае равнобедренного прямоугольного треугольника , так и в общем случае, как и Сутра Апастамба Шульба ( ок. 600 г. до н. э. ). ^[а]

Византийский философ- неоплатоник и математик Прокл , писавший в пятом веке нашей эры, утверждает два арифметических правила, «одно из которых приписывают Платону , другое — Пифагору». ^[76] для создания специальных пифагоровых троек. Правило, приписываемое Пифагору ( ок. 570 – ок. 495 до н.э. ), начинается с нечетного числа и дает тройку с катетом и гипотенузой, отличающимися на одну единицу; правило, приписываемое Платону (428/427 или 424/423 – 348/347 до н.э.), начинается с четного числа и дает тройку с катетом и гипотенузой, отличающимися на две единицы. По словам Томаса Л. Хита (1861–1940), в сохранившейся греческой литературе за пять столетий после жизни Пифагора не существует конкретного приписывания этой теоремы Пифагору. ^[77] Однако когда такие авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывали эту теорему Пифагору, они делали это таким образом, что это авторство было широко известно и несомненно. ^[78]^[79] Классицист Курт фон Фриц писал: «Если эта формула справедливо приписана лично Пифагору... можно с уверенностью предположить, что она принадлежит к самому древнему периоду пифагорейской математики ». ^[35] » Евклида Около 300 г. до н. э. в « Началах представлено старейшее из сохранившихся аксиоматических доказательств теоремы. ^[80]

»), содержание которого известно гораздо раньше, но в сохранившихся текстах, датируемых примерно I веком до нашей эры, Китайский текст Чжоуби Суаньцзин (周髀算经), ( «Арифметическая классика гномона и круговых путей небес дает обоснование пифагорейской теории. теорема для треугольника (3, 4, 5) — в Китае она называется « теоремой Гоугу » (勾股定理). ^[81]^[82] Во времена династии Хань (202 г. до н. э. — 220 г. н. э.) пифагорейские тройки появляются в «Девяти главах математического искусства» : ^[83] вместе с упоминанием прямоугольных треугольников. ^[84] Некоторые полагают, что эта теорема впервые возникла в Китае в 11 веке до нашей эры. ^[85] где она также известна как « теорема Шан Гао » (商高定理), ^[86] назван в честь астронома и математика герцога Чжоу , чьи рассуждения составили большую часть того, что было в « Чжоуби Суаньцзин» . ^[87]

