Сложный самолет

Эта статья о геометрическом представлении комплексных чисел. Чтобы узнать о двумерном проективном пространстве с координатами комплексных чисел, см. комплексную проективную плоскость .

В математике комплексная плоскость — это плоскость , образованная комплексными числами , с декартовой системой координат , в которой горизонтальная ось X , называемая действительной осью , образована действительными числами , а вертикальная ось Y , называемая мнимой. ось , образована мнимыми числами .

Комплексная плоскость позволяет геометрическую интерпретацию комплексных чисел. При сложении они складывают подобные векторы . Умножение . двух комплексных чисел проще выразить в полярных координатах : величина или модуль произведения представляет собой произведение двух абсолютных значений или модулей, а угол или аргумент произведения представляет собой сумму двух углов или аргументы. В частности, умножение на комплексное число по модулю 1 действует как вращение.

Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана или плоскостью Гаусса .

Условные обозначения

Комплексные числа

В комплексном анализе комплексные числа обычно обозначаются символом z , который можно разделить на действительную ( x ) и мнимую ( y ) части:

$$z=x+iy$$

например: z = 4 + 5 i , где x и y — действительные числа, а i — мнимая единица . В этих общепринятых обозначениях комплексное число z соответствует точке ( x , y ) на декартовой плоскости ; точка ( x , y ) также может быть представлена ​​в полярных координатах с помощью:

$${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}$$

В декартовой плоскости можно предположить, что диапазон функции арктангенса принимает значения (−π/2, π/2) (в радианах ), и необходимо уделить некоторое внимание определению более полной функции арктангенса для точек ( x , y ), когда x ≤ 0 . В комплексной плоскости эти полярные координаты принимают вид

$${\begin{aligned}z&=x+iy\\&=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\&=|z|e^{i\theta }\end{aligned}}$$

где

$${\begin{aligned}|z|&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arg(z)\\&={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}\\&=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\end{aligned}}$$

Здесь | г | — абсолютное значение или модуль комплексного числа z ; θ , аргумент z , обычно берется в интервале 0 ≤ θ < 2 π ; и последнее равенство (to | z | e ^iθ ) берется из формулы Эйлера . Без ограничения на диапазон θ аргумент z является многозначным, поскольку комплексная показательная функция является периодической с периодом 2 πi . Таким образом, если θ — одно значение arg( z ) , остальные значения задаются формулой arg( z ) = θ + 2 nπ , где n — любое ненулевое целое число.

Хотя геометрическое представление комплексных чисел редко используется явно, оно неявно основано на его структуре евклидова векторного пространства размерности 2, где скалярное произведение комплексных чисел w и z определяется выражением $\Re (w{\overline {z}})$; тогда для комплексного числа z его абсолютное значение | г | совпадает с его евклидовой нормой, а его аргумент arg( z ) с углом поворота от 1 до z .

Теория контурного интегрирования составляет большую часть комплексного анализа. В этом контексте важно направление движения по замкнутой кривой: изменение направления движения кривой на противоположное умножает значение интеграла на −1 . По соглашению положительное направление — против часовой стрелки. Например, единичная окружность проходится в положительном направлении, когда мы начинаем с точки z = 1 , затем путешествуем вверх и влево через точку z = i , затем вниз и влево через −1 , затем вниз и до направо через − i и, наконец, вверх и вправо до z = 1 , откуда мы начали.

Почти весь комплексный анализ связан со сложными функциями , то есть с функциями, которые отображают некоторое подмножество комплексной плоскости в какое-то другое (возможно, перекрывающееся или даже идентичное) подмножество комплексной плоскости. Здесь принято говорить о области определения f ( z ) как о лежащей в z -плоскости, а область значений f ( z ) — как о наборе точек в w -плоскости. Символами мы пишем

$${\begin{aligned}z&=x+iy\\f(z)&=w\\&=u+iv\end{aligned}}$$

и часто думайте о функции f как о преобразовании z -плоскости (с координатами ( x , y ) ) в w -плоскость (с координатами ( u , v ) ).

