Квадратичная форма

Чтобы узнать об использовании в статистике, см. Квадратичная форма (статистика) .

В математике квадратичная форма — это многочлен , все члены которого имеют степень два (« форма » — другое название однородного многочлена ). Например,

$$4x^{2}+2xy-3y^{2}$$

является квадратичной формой от переменных x и y . Коэффициенты обычно принадлежат фиксированному полю K , такому как действительные или комплексные числа, и говорят о квадратичной форме K. над Если K = R и квадратичная форма равна нулю только тогда, когда все переменные одновременно равны нулю, то это определенная квадратичная форма ; в противном случае это изотропная квадратичная форма .

Квадратичные формы занимают центральное место в различных разделах математики, включая теорию чисел , линейную алгебру , теорию групп ( ортогональные группы ), дифференциальную геометрию риманова метрика , вторая фундаментальная форма ), дифференциальную топологию ( формы пересечения многообразий ( , особенно четырёх- многообразия ), теория Ли ( форма Киллинга ) и статистика (где показатель многомерного нормального распределения с нулевым средним имеет квадратичную форму $-\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x}$)

Квадратные формы не следует путать с квадратным уравнением , которое имеет только одну переменную и включает члены степени два или меньше. Квадратичная форма — это один из случаев более общего понятия однородных многочленов .

Введение

Квадратичные формы — это однородные квадратичные многочлены от n переменных. В случае одной, двух и трех переменных они называются унарными , бинарными и троичными и имеют следующий явный вид:

$${\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unary)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binary)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternary)}}\end{aligned}}$$

где a ,..., f – коэффициенты .

Теория квадратичных форм и методы, используемые при их исследовании, во многом зависят от природы коэффициентов, которые могут быть действительными или комплексными числами , рациональными числами или целыми числами . В линейной алгебре , аналитической геометрии и в большинстве приложений квадратичных форм коэффициенты являются действительными или комплексными числами. В алгебраической теории квадратичных форм коэффициенты являются элементами некоторого поля . В арифметической теории квадратичных форм коэффициенты принадлежат фиксированному коммутативному кольцу , часто это целые числа Z или p -адические целые числа Z _p . Бинарные квадратичные формы широко изучаются в теории чисел , в частности, в теории квадратичных полей , цепных дробей и модулярных форм . Теория целых квадратичных форм от п переменных имеет важные приложения к алгебраической топологии .

Используя однородные координаты , ненулевая квадратичная форма от n переменных определяет ( n −2) -мерную квадрику в ( n −1) -мерном проективном пространстве . Это основная конструкция проективной геометрии . Таким образом, можно визуализировать трехмерные действительные квадратичные формы как конические сечения .Примером может служить трехмерное евклидово пространство и квадрат евклидовой нормы, выражающий расстояние между точкой с координатами ( x , y , z ) и началом координат:

$$q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$$

Близкое понятие с геометрическим подтекстом — это квадратичное пространство , которое представляет собой пару ( V , q ) , где V — пространство над полем K , а q : V → K — квадратичная форма на V. векторное См. § Определения ниже для определения квадратичной формы в векторном пространстве.

История

Изучение квадратичных форм, в частности вопрос о том, может ли данное целое число быть значением квадратичной формы над целыми числами, насчитывает много столетий. Одним из таких случаев является теорема Ферма о суммах двух квадратов , которая определяет, когда целое число может быть выражено в форме x. ² + и ² , где x , y — целые числа. Эта проблема связана с проблемой поиска пифагорейских троек , появившейся во втором тысячелетии до нашей эры.

В 628 году индийский математик Брахмагупта написал «Брахмаспхутасиддханту» , включающую, среди прочего, исследование уравнений вида x ² - ​ ² = с . Он рассмотрел то, что сейчас называется уравнением Пелла , x ² - ​ ² = 1 и нашел способ ее решения. В Европе эту проблему изучали Броункер , Эйлер и Лагранж .

В 1801 Гаусс опубликовал «Disquisitiones Arithmeticae» , большая часть которых была посвящена полной теории бинарных квадратичных форм над целыми числами . С тех пор концепция была обобщена, а связи с полями квадратичных чисел , модулярной группой и другими областями математики получили дальнейшее объяснение.

Связанная симметричная матрица

Любая размера n × n матрица A определяет квадратичную форму q _A от n переменных по формуле

$$q_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,$$

где А знак равно ( а _ij ) .

Пример

Рассмотрим случай квадратичных форм от трех переменных x , y , z . Матрица А имеет вид

$$A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.$$

Приведенная выше формула дает

$$q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.$$

Итак, две разные матрицы определяют одну и ту же квадратичную форму тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементы на диагонали и одинаковые значения сумм b + d , c + g и f + h . В частности, квадратичная форма q _A определяется единственной симметричной матрицей

$$A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.$$

Это обобщается на любое количество переменных следующим образом.