См. также

Примечания и ссылки

Примечания

↑ Ван дер Варден считал, что этот материал «определенно основан на более ранних традициях». ^[74] Карл Бойер утверждает, что на теорему Пифагора в Шулба-сутраме, возможно, повлияла древняя месопотамская математика, но нет убедительных доказательств в пользу или против этой возможности. ^[75]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Джудит Д. Салли; Пол Салли (2007). «Глава 3: Пифагоровы тройки» . Корни исследования: вертикальное развитие математических проблем . Книжный магазин Американского математического общества. п. 63. ИСБН 978-0-8218-4403-8 .
^ Бенсон, Дональд. Момент доказательства: математические прозрения , стр. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
^ Евклид (1956) , стр. 351–352.
^ Хаффман, Карл (23 февраля 2005 г.). «Пифагор» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2018 г.) . «Теперь должно быть ясно, что решения об источниках имеют решающее значение при решении вопроса о том, был ли Пифагор математиком и ученым. Представление Пифагора о космосе, изложенное в первых пяти параграфах этого раздела, согласно которому он не был ни математиком, ни ученым. ученый, остается консенсусом».
^ Александр Богомольный. «Cut-the-knot.org: Теорема Пифагора и ее многочисленные доказательства, Доказательство № 4» . Разрежьте узел . Проверено 4 ноября 2010 г.
^ Александр Богомольный. «Cut-the-knot.org: Теорема Пифагора и ее многочисленные доказательства, Доказательство № 3» . Разрежьте узел . Проверено 4 ноября 2010 г.
^ ( Лумис 1940 )
^ ( Маор 2007 , стр. 39 )
^ Шредер, Манфред Роберт (2012). Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая . Курьерская корпорация. стр. 3–4. ISBN 978-0486134789 .
^ См., например, теорему Пифагора путем отображения сдвига. Архивировано 14 октября 2016 г. на Wayback Machine , веб-сайт Университета Сент-Луиса, Java-апплет.
^ Ян Галлберг (1997). Математика: от рождения чисел . WW Нортон и компания. п. 435 . ISBN 0-393-04002-Х .
^ Хейберг, Дж. Л. «Элементы геометрии Евклида» (PDF) . стр. 46–47.
^ «Начала Евклида, книга I, предложение 47» . См. также версию веб-страницы с использованием Java-апплетов профессора Дэвида Э. Джойса из Университета Кларка.
^ Стивен В. Хокинг (2005). Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю . Филадельфия: Управление книжными издательствами Press. п. 12. ISBN 0-7624-1922-9 . Это доказательство впервые появилось после того, как была установлена компьютерная программа для проверки доказательств Евклида.
^ Доказательство Пифагора, вероятно, не было общим, поскольку теория пропорций была разработана всего через два столетия после Пифагора; см. ( Маор 2007 , стр. 25 )
^ Александр Богомольный . «Теорема Пифагора, доказательство № 10» . Разрежьте узел . Проверено 27 февраля 2010 г.
^ ( Лумис 1940 , стр. 113, геометрическое доказательство 22 и рисунок 123)
^ Польстер, Буркард (2004). QED: Красота в математическом доказательстве . Издательская компания Уокер. п. 49.
^ Опубликовано в еженедельной математической колонке: Джеймс А. Гарфилд (1876). «Понс Асинорум» . Журнал образования Новой Англии . 3 (14): 161. как отмечено в Уильям Данэм (1997). Математическая вселенная: путешествие по алфавиту через великие доказательства, проблемы и личности . Уайли. п. 96. ИСБН 0-471-17661-3 . и в календаре математических дат: 1 апреля 1876 г. Архивировано 14 июля 2010 г. в Wayback Machine В. Фредериком Рики.
^ Ланц, Дэвид. «Доказательство Гарфилдом теоремы Пифагора» . Math.Colgate.edu . Архивировано из оригинала 28 августа 2013 г. Проверено 14 января 2018 г.
^ Маор, Эли, Теорема Пифагора , Princeton University Press, 2007: стр. 106-107.
^ Майк Старинг (1996). «Предложение Пифагора: доказательство средствами исчисления». Журнал «Математика» . 69 (1). Математическая ассоциация Америки: 45–46. дои : 10.2307/2691395 . JSTOR 2691395 .
^ Богомольный, Александр. «Теорема Пифагора» . Интерактивная математика. Сборники и головоломки . Александр Богомольный. Архивировано из оригинала 6 июля 2010 г. Проверено 9 мая 2010 г.
^ Брюс К. Берндт (1988). «Рамануджан – 100 лет (модный) или 100 лет новый (модный)?». Математический интеллект . 10 (3): 24–31. дои : 10.1007/BF03026638 . S2CID 123311054 .
^ Джудит Д. Салли; Пол Дж. Салли младший (21 декабря 2007 г.). «Теорема 2.4 (Обращение теоремы Пифагора)». . Корни исследования . Американское математическое общество . стр. 54–55. ISBN 978-0-8218-4403-8 .
^ Элементы Евклида, Книга I, Предложение 48 С веб-страницы Д.Э. Джойса в Университете Кларка.
^ Кейси, Стивен, «Обратная теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 309–313.
^ Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь о 92,47», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 156.
^ Эрнест Юлиус Вильчинский; Герберт Элсворт Слот (1914). «Теорема 1 и Теорема 2». Плоская тригонометрия и ее приложения . Аллин и Бэкон. п. 85 .
^ Дейкстра, Эдсгер В. (7 сентября 1986 г.). «К теореме Пифагора» . EWD975 . Архив Э. В. Дейкстры.
^ Александр Богомольный, Теорема Пифагора для обратных величин, https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PTForReciprocals.shtml
^ Закон, Генри (1853). «Следствие 5 предложения XLVII ( теоремы Пифагора )» . «Начала Евклида»: со многими дополнительными положениями и пояснительными примечаниями, к которым предваряется вводное эссе по логике . Джон Уил. п. 49.
^ Шон Лавин (1994). Понимание бесконечности . Издательство Гарвардского университета. п. 13. ISBN 0-674-92096-1 .