Обозначение сложной плоскости

Комплексная плоскость обозначается как $\mathbb {C}$.

Диаграмма Аргана

Геометрическое представление комплексной точки z = x + yi на комплексной плоскости. Расстояние вдоль линии от начала координат до точки z = x + yi — это или абсолютное значение z модуль . Угол θ является аргументом z ​ .

Диаграмма Аргана представляет собой геометрический график комплексных чисел в виде точек z = x + iy с использованием горизонтальной оси x в качестве действительной оси и вертикальной оси y в качестве мнимой оси. Такие участки названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые они были описаны норвежско-датским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). Диаграммы Аргана часто используются для построения положений нулей и полюсов функции на комплексной плоскости.

Стереографические проекции

Основные статьи: сфера Римана и стереографическая проекция

Сфера Римана , которая отображает все точки сферы, кроме одной, во все точки комплексной плоскости.

Может оказаться полезным представить комплексную плоскость так, как если бы она занимала поверхность сферы. Дана сфера единичного радиуса, поместим ее центр в начало комплексной плоскости, ориентированный так, чтобы экватор на сфере совпадал с единичным кругом в плоскости, а северный полюс находился «над» плоскостью.

Мы можем установить взаимно однозначное соответствие между точками на поверхности сферы за вычетом северного полюса и точками на комплексной плоскости следующим образом. Дана точка на плоскости и нарисуйте прямую линию, соединяющую ее с северным полюсом сферы. Эта линия пересечет поверхность сферы ровно в одной точке. Точка z = 0 будет спроецирована на южный полюс сферы. Поскольку внутренняя часть единичного круга находится внутри сферы, вся эта область ( | z | < 1 ) будет отображена на южном полушарии. Сам единичный круг ( | z | = 1 ) будет отображен на экваторе, а внешняя часть единичного круга ( | z | > 1 ) будет отображена на северном полушарии, за вычетом северного полюса. Очевидно, что эта процедура обратима: если взять любую точку на поверхности сферы, не являющуюся северным полюсом, мы можем провести прямую линию, соединяющую эту точку с северным полюсом и пересекающую плоскую плоскость ровно в одной точке.

В этой стереографической проекции сам северный полюс не связан ни с одной точкой комплексной плоскости. Мы совершенствуем взаимно-однозначное соответствие, добавляя к комплексной плоскости еще одну точку – так называемую точку на бесконечности – и отождествляя ее с северным полюсом сферы. Это топологическое пространство, комплексная плоскость плюс бесконечная точка, известно как расширенная комплексная плоскость . Когда мы обсуждаем комплексный анализ, мы говорим об одной «точке бесконечности». есть две точки на бесконечности (положительная и отрицательная) На прямой действительной числовой линии , но на расширенной комплексной плоскости есть только одна точка на бесконечности (северный полюс).

Представьте себе на минутку, что произойдет с линиями широты и долготы, если их спроецировать со сферы на плоскую плоскость. Все линии широты параллельны экватору, поэтому они станут идеальными кругами с центром в начале координат z = 0 . А линии долготы станут прямыми, проходящим через начало координат (а также через «точку в бесконечности», поскольку они проходят как через северный, так и через южный полюс сферы).

Это не единственная возможная, но правдоподобная стереографическая ситуация проекции сферы на плоскость, состоящую из двух и более величин. Например, северный полюс сферы можно поместить поверх начала координат z = −1 в плоскости, касательной к окружности. Детали не имеют особого значения. Любая стереографическая проекция сферы на плоскость создаст одну «точку в бесконечности» и отобразит линии широты и долготы на сфере в круги и прямые линии соответственно на плоскости.

Разрезание плоскости

При обсуждении функций комплексной переменной часто удобно думать о разрезе на комплексной плоскости. Эта идея естественным образом возникает в нескольких различных контекстах.