Общий случай

Учитывая квадратичную форму q _A , определенную матрицей A = ( a _ij ) ,матрица

$$B=\left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)$$

симметрична A , определяет ту же квадратичную форму, что и , и является уникальной симметричной матрицей, которая q _A. определяет

Итак, над действительными числами (и, шире, над полем характеристики , отличной от двух) существует взаимно-однозначное соответствие между квадратичными формами и симметричными матрицами определяющими их .

квадратичные

См. также: Закон инерции Сильвестра , Определенная квадратичная форма и Изотропная квадратичная форма.

Фундаментальной проблемой является классификация вещественных квадратичных форм при линейной замене переменных .

Якоби доказал, что для каждой вещественной квадратичной формы существует ортогональная диагонализация ; то есть ортогональная замена переменных , которая переводит квадратичную форму в « диагональную форму ».

$$\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},$$

где соответствующая симметричная матрица является диагональной . При этом коэффициенты λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n определяются однозначно с до перестановки точностью .

Если замена переменных задается обратимой матрицей , которая не обязательно ортогональна, можно предположить, что все коэффициенты λ _i равны 0, 1 или -1. Закон инерции Сильвестра гласит, что числа 0, 1 и -1 являются инвариантами квадратичной формы в том смысле, что любая другая диагонализация будет содержать одинаковое количество каждого из них. Сигнатурой − квадратичной формы является тройка ( n ₀ , n ₊ , n _{, где эти} ) компоненты подсчитывают количество нулей, количество единиц и количество -1 соответственно. Закон инерции Сильвестра показывает, что это вполне определенная величина, привязанная к квадратичной форме.

Особенно важен случай, когда все λ _i имеют один и тот же знак: в этом случае квадратичная форма называется положительно определенной (все 1) или отрицательно определенной (все −1). Если ни один из членов не равен 0, то форма называется невырожденный ; сюда входят положительно определенная, отрицательно определенная и изотропная квадратичная форма (смесь 1 и -1); эквивалентно, невырожденная квадратичная форма — это форма, связанная с которой симметричная форма является невырожденной билинейной формой . Вещественное векторное пространство с неопределенной невырожденной квадратичной формой индекса ( p , q ) (обозначающее p1s и q −1s) часто обозначается как R ^{п , д} особенно в физической теории пространства-времени .

Дискриминант квадратичной формы , точнее класс определителя представляющей матрицы в K /( K ^× ) ² (вплоть до ненулевых квадратов) также могут быть определены, и для действительной квадратичной формы это более грубый инвариант, чем сигнатура, принимающая только «положительные, нулевые или отрицательные значения». Ноль соответствует вырожденной форме, а для невырожденной формы - это четность числа отрицательных коэффициентов (−1). ^{п _-} .

Ниже эти результаты переформулированы по-другому.

Пусть q — квадратичная форма, определенная в n -мерном вещественном векторном пространстве. Пусть A — матрица квадратичной формы q в данном базисе. Это означает, что A — симметричная матрица размера n × n такая, что

$$q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,$$

где x — вектор-столбец координат v в выбранном базисе. При смене базиса столбец x умножается слева на размера n × n обратимую матрицу S , а симметричная квадратная матрица A преобразуется в другую симметричную квадратную матрицу B того же размера по формуле

$$A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.$$

Любую симметричную матрицу A можно преобразовать в диагональную матрицу.

$$B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$$

подходящим выбором ортогональной матрицы S и диагональные элементы B определяются однозначно – это теорема Якоби. Если S разрешено быть любой обратимой матрицей, то можно сделать так, чтобы B имела только 0, 1 и -1 на диагонали, а количество элементов каждого типа ( n ₀ для 0, n ₊ для 1 и n ₋ зависит только от A. для −1 ) Это одна из формулировок закона инерции Сильвестра, а числа n ₊ и n ₋ называются положительным и отрицательным индексами инерции . Хотя их определение включало выбор базиса и рассмотрение соответствующей вещественной симметричной матрицы A , закон инерции Сильвестра означает, что они являются инвариантами квадратичной формы q .

Квадратичная форма q является положительно определенной, если q ( v ) > 0 (аналогично, отрицательно определенной, если q ( v ) < 0 ) для каждого ненулевого вектора v . Когда q ( v ) принимает как положительные, так и отрицательные значения, q является изотропной квадратичной формой . Теоремы Якоби и Сильвестра показывают, что любую положительно определенную квадратичную форму от n переменных можно привести к сумме n квадратов подходящим обратимым линейным преобразованием: геометрически существует только одна положительно определенная вещественная квадратичная форма каждого измерения. Его группа изометрий представляет собой компактную ортогональную группу O( n ) . Это контрастирует со случаем изотропных форм, когда соответствующая группа, неопределенная ортогональная группа O( p , q ) , некомпактна. Кроме того, группы изометрий Q и − Q одни и те же ( O( p , q ) ≈ O( q , p )) , но ассоциированные алгебры Клиффорда (и, следовательно, группы булавок ) различны.