^ ( Хит 1921 , Том I, стр. 65); Гиппас в это время находился в путешествии, и товарищи выбросили его за борт. Видеть Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». Математический журнал колледжа . 11 : 312–316.
^ Jump up to: ^а ^б Курт фон Фриц (апрель 1945 г.). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». Анналы математики . Вторая серия. 46 (2): 242–264. дои : 10.2307/1969021 . JSTOR 1969021 .
^ Джон Орвант; Яркко Хиетаниеми; Джон Макдональд (1999). «Евклидово расстояние» . Освоение алгоритмов на Perl . О'Рейли Медиа, Инк. с. 426. ИСБН 1-56592-398-7 .
^ Вентворт, Джордж (2009). Плоская тригонометрия и таблицы . БиблиоБазар, ООО. п. 116. ИСБН 978-1-103-07998-8 . , Упражнения, стр. 116
^ Лоуренс С. Лефф (2005). PreCalculus - простой способ (7-е изд.). Образовательная серия Бэррона. п. 296 . ISBN 0-7641-2892-2 .
^ WS Мэсси (декабрь 1983 г.). «Векторное произведение векторов в многомерных евклидовых пространствах» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 90 (10). Математическая ассоциация Америки: 697–701. дои : 10.2307/2323537 . JSTOR 2323537 . S2CID 43318100 . Архивировано из оригинала (PDF) 26 февраля 2021 г.
^ Пертти Лунесто (2001). «§7.4 Перекрестное произведение двух векторов» . Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 96. ИСБН 0-521-00551-5 .
^ Фрэнсис Бегно Хильдебранд (1992). Методы прикладной математики (Перепечатка Прентис-Холла, 1965, 2-е изд.). Публикации Courier Dover. п. 24. ISBN 0-486-67002-3 .
^ Хит, Т.Л., История греческой математики , Oxford University Press, 1921; перепечатано Дувром, 1981 г.
^ Евклида Элементы : Книга VI, Предложение VI 31: «В прямоугольных треугольниках фигура на стороне, стягивающей прямой угол, равна аналогичным и аналогично описанным фигурам на сторонах, содержащих прямой угол».
^ Jump up to: ^а ^б Путц, Джон Ф. и Сипка, Тимоти А. «Об обобщении теоремы Пифагора», The College Mathematics Journal 34 (4), сентябрь 2003 г., стр. 291–295.
^ Лоуренс С. Лефф (1 мая 2005 г.). цитируемая работа . Образовательная серия Бэррона. п. 326. ИСБН 0-7641-2892-2 .
^ Говард Уитли Ивс (1983). «§4.8: ... обобщение теоремы Пифагора». Великие моменты в математике (до 1650 г.) . Математическая ассоциация Америки. п. 41 . ISBN 0-88385-310-8 .
^ Айдын Сайили (март 1960 г.). «Обобщение теоремы Пифагора Сабитом ибн Куррой». Исида . 51 (1): 35–37. дои : 10.1086/348837 . JSTOR 227603 . S2CID 119868978 .
^ Джудит Д. Салли; Пол Салли (21 декабря 2007 г.). «Упражнение 2.10 (ii)» . Корни исследования: вертикальное развитие математических проблем . Американское математическое соц. п. 62. ИСБН 978-0-8218-4403-8 .
^ Подробности такой конструкции см. Дженнингс, Джордж (1997). «Рисунок 1.32: Обобщенная теорема Пифагора». Современная геометрия с приложениями: со 150 рисунками (3-е изд.). Спрингер. п. 23 . ISBN 0-387-94222-Х .
^ Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . МАА, 2010, ISBN 9780883853481 , стр. 77–78 ( отрывок , стр. 77, в Google Книгах )
^ Раджендра Бхатия (1997). Матричный анализ . Спрингер. п. 21. ISBN 0-387-94846-5 .
^ Подробное обсуждение этого обобщения см., например, в книге Уилли В. Вонга. Архивировано 29 декабря 2009 г. в Wayback Machine , 2002 г., Обобщенная n-мерная теорема Пифагора .
^ Фердинанд ван дер Хейден; Дик де Риддер (2004). Классификация, оценка параметров и оценка состояния . Уайли. п. 357. ИСБН 0-470-09013-8 .
^ Цюнь Линь; Цзяфу Линь (2006). Методы конечных элементов: точность и совершенствование . Эльзевир. п. 23. ISBN 7-03-016656-6 .
^ Говард Антон; Крис Роррес (2010). Элементарная линейная алгебра: версия для приложений (10-е изд.). Уайли. п. 336. ИСБН 978-0-470-43205-1 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Карен Сакс (2002). «Теорема 1.2» . Начало функционального анализа . Спрингер. п. 7. ISBN 0-387-95224-1 .
^ Дуглас, Рональд Г. (1998). Методы банаховой алгебры в теории операторов (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag New York, Inc., стр. 60–61. ISBN 978-0-387-98377-6 .
^ Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». Американский математический ежемесячник . 81 (3). Математическая ассоциация Америки: 262–265. дои : 10.2307/2319528 . JSTOR 2319528 .
^ Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 2147. ИСБН 1-58488-347-2 . Постулат параллельности эквивалентен постулату равноудаления , аксиоме Плейфэра , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .
^ Александр Р. Прусс (2006). Принцип достаточного основания: переоценка . Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 0-521-85959-Х . Мы могли бы включить... постулат о параллельности и вывести теорему Пифагора. Или вместо этого мы могли бы выделить теорему Пифагора среди других аксиом и вывести постулат о параллельности.
^ Стивен В. Хокинг (2005). цитируемая работа . Беговой пресс. п. 4. ISBN 0-7624-1922-9 .
^ Виктор Памбучян (декабрь 2010 г.). «Гиперболическая теорема Пифагора Марии Терезы Калапсо» . Математический интеллект . 32 (4): 2. дои : 10.1007/s00283-010-9169-0 .
^ Барретт О'Нил (2006). «Упражнение 4» . Элементарная дифференциальная геометрия (2-е изд.). Академическая пресса. п. 441. ИСБН 0-12-088735-5 .
^ Саул Шталь (1993). «Теорема 8.3» . Полуплоскость Пуанкаре: ворота в современную геометрию . Джонс и Бартлетт Обучение. п. 122. ИСБН 0-86720-298-Х .
^ Джейн Гилман (1995). «Гиперболические треугольники» . Двухпорожденные дискретные подгруппы PSL(2,R) . Книжный магазин Американского математического общества. ISBN 0-8218-0361-1 .