Многозначные отношения и точки ветвления

Рассмотрим простое двузначное отношение

$$w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}.$$

Прежде чем мы сможем рассматривать эту связь как однозначную функцию , необходимо каким-то образом ограничить диапазон результирующего значения. Когда речь идет о квадратных корнях неотрицательных действительных чисел, это легко сделать. Например, мы можем просто определить

$$y=g(x)={\sqrt {x}}=x^{1/2}$$

быть неотрицательным действительным числом y таким, что y ² = х . Эта идея не так хорошо работает в двумерной комплексной плоскости. Чтобы понять почему, давайте подумаем о том, как значение f ( z ) меняется при движении точки z по единичному кругу. Мы можем написать ${\textstyle z=re^{i\theta }}$ и возьми

$${\begin{aligned}w&=z^{1/2}\\&={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2},\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .\end{aligned}}$$

Очевидно, что когда z движется по всему кругу, w очерчивает только половину круга. Итак, одно непрерывное движение в комплексной плоскости превратило положительный квадратный корень e ⁰ = 1 в отрицательный квадратный корень e ^яπ = −1 .

Эта проблема возникает потому, что точка z = 0 имеет только один квадратный корень, а любое другое комплексное число z ≠ 0 имеет ровно два квадратных корня. На прямой числовой линии мы могли бы обойти эту проблему, воздвигнув «барьер» в единственной точке x = 0 . В комплексной плоскости необходим барьер большего размера, чтобы любой замкнутый контур не мог полностью окружить точку ветвления z = 0 . Обычно это делается путем обрезки ветвей ; в этом случае «разрез» может простираться от точки z = 0 вдоль положительной вещественной оси до точки, находящейся на бесконечности, так что аргумент переменной z в плоскости разреза ограничивается диапазоном 0 ≤ arg( z ) < 2 π .

Теперь мы можем дать полное описание w = z ^1/2 . Для этого нам нужны две копии плоскости z , каждая из которых разрезана по действительной оси. На одной копии мы определяем квадратный корень из 1 как e ⁰ = 1 , а с другой стороны, мы определяем квадратный корень из 1 как e ^яπ = −1 . Мы называем эти две копии полных разрезанных плоских листов . Приведя аргумент непрерывности, мы видим, что (теперь однозначная) функция w = z ^1/2 отображает первый лист в верхнюю половину w -плоскости, где 0 ≤ arg( w ) < π , при этом второй лист отображает в нижнюю половину w -плоскости (где π ≤ arg( w ) < 2 π ) .

Разрез ветки в этом примере не обязательно должен лежать вдоль действительной оси; это даже не обязательно должна быть прямая линия. любая непрерывная кривая, соединяющая начало координат z = 0 Подойдет с точкой на бесконечности. В некоторых случаях срез ветки даже не обязательно должен проходить через точку, находящуюся на бесконечности. Например, рассмотрим отношения

$$w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2}.$$

Здесь полином z ² − 1 исчезает, когда z = ±1 , поэтому очевидно, что g имеет две точки ветвления. Мы можем «разрезать» плоскость по действительной оси, от −1 до 1 , и получить лист, на котором g ( z ) является однозначной функцией. Альтернативно, разрез может проходить от z = 1 вдоль положительной вещественной оси через точку на бесконечности, а затем продолжить «вверх» по отрицательной вещественной оси до другой точки ветвления, z = −1 .

Эту ситуацию легче всего визуализировать с помощью описанной выше стереографической проекции . На сфере один из этих разрезов проходит через южное полушарие в продольном направлении, соединяя точку на экваторе ( z = −1 ) с другой точкой на экваторе ( z = 1 ) и проходя через южный полюс (начало координат z = 0 ) в пути. Второй вариант разреза проходит в продольном направлении через северное полушарие и соединяет те же две экваториальные точки, проходя через северный полюс (то есть точку, находящуюся на бесконечности).