^ Тай Л. Чоу (2000). Математические методы для физиков: краткое введение . Издательство Кембриджского университета. п. 52. ИСБН 0-521-65544-7 .
^ Нойгебауэр 1969 , с. 36.
^ Нойгебауэр 1969 : с. 36 «Другими словами, во все времена существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы».
^ Фриберг, Йоран (1981). «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322, тройки Пифагора и уравнения параметров вавилонского треугольника» . История Математики . 8 : 277–318. дои : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 . : с. 306 «Хотя «Плимптон 322» является уникальным в своем роде текстом, известно несколько других текстов, свидетельствующих о том, что теорема Пифагора была хорошо известна математикам древневавилонского периода».
^ Хойруп, Йенс . «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Международный коллоквиум Deutschen Orient-Gesellschaft 24–26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Deutsche Orient-Gesellschaft / Саарбрюккен: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. стр. 393–407. , с. 406: « Судя только по этим свидетельствам, вполне вероятно, что правило Пифагора было обнаружено в среде геодезистов-непрофессионалов, возможно, как побочный продукт проблемы, рассмотренной в Db _2-146 , где-то между 2300 и 1825 годами до нашей эры». ( Db _2-146 посвященная — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны, вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)
^ Робсон, Э. (2008). Математика в древнем Ираке: социальная история . Издательство Принстонского университета. : с. 109 «Многие практикующие математику в Древнем Вавилоне… знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется в рабочих решениях текстовых задач на разрезание и ширину. -Наклейте слово «алгебра» на семь разных табличек из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места на юге Вавилонии».
^ Робсон, Элеонора (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322» . История Математики . 28 (3): 167–206. дои : 10.1006/hmat.2001.2317 .
^ Ким Плофкер (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. стр. 17–18 . ISBN 978-0-691-12067-6 .
^ Бартель Л. ван дер Варден (2012). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Springer Science & Business Media. п. 26.
^ Карл Бенджамин Бойер ; Ута К. Мерцбах (2011). «Китай и Индия». История математики (3-е изд.). Уайли. п. 229. ИСБН 978-0470525487 . Цитата: [В Сульба-сутрах] мы находим правила построения прямых углов с помощью троек веревок, длина которых образует пифагорейские триаги, например 3, 4 и 5, или 5, 12 и 13, или 8, 15 и 17 или 12, 35 и 37. Хотя влияние Месопотамии в Сулвасутрах вполне вероятно, мы не знаем никаких убедительных доказательств за или против этого. Аспастамба знал, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух соседних сторон. Менее легко объяснить другое правило, данное Апастамбой, – оно сильно напоминает некоторые положения геометрической алгебры из Книги II « Начал» Евклида . (...)
^ Прокл (1970). Евклида Комментарий к первой книге «Начал» . Перевод Морроу, издательство Гленна Р. Принстонского университета. 428,6.
^ «Введение и книги 1,2» . Университетское издательство. 25 марта 1908 г. - через Google Книги.
^ ( Heath 1921 , Vol I, стр. 144): «Хотя это утверждение повсеместно ассоциируется традицией с именем Пифагора, не существует действительно заслуживающих доверия свидетельств того, что оно действительно было открыто им. Сравнительно поздние авторы, приписывающие его он добавил историю о том, что он принес в жертву быка, чтобы отпраздновать свое открытие».
^ Подробное обсуждение исторических свидетельств представлено в ( Евклид 1956 , стр. 351), стр.=351.
^ Асгер Аабо (1997). Эпизоды из ранней истории математики . Математическая ассоциация Америки. п. 51. ИСБН 0-88385-613-1 . ... только до Евклида мы нашли логическую последовательность общих теорем с надлежащими доказательствами.
^ Роберт П. Криз (2008). Великие уравнения: прорывы в науке от Пифагора до Гейзенберга . WW Norton & Co. p. 25 . ISBN 978-0-393-06204-5 .
^ Довольно обширное обсуждение происхождения различных текстов Чжоу Би представлено Кристофер Каллен (2007). Астрономия и математика в Древнем Китае: «Чжоу Би Суань Цзин» . Издательство Кембриджского университета. стр. 139 и далее . ISBN 978-0-521-03537-8 .
^ Эта работа представляет собой сборник из 246 задач, некоторые из которых пережили сожжение книги в 213 г. до н. э. и были окончательно оформлены до 100 г. н.э. Это подробно комментировал Лю Хуэй в 263 году нашей эры. Филип Д. Страффин младший (2004). «Лю Хуэй и первый золотой век китайской математики» . В Марлоу Андерсоне; Виктор Дж. Кац; Робин Дж. Уилсон (ред.). Шерлок Холмс в Вавилоне: и другие рассказы из математической истории . Математическая ассоциация Америки. стр. 69 и далее . ISBN 0-88385-546-1 . См., в частности, §3: Девять глав о математическом искусстве , стр. 71 и далее .
^ Каншен Шен; Джон Н. Кроссли; Энтони Ва-Чунг Лун (1999). Девять глав о математическом искусстве: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. п. 488. ИСБН 0-19-853936-3 .
^ В частности, Ли Цзимин; видеть Центавр, Том 39 . Копенгаген: Мунксгаард. 1997. С. 193, 205.
^ Чен, Ченг-Йи (1996). «§3.3.4 Формула Чэнь Цзы и метод Чонг-Ча; рисунок 40» . Ранние китайские работы в области естествознания: пересмотр физики движения, акустики, астрономии и научной мысли . Издательство Гонконгского университета. п. 142. ИСБН 962-209-385-Х .
^ Вэнь-цюн Ву (2008). «Теорема Гугу» . Избранные произведения Вэнь-цюнь У. Всемирная научная. п. 158. ИСБН 978-981-279-107-8 .

Цитируемые работы

Белл, Джон Л. (1999). Искусство понятного: элементарный обзор математики в ее концептуальном развитии . Клювер. ISBN 0-7923-5972-0 .
Евклид (1956). Тринадцать книг «Элементов» Евклида, перевод с текста Хейберга, с введением и комментариями . Том. 1 (Книги I и II). Перевод Хита, Томаса Л. (Перепечатка 2-го (1925 г.) изд.). Дувр. Онлайн-текст на archive.org
Хит, сэр Томас (1921). «Теорема Пифагора » . История греческой математики (2 тома) (изд. Dover Publications, Inc. (1981). Кларендон Пресс, Оксфорд. стр. 144 и далее . ISBN 0-486-24073-8 .
Либескинд, Шломо (2008). Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование . Джонс и Бартлетт Обучение. ISBN 978-0-7637-4366-6 . Этот учебник по геометрии для средней школы охватывает многие темы этой статьи WP.
Лумис, Элиша Скотт (1940). Предложение Пифагора (2-е изд.). Анн-Арбор, Мичиган: Братья Эдвардс. ISBN 9780873530361 . Переиздан в 1968 году Национальным советом учителей математики. Скан более низкого качества был опубликован в Интернете Информационным центром образовательных ресурсов , ERIC ED037335 .
Маор, Эли (2007). Теорема Пифагора: 4000-летняя история . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12526-8 .
Нойгебауэр, Отто (1969). Точные науки в древности (2-е изд.). Публикации Courier Dover. ISBN 0-486-22332-9 . OCLC 638685764 .
Робсон, Элеонора и Жаклин Стедалл, ред., Оксфордский справочник по истории математики, Оксфорд: Oxford University Press, 2009. стр. vii + 918. ISBN 978-0-19-921312-2 .
Стиллвелл, Джон (1989). Математика и ее история . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-96981-0 . Также ISBN 3-540-96981-0 .
Свец, Фрэнк; Као, ТИ (1977). Был ли Пифагор китайцем?: Исследование теории прямоугольного треугольника в Древнем Китае . Издательство Пенсильванского государственного университета. ISBN 0-271-01238-2 .
ван дер Варден, Бартель Леендерт (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Спрингер. ISBN 3-540-12159-5 . Пифагорейцы утрояют вавилонских писцов ван дер Вардена.

Внешние ссылки

Теорема Пифагора в ProofWiki

Евклид (1997) [ок. 300 г. до н. э.]. Дэвид Э. Джойс (ред.). Элементы . Проверено 30 августа 2006 г. В HTML с интерактивными фигурами на основе Java.
«Теорема Пифагора» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
Тема по истории: Теорема Пифагора в вавилонской математике.
Интерактивные ссылки:
- Интерактивное доказательство на Java теоремы Пифагора
- Еще одно интерактивное доказательство на Java. теоремы Пифагора
- Теорема Пифагора с интерактивной анимацией
- Анимированная, неалгебраическая и регулируемая пользователем теорема Пифагора
Демонстрация воды по теореме Пифагора на YouTube
Теорема Пифагора (более 70 доказательств из первых рук )
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Пифагора» . Математический мир .

[76] Ван дер Варден считал, что этот материал «определенно основан на более ранних традициях». ^[74] Карл Бойер утверждает, что на теорему Пифагора в Шулба-сутраме, возможно, повлияла древняя месопотамская математика, но нет убедительных доказательств в пользу или против этой возможности. ^[75]

[Sally0-1] Jump up to: ^а ^б Джудит Д. Салли; Пол Салли (2007). «Глава 3: Пифагоровы тройки» . Корни исследования: вертикальное развитие математических проблем . Книжный магазин Американского математического общества. п. 63. ИСБН 978-0-8218-4403-8 .

[2] Бенсон, Дональд. Момент доказательства: математические прозрения , стр. 172–173 (Oxford University Press, 1999).

[3] Евклид (1956) , стр. 351–352.

[4] Хаффман, Карл (23 февраля 2005 г.). «Пифагор» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2018 г.) . «Теперь должно быть ясно, что решения об источниках имеют решающее значение при решении вопроса о том, был ли Пифагор математиком и ученым. Представление Пифагора о космосе, изложенное в первых пяти параграфах этого раздела, согласно которому он не был ни математиком, ни ученым. ученый, остается консенсусом».

[5] Александр Богомольный. «Cut-the-knot.org: Теорема Пифагора и ее многочисленные доказательства, Доказательство № 4» . Разрежьте узел . Проверено 4 ноября 2010 г.

[rotate-6] Александр Богомольный. «Cut-the-knot.org: Теорема Пифагора и ее многочисленные доказательства, Доказательство № 3» . Разрежьте узел . Проверено 4 ноября 2010 г.

[7] ( Лумис 1940 )

[8] ( Маор 2007 , стр. 39 )

[9] Шредер, Манфред Роберт (2012). Фракталы, хаос, степенные законы: минуты из бесконечного рая . Курьерская корпорация. стр. 3–4. ISBN 978-0486134789 .

[10] См., например, теорему Пифагора путем отображения сдвига. Архивировано 14 октября 2016 г. на Wayback Machine , веб-сайт Университета Сент-Луиса, Java-апплет.

[Gullberg-11] Ян Галлберг (1997). Математика: от рождения чисел . WW Нортон и компания. п. 435 . ISBN 0-393-04002-Х .

[12] Хейберг, Дж. Л. «Элементы геометрии Евклида» (PDF) . стр. 46–47.

[13] «Начала Евклида, книга I, предложение 47» . См. также версию веб-страницы с использованием Java-апплетов профессора Дэвида Э. Джойса из Университета Кларка.

[Hawking-14] Стивен В. Хокинг (2005). Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю . Филадельфия: Управление книжными издательствами Press. п. 12. ISBN 0-7624-1922-9 . Это доказательство впервые появилось после того, как была установлена компьютерная программа для проверки доказательств Евклида.

[Pythagoras-15] Доказательство Пифагора, вероятно, не было общим, поскольку теория пропорций была разработана всего через два столетия после Пифагора; см. ( Маор 2007 , стр. 25 )

[16] Александр Богомольный . «Теорема Пифагора, доказательство № 10» . Разрежьте узел . Проверено 27 февраля 2010 г.