Ограничение области применения мероморфных функций

Мероморфная функция — это комплексная функция, которая голоморфна и, следовательно, аналитична всюду в своей области определения, за исключением конечного или счетного числа точек. Точки, в которых такая функция не может быть определена, называются полюсами мероморфной функции. Иногда все эти полюса лежат на одной прямой. В этом случае математики могут сказать, что функция «голоморфна на плоскости сечения». На примере:

Гамма -функция , определяемая формулой

$$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\right]$$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони и имеет простые полюса в точках 0, −1, −2, −3, ... потому что ровно один знаменатель в бесконечном произведении обращается в нуль, когда z = 0 или отрицательное целое число. Поскольку все ее полюса лежат на отрицательной вещественной оси, от z = 0 до точки на бесконечности, эту функцию можно было бы описать как «голоморфную на плоскости сечения, причем разрез простирается вдоль отрицательной вещественной оси от 0 (включительно) до точка в бесконечности».

Альтернативно, Γ( z ) можно было бы описать как «голоморфную в плоскости сечения с − π < arg( z ) < π и исключающую точку z = 0 ».

Этот разрез немного отличается от разреза ветвления , с которым мы уже столкнулись, поскольку он фактически исключает отрицательную действительную ось из плоскости разреза. Разрез ветки оставил действительную ось, соединенную с плоскостью сечения с одной стороны (0 ≤ θ ) , но отделил ее от плоскости сечения с другой стороны ( θ < 2π ) .

Конечно, на самом деле нет необходимости исключать весь отрезок от z = 0 до −∞ , чтобы построить область, в которой Γ( z ) голоморфна. Все, что нам действительно нужно сделать, это проколоть плоскость в счетном множестве точек {0, −1, −2, −3, ...} . Но замкнутый контур в проколотой плоскости может окружать один или несколько полюсов Γ( z ) , давая контурный интеграл , который не обязательно равен нулю, согласно теореме о вычетах . Разрезание комплексной плоскости гарантирует не только то, что Γ( z ) голоморфно в этой ограниченной области, но и то, что контурный интеграл гамма-функции по любой замкнутой кривой, лежащей в плоскости разреза, тождественно равен нулю.

Указание регионов конвергенции

Многие сложные функции определяются бесконечными рядами или цепными дробями . Фундаментальным соображением при анализе этих бесконечно длинных выражений является определение части комплексной плоскости, в которой они сходятся к конечному значению. Разрез в плоскости может облегчить этот процесс, как показывают следующие примеры.

Рассмотрим функцию, определяемую бесконечным рядом

$$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.$$

Потому что з ² знак равно (- z ) ² для каждого комплексного числа z ясно, что f ( z ) является четной функцией от z , поэтому анализ можно ограничить одной половиной комплексной плоскости. И поскольку ряд не определен, когда

$$z^{2}+n=0\quad \iff \quad z=\pm i{\sqrt {n}},$$

имеет смысл разрезать плоскость вдоль всей мнимой оси и установить сходимость этого ряда, где действительная часть z не равна нулю, прежде чем приступить к более трудной задаче исследования f ( z ) , когда z — чисто мнимое число.

В этом примере разрез является просто удобством, поскольку точки, в которых бесконечная сумма не определена, изолированы, и плоскость разреза можно заменить плоскостью, проколотой подходящим образом . В некоторых случаях сокращение необходимо, а не просто удобно. Рассмотрим бесконечную периодическую цепную дробь

$$f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}.$$

Можно показать , что f ( z ) сходится к конечному значению, если z не является отрицательным действительным числом таким, что z < - 1 ⁄ 4 . Другими словами, областью сходимости этой цепной дроби является плоскость разреза, где разрез проходит вдоль отрицательной вещественной оси, от — 1 ⁄ 4 до бесконечности.

Склеиваем разрезанную плоскость обратно

Основная статья: Риманова поверхность

Мы уже видели, как связаны отношения

$$w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}$$

можно превратить в однозначную функцию, разбив область определения f на два несвязанных листа. Также возможно «склеить» эти два листа обратно вместе, чтобы сформировать единую риманову поверхность , на которой f ( z ) = z ^1/2 можно определить как голоморфную функцию, образом которой является вся w -плоскость (кроме точки w = 0 ). Вот как это работает.