[specifics-17] ( Лумис 1940 , стр. 113, геометрическое доказательство 22 и рисунок 123)

[18] Польстер, Буркард (2004). QED: Красота в математическом доказательстве . Издательская компания Уокер. п. 49.

[Garfield-19] Опубликовано в еженедельной математической колонке: Джеймс А. Гарфилд (1876). «Понс Асинорум» . Журнал образования Новой Англии . 3 (14): 161. как отмечено в Уильям Данэм (1997). Математическая вселенная: путешествие по алфавиту через великие доказательства, проблемы и личности . Уайли. п. 96. ИСБН 0-471-17661-3 . и в календаре математических дат: 1 апреля 1876 г. Архивировано 14 июля 2010 г. в Wayback Machine В. Фредериком Рики.

[animation-20] Ланц, Дэвид. «Доказательство Гарфилдом теоремы Пифагора» . Math.Colgate.edu . Архивировано из оригинала 28 августа 2013 г. Проверено 14 января 2018 г.

[21] Маор, Эли, Теорема Пифагора , Princeton University Press, 2007: стр. 106-107.

[Staring-22] Майк Старинг (1996). «Предложение Пифагора: доказательство средствами исчисления». Журнал «Математика» . 69 (1). Математическая ассоциация Америки: 45–46. дои : 10.2307/2691395 . JSTOR 2691395 .

[M_Hardy-23] Богомольный, Александр. «Теорема Пифагора» . Интерактивная математика. Сборники и головоломки . Александр Богомольный. Архивировано из оригинала 6 июля 2010 г. Проверено 9 мая 2010 г.

[24] Брюс К. Берндт (1988). «Рамануджан – 100 лет (модный) или 100 лет новый (модный)?». Математический интеллект . 10 (3): 24–31. дои : 10.1007/BF03026638 . S2CID 123311054 .

[Sally1-25] Джудит Д. Салли; Пол Дж. Салли младший (21 декабря 2007 г.). «Теорема 2.4 (Обращение теоремы Пифагора)». . Корни исследования . Американское математическое общество . стр. 54–55. ISBN 978-0-8218-4403-8 .

[26] Элементы Евклида, Книга I, Предложение 48 С веб-страницы Д.Э. Джойса в Университете Кларка.

[27] Кейси, Стивен, «Обратная теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 309–313.

[28] Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь о 92,47», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 156.

[Wilczynski-29] Эрнест Юлиус Вильчинский; Герберт Элсворт Слот (1914). «Теорема 1 и Теорема 2». Плоская тригонометрия и ее приложения . Аллин и Бэкон. п. 85 .

[30] Дейкстра, Эдсгер В. (7 сентября 1986 г.). «К теореме Пифагора» . EWD975 . Архив Э. В. Дейкстры.

[31] Александр Богомольный, Теорема Пифагора для обратных величин, https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PTForReciprocals.shtml

[Euclid_5-32] Закон, Генри (1853). «Следствие 5 предложения XLVII ( теоремы Пифагора )» . «Начала Евклида»: со многими дополнительными положениями и пояснительными примечаниями, к которым предваряется вводное эссе по логике . Джон Уил. п. 49.

[Lavine0-33] Шон Лавин (1994). Понимание бесконечности . Издательство Гарвардского университета. п. 13. ISBN 0-674-92096-1 .

[drown-34] ( Хит 1921 , Том I, стр. 65); Гиппас в это время находился в путешествии, и товарищи выбросили его за борт. Видеть Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». Математический журнал колледжа . 11 : 312–316.

[Fritz-35] Jump up to: ^а ^б Курт фон Фриц (апрель 1945 г.). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». Анналы математики . Вторая серия. 46 (2): 242–264. дои : 10.2307/1969021 . JSTOR 1969021 .

[Macdonald-36] Джон Орвант; Яркко Хиетаниеми; Джон Макдональд (1999). «Евклидово расстояние» . Освоение алгоритмов на Perl . О'Рейли Медиа, Инк. с. 426. ИСБН 1-56592-398-7 .

[37] Вентворт, Джордж (2009). Плоская тригонометрия и таблицы . БиблиоБазар, ООО. п. 116. ИСБН 978-1-103-07998-8 . , Упражнения, стр. 116

[Leff-38] Лоуренс С. Лефф (2005). PreCalculus - простой способ (7-е изд.). Образовательная серия Бэррона. п. 296 . ISBN 0-7641-2892-2 .

[Massey-39] WS Мэсси (декабрь 1983 г.). «Векторное произведение векторов в многомерных евклидовых пространствах» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 90 (10). Математическая ассоциация Америки: 697–701. дои : 10.2307/2323537 . JSTOR 2323537 . S2CID 43318100 . Архивировано из оригинала (PDF) 26 февраля 2021 г.

[n_dimensions-40] Пертти Лунесто (2001). «§7.4 Перекрестное произведение двух векторов» . Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 96. ИСБН 0-521-00551-5 .

[Hildebrand-41] Фрэнсис Бегно Хильдебранд (1992). Методы прикладной математики (Перепечатка Прентис-Холла, 1965, 2-е изд.). Публикации Courier Dover. п. 24. ISBN 0-486-67002-3 .

[42] Хит, Т.Л., История греческой математики , Oxford University Press, 1921; перепечатано Дувром, 1981 г.

[Euclid_VI-43] Евклида Элементы : Книга VI, Предложение VI 31: «В прямоугольных треугольниках фигура на стороне, стягивающей прямой угол, равна аналогичным и аналогично описанным фигурам на сторонах, содержащих прямой угол».