Представьте себе две копии разрезаемой комплексной плоскости, разрезы простираются вдоль положительной действительной оси от z = 0 до точки на бесконечности. На одном листе определим 0 ≤ arg( z ) < 2 π , так что 1 ^1/2 = и ⁰ = 1 по определению. На втором листе определим 2 π ≤ arg( z ) < 4 π , так что 1 ^1/2 = и ^яπ = −1 , опять же по определению. Теперь переверните второй лист вверх дном так, чтобы воображаемая ось указывала в направлении, противоположном воображаемой оси первого листа, при этом обе действительные оси были направлены в одном направлении, и «склейте» два листа вместе (так, чтобы край на первый лист с меткой « θ = 0 » соединен с ребром с меткой « θ < 4 π » на втором листе, а ребро на втором листе с меткой « θ = 2 π » соединено с ребром с меткой « θ < 2». π » на первом листе). В результате получается область римановой поверхности, на которой f ( z ) = z ^1/2 является однозначным и голоморфным (за исключением случаев, когда z = 0 ).

Чтобы понять, почему f является однозначным в этой области, представьте себе контур вокруг единичной окружности, начиная с z = 1 на первом листе. Когда 0 ≤ θ < 2 π, мы все еще находимся на первом листе. Когда θ = 2 π , мы перешли на второй лист и должны сделать второй полный обход вокруг точки ветвления z = 0, прежде чем вернуться в нашу исходную точку, где θ = 4 π эквивалентно θ = 0 , потому что о том, как мы склеили два листа вместе. Другими словами, поскольку переменная z делает два полных оборота вокруг точки ветвления, образ z в w -плоскости очерчивает только одну полную окружность.

Формальное дифференцирование показывает, что

$$f(z)=z^{1/2}\quad \Rightarrow \quad f'(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1/2}$$

откуда мы можем заключить, что производная f существует и конечна всюду на римановой поверхности, кроме случаев, когда z = 0 (т. е. f голоморфна, за исключением случаев, когда z = 0 ).

Как можно определить риманову поверхность для функции

$$w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2},$$

также обсуждалось выше , быть построенным? Мы снова начинаем с двух копий z - плоскости, но на этот раз каждая из них разрезается по реальному отрезку, простирающемуся от z = −1 до z = 1 – это две точки ветвления g ( z ) . Мы переворачиваем один из них вверх дном так, чтобы две воображаемые оси были направлены в противоположные стороны, и склеиваем соответствующие края двух разрезанных листов вместе. Мы можем убедиться, что g является однозначной функцией на этой поверхности, проследив контур вокруг круга единичного радиуса с центром в точке z = 1 . Начиная с точки z = 2 на первом листе, мы поворачиваем половину круга, прежде чем встретить разрез в точке z = 0 . Разрез вынуждает нас перейти на второй лист, так что, когда z сделал один полный оборот вокруг точки ветвления z = 1 , w сделал только половину полного оборота, знак w изменился (потому что e ^яπ = −1 ), и наш путь привел нас к точке z = 2 на втором листе поверхности. Продолжая еще пол-оборота, мы встречаем другую сторону разреза, где z = 0 , и, наконец, достигаем нашей начальной точки ( z = 2 на первом листе), сделав два полных оборота вокруг точки ветвления.

Естественный способ обозначить θ = arg( z ) в этом примере — установить − π < θ ≤ π на первом листе, при этом π < θ ≤ 3 π на втором. Воображаемые оси на двух листах направлены в противоположные стороны, так что направление положительного вращения против часовой стрелки сохраняется при перемещении замкнутого контура с одного листа на другой (помните, второй лист перевернут ) . Представьте себе эту поверхность, встроенную в трехмерное пространство, где оба листа параллельны плоскости xy . Затем на поверхности появляется вертикальное отверстие, где два разреза соединяются вместе. Что, если разрез будет сделан от z = −1 вниз по действительной оси до точки, находящейся на бесконечности, и от z = 1 вверх по действительной оси, пока разрез не встретится сам с собой? Снова можно построить риманову поверхность, но на этот раз «дырка» горизонтальна. С топологической точки зрения обе версии этой римановой поверхности эквивалентны – они представляют собой ориентируемые двумерные поверхности рода один.