[Putz-44] Jump up to: ^а ^б Путц, Джон Ф. и Сипка, Тимоти А. «Об обобщении теоремы Пифагора», The College Mathematics Journal 34 (4), сентябрь 2003 г., стр. 291–295.

[Leff1-45] Лоуренс С. Лефф (1 мая 2005 г.). цитируемая работа . Образовательная серия Бэррона. п. 326. ИСБН 0-7641-2892-2 .

[Eves-46] Говард Уитли Ивс (1983). «§4.8: ... обобщение теоремы Пифагора». Великие моменты в математике (до 1650 г.) . Математическая ассоциация Америки. п. 41 . ISBN 0-88385-310-8 .

[Sayii-47] Айдын Сайили (март 1960 г.). «Обобщение теоремы Пифагора Сабитом ибн Куррой». Исида . 51 (1): 35–37. дои : 10.1086/348837 . JSTOR 227603 . S2CID 119868978 .

[Sally2-48] Джудит Д. Салли; Пол Салли (21 декабря 2007 г.). «Упражнение 2.10 (ii)» . Корни исследования: вертикальное развитие математических проблем . Американское математическое соц. п. 62. ИСБН 978-0-8218-4403-8 .

[Jennings-49] Подробности такой конструкции см. Дженнингс, Джордж (1997). «Рисунок 1.32: Обобщенная теорема Пифагора». Современная геометрия с приложениями: со 150 рисунками (3-е изд.). Спрингер. п. 23 . ISBN 0-387-94222-Х .

[50] Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . МАА, 2010, ISBN 9780883853481 , стр. 77–78 ( отрывок , стр. 77, в Google Книгах )

[Bhatia-51] Раджендра Бхатия (1997). Матричный анализ . Спрингер. п. 21. ISBN 0-387-94846-5 .

[Wong-52] Подробное обсуждение этого обобщения см., например, в книге Уилли В. Вонга. Архивировано 29 декабря 2009 г. в Wayback Machine , 2002 г., Обобщенная n-мерная теорема Пифагора .

[van_der_Heijden-53] Фердинанд ван дер Хейден; Дик де Риддер (2004). Классификация, оценка параметров и оценка состояния . Уайли. п. 357. ИСБН 0-470-09013-8 .

[Lin-54] Цюнь Линь; Цзяфу Линь (2006). Методы конечных элементов: точность и совершенствование . Эльзевир. п. 23. ISBN 7-03-016656-6 .

[Rorres-55] Говард Антон; Крис Роррес (2010). Элементарная линейная алгебра: версия для приложений (10-е изд.). Уайли. п. 336. ИСБН 978-0-470-43205-1 .

[Saxe-56] Jump up to: ^а ^б ^с Карен Сакс (2002). «Теорема 1.2» . Начало функционального анализа . Спрингер. п. 7. ISBN 0-387-95224-1 .

[Douglas1998-57] Дуглас, Рональд Г. (1998). Методы банаховой алгебры в теории операторов (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag New York, Inc., стр. 60–61. ISBN 978-0-387-98377-6 .

[Conant-58] Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». Американский математический ежемесячник . 81 (3). Математическая ассоциация Америки: 262–265. дои : 10.2307/2319528 . JSTOR 2319528 .

[Parallel-59] Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 2147. ИСБН 1-58488-347-2 . Постулат параллельности эквивалентен постулату равноудаления , аксиоме Плейфэра , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .

[Pruss-60] Александр Р. Прусс (2006). Принцип достаточного основания: переоценка . Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 0-521-85959-Х . Мы могли бы включить... постулат о параллельности и вывести теорему Пифагора. Или вместо этого мы могли бы выделить теорему Пифагора среди других аксиом и вывести постулат о параллельности.

[false-61] Стивен В. Хокинг (2005). цитируемая работа . Беговой пресс. п. 4. ISBN 0-7624-1922-9 .

[62] Виктор Памбучян (декабрь 2010 г.). «Гиперболическая теорема Пифагора Марии Терезы Калапсо» . Математический интеллект . 32 (4): 2. дои : 10.1007/s00283-010-9169-0 .

[O-63] Барретт О'Нил (2006). «Упражнение 4» . Элементарная дифференциальная геометрия (2-е изд.). Академическая пресса. п. 441. ИСБН 0-12-088735-5 .

[Stahl-64] Саул Шталь (1993). «Теорема 8.3» . Полуплоскость Пуанкаре: ворота в современную геометрию . Джонс и Бартлетт Обучение. п. 122. ИСБН 0-86720-298-Х .

[Gilman-65] Джейн Гилман (1995). «Гиперболические треугольники» . Двухпорожденные дискретные подгруппы PSL(2,R) . Книжный магазин Американского математического общества. ISBN 0-8218-0361-1 .

[Chow-66] Тай Л. Чоу (2000). Математические методы для физиков: краткое введение . Издательство Кембриджского университета. п. 52. ИСБН 0-521-65544-7 .

[Neugebauer-67] Нойгебауэр 1969 , с. 36.

[68] Нойгебауэр 1969 : с. 36 «Другими словами, во все времена существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы».

[69] Фриберг, Йоран (1981). «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322, тройки Пифагора и уравнения параметров вавилонского треугольника» . История Математики . 8 : 277–318. дои : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 . : с. 306 «Хотя «Плимптон 322» является уникальным в своем роде текстом, известно несколько других текстов, свидетельствующих о том, что теорема Пифагора была хорошо известна математикам древневавилонского периода».

[70] Хойруп, Йенс . «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Международный коллоквиум Deutschen Orient-Gesellschaft 24–26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Deutsche Orient-Gesellschaft / Саарбрюккен: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. стр. 393–407. , с. 406: « Судя только по этим свидетельствам, вполне вероятно, что правило Пифагора было обнаружено в среде геодезистов-непрофессионалов, возможно, как побочный продукт проблемы, рассмотренной в Db _2-146 , где-то между 2300 и 1825 годами до нашей эры». ( Db _2-146 посвященная — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны, вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)

[71] Робсон, Э. (2008). Математика в древнем Ираке: социальная история . Издательство Принстонского университета. : с. 109 «Многие практикующие математику в Древнем Вавилоне… знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется в рабочих решениях текстовых задач на разрезание и ширину. -Наклейте слово «алгебра» на семь разных табличек из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места на юге Вавилонии».

[72] Робсон, Элеонора (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322» . История Математики . 28 (3): 167–206. дои : 10.1006/hmat.2001.2317 .

[73] Ким Плофкер (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. стр. 17–18 . ISBN 978-0-691-12067-6 .

[74] Бартель Л. ван дер Варден (2012). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Springer Science & Business Media. п. 26.

[75] Карл Бенджамин Бойер ; Ута К. Мерцбах (2011). «Китай и Индия». История математики (3-е изд.). Уайли. п. 229. ИСБН 978-0470525487 . Цитата: [В Сульба-сутрах] мы находим правила построения прямых углов с помощью троек веревок, длина которых образует пифагорейские триаги, например 3, 4 и 5, или 5, 12 и 13, или 8, 15 и 17 или 12, 35 и 37. Хотя влияние Месопотамии в Сулвасутрах вполне вероятно, мы не знаем никаких убедительных доказательств за или против этого. Аспастамба знал, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух соседних сторон. Менее легко объяснить другое правило, данное Апастамбой, – оно сильно напоминает некоторые положения геометрической алгебры из Книги II « Начал» Евклида . (...)

[77] Прокл (1970). Евклида Комментарий к первой книге «Начал» . Перевод Морроу, издательство Гленна Р. Принстонского университета. 428,6.

[78] «Введение и книги 1,2» . Университетское издательство. 25 марта 1908 г. - через Google Книги.

[heath144-79] ( Heath 1921 , Vol I, стр. 144): «Хотя это утверждение повсеместно ассоциируется традицией с именем Пифагора, не существует действительно заслуживающих доверия свидетельств того, что оно действительно было открыто им. Сравнительно поздние авторы, приписывающие его он добавил историю о том, что он принес в жертву быка, чтобы отпраздновать свое открытие».

[Heath3-80] Подробное обсуждение исторических свидетельств представлено в ( Евклид 1956 , стр. 351), стр.=351.

[Aaboe-81] Асгер Аабо (1997). Эпизоды из ранней истории математики . Математическая ассоциация Америки. п. 51. ИСБН 0-88385-613-1 . ... только до Евклида мы нашли логическую последовательность общих теорем с надлежащими доказательствами.

[Crease-82] Роберт П. Криз (2008). Великие уравнения: прорывы в науке от Пифагора до Гейзенберга . WW Norton & Co. p. 25 . ISBN 978-0-393-06204-5 .

[Cullen-83] Довольно обширное обсуждение происхождения различных текстов Чжоу Би представлено Кристофер Каллен (2007). Астрономия и математика в Древнем Китае: «Чжоу Би Суань Цзин» . Издательство Кембриджского университета. стр. 139 и далее . ISBN 978-0-521-03537-8 .

[Hui-84] Эта работа представляет собой сборник из 246 задач, некоторые из которых пережили сожжение книги в 213 г. до н. э. и были окончательно оформлены до 100 г. н.э. Это подробно комментировал Лю Хуэй в 263 году нашей эры. Филип Д. Страффин младший (2004). «Лю Хуэй и первый золотой век китайской математики» . В Марлоу Андерсоне; Виктор Дж. Кац; Робин Дж. Уилсон (ред.). Шерлок Холмс в Вавилоне: и другие рассказы из математической истории . Математическая ассоциация Америки. стр. 69 и далее . ISBN 0-88385-546-1 . См., в частности, §3: Девять глав о математическом искусстве , стр. 71 и далее .

[Shen-85] Каншен Шен; Джон Н. Кроссли; Энтони Ва-Чунг Лун (1999). Девять глав о математическом искусстве: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. п. 488. ИСБН 0-19-853936-3 .

[Centaurus-86] В частности, Ли Цзимин; видеть Центавр, Том 39 . Копенгаген: Мунксгаард. 1997. С. 193, 205.

[CY_Chen-87] Чен, Ченг-Йи (1996). «§3.3.4 Формула Чэнь Цзы и метод Чонг-Ча; рисунок 40» . Ранние китайские работы в области естествознания: пересмотр физики движения, акустики, астрономии и научной мысли . Издательство Гонконгского университета. п. 142. ИСБН 962-209-385-Х .

[Wu-88] Вэнь-цюн Ву (2008). «Теорема Гугу» . Избранные произведения Вэнь-цюнь У. Всемирная научная. п. 158. ИСБН 978-981-279-107-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[а]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[74]

[75]