теории

Смотрите также: Комплексное число § Теория управления

В теории управления одно из применений комплексной плоскости известно как s-плоскость . Он используется для графической визуализации корней уравнения, описывающего поведение системы (характеристическое уравнение). Уравнение обычно выражается в виде многочлена от параметра s , преобразования Лапласа отсюда и название s -плоскость. Точки в s-плоскости принимают форму s = σ + jω , где ' j ' используется вместо обычного ' i ' для обозначения мнимой составляющей (переменная ' i ' часто используется для обозначения электрического тока в инженерных контекстах) .

Другое связанное использование комплексной плоскости связано с критерием устойчивости Найквиста . Это геометрический принцип, который позволяет определять стабильность системы с обратной связью с обратной связью путем проверки графика Найквиста ее величины и фазовой характеристики в разомкнутом контуре как функции частоты (или передаточной функции контура ) в комплексной плоскости.

Z - плоскость представляет собой плоскости с дискретным временем версию s- , где z -преобразования вместо преобразования Лапласа используются .

Квадратичные пространства

Комплексная плоскость связана с двумя различными квадратичными пространствами . Для точки z = x + iy на комплексной плоскости квадратичная функция z ² и квадрат нормы x ² + и ² обе квадратичные формы . Первым часто пренебрегают после использования второго для задания метрики на комплексной плоскости. Эти отдельные грани комплексной плоскости как квадратичного пространства возникают при построении алгебр над полем с процессом Кэли-Диксона . Эту процедуру можно применить к любому полю , и для полей R и C получаются разные результаты : когда R является взлетным полем, тогда C строится с помощью квадратичной формы x. ² + и ² , но процесс также может начинаться с C и z ² , и этот случай порождает алгебры, отличные от алгебр, полученных из R . В любом случае генерируемые алгебры являются композиционными алгебрами ; в этом случае комплексная плоскость является множеством точек для двух различных композиционных алгебр.

Другие значения слова «сложная плоскость»

Предыдущие разделы этой статьи посвящены комплексной плоскости с точки зрения геометрического представления комплексных чисел. Хотя использование термина «комплексная плоскость» имеет долгую и богатую с математической точки зрения историю, это ни в коем случае не единственное математическое понятие, которое можно охарактеризовать как «комплексная плоскость». Есть как минимум три дополнительных возможности.

1. Двумерное комплексное векторное пространство, «комплексная плоскость» в том смысле, что это двумерное векторное пространство, координаты которого являются комплексными числами . См. также: Комплексное аффинное пространство § Два измерения .
2. (1 + 1) -мерное пространство Минковского , также известное как расщепленно-комплексная плоскость , представляет собой «комплексную плоскость» в том смысле, что алгебраические расщепленно-комплексные числа могут быть разделены на две действительные компоненты, которые легко сопоставляются с точкой ( x , y ) в декартовой плоскости.
3. Набор двойственных чисел над действительными числами также может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие точкам ( x , y ) декартовой плоскости и представлять собой еще один пример «комплексной плоскости».

См. также

Фрактал Мандельброта , изображенный на сложной плоскости.

• Комплексное координатное пространство
• Сложная геометрия
• Сложная линия
• Диаграмма созвездия
• Сфера Римана , представляющая собой расширенную комплексную плоскость.
• S-плоскость
• Синфазные и квадратурные составляющие
• Реальная линия

Ссылки

Цитируемые работы

• Фланиган, Фрэнсис Дж. (1983). Комплексные переменные: гармонические и аналитические функции . Дувр. ISBN  0-486-61388-7 .
• Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной . Прентис-Холл.
• Уолл, HS (1948). Аналитическая теория цепных дробей . Компания Д. Ван Ностранда. Перепечатано (1973) издательством Chelsea Publishing Company. ISBN   0-8284-0207-8 .
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (Четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• Жан-Робер Арган, « Очерк о способах представления мнимых величин в геометрических конструкциях », 1806 г., онлайн и проанализирован на BibNum [для английской версии нажмите « чтобы скачать »]