Определения

Квадратичная форма над полем K — это отображение q : V → K из конечномерного K -векторного пространства в K такое, что q ( av ) = a ² q ( ​​v ) для всех a ∈ K , v ∈ V и функция q ( u + v ) − q ( u ) − q ( v ) билинейна.

Более конкретно, n -арная квадратичная форма над полем K — это однородный многочлен степени 2 от n переменных с коэффициентами из K :

$$q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.$$

Эту формулу можно переписать с использованием матриц: пусть x будет вектор-столбцом с компонентами x ₁ , ..., x _n и A = ( a _ij ) будет матрицей размера n × n над K, элементы которой являются коэффициентами q . Затем

$$q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.$$

Вектор v = ( x ₁ , ..., x _n ) является нулевым вектором, если q ( v ) = 0 .

Две n -арные квадратичные формы φ и ψ над K эквивалентны , если существует неособое линейное преобразование C ∈ GL ( n , K ) такое, что

$$\psi (x)=\varphi (Cx).$$

Пусть характеристика К . отлична от 2 Матрица коэффициентов A для q может быть заменена симметричной матрицей ( A + A ^Т )/2 с той же квадратичной формой, поэтому можно с самого начала предположить, что A симметрично. При этом симметричная матрица A однозначно определяется соответствующей квадратичной формой. При эквивалентности C симметричная матрица φ ​​и связаны симметричная матрица ψ B A следующим образом:

$$B=C^{\mathsf {T}}AC.$$

Соответствующая билинейная форма квадратичной формы q определяется формулой

$$b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.$$

Таким образом, b _q — симметричная билинейная форма над K с A. матрицей Обратно, любая симметричная билинейная форма b определяет квадратичную форму

$$q(x)=b(x,x),$$

и эти два процесса являются обратными друг другу. Как следствие, над полем характеристики, не равной 2, теории симметричных билинейных форм и квадратичных форм от n переменных по существу совпадают.

Квадратичное пространство

Смотрите также: Билинейная форма § Связанная квадратичная форма

Для данного n -мерного векторного пространства V над полем K квадратичная форма на V — это функция Q : V → K , которая обладает следующим свойством: для некоторого базиса функция q , отображающая координаты v ∈ V в Q ( v ) — квадратичная форма. В частности, если V = K ^н с его стандартным базисом , мы имеем

$$q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.$$

Формулы замены базиса показывают, что свойство быть квадратичной формой не зависит от выбора конкретного базиса в V , хотя квадратичная форма q зависит от выбора базиса.

Конечномерное векторное пространство с квадратичной формой называется квадратичным пространством .

Отображение Q является однородной функцией степени 2, что означает, что оно обладает тем свойством, что для всех a в K и v в V :

$$Q(av)=a^{2}Q(v).$$

Когда характеристика K билинейное отображение B : V × V → K над K не равна 2, определяется :

$$B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).$$

Эта билинейная форма B симметрична. То есть B ( x , y ) = B ( y , x ) для всех x , y в V , и это определяет Q : Q ( x ) = B ( x , x ) для всех x в V .

Когда характеристика K равна 2, так что 2 не является единицей , все еще возможно использовать квадратичную форму для определения симметричной билинейной формы B ′( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) - Q ( у ) . Однако Q ( x ) уже нельзя восстановить из этого B ′ таким же способом, поскольку B ′( x , x ) = 0 для всех x (и, таким образом, является чередующимся). Альтернативно, всегда существует билинейная форма B ″ (вообще говоря, не единственная и не симметричная) такая, что B ″( x , x ) = Q ( x ) .

Пара ( V , Q ), состоящая из конечномерного векторного пространства V над K и квадратичного отображения Q из V в K, называется квадратичным пространством , а B, определено здесь, является ассоциированной симметричной билинейной формой Q. как Понятие квадратичного пространства представляет собой бескоординатную версию понятия квадратичной формы. Иногда Q также называют квадратичной формой.

Два n -мерных квадратичных пространства ( V , Q ) и ( V ′, Q ′) изометричны , если существует обратимое линейное преобразование T : V → V ′ ( изометрия ) такое, что

$$Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V.$$

Классы изометрии n -мерных квадратичных пространств над K соответствуют классам эквивалентности n арных квадратичных форм над K. -

Обобщение

Пусть R — коммутативное кольцо , M — R - модуль и b : M × M → R - билинейная — R форма. Отображение q : M → R : v ↦ b ( v , v ) является ассоциированной квадратичной формой b , и B : M × M → R : ( u , v ) ↦ q ( u + v ) - q ( u ) - q ( v ) является формой q . полярной

Квадратичная форма q : M → R может быть охарактеризована следующими эквивалентными способами:

• Существует R -билинейная форма b : M × M → R такая, что q ( v ) — ассоциированная квадратичная форма.
• q ( из ) = а ² q ( v ) для всех a ∈ R и v ∈ M , а полярная форма q - билинейна R .

Связанные понятия

Смотрите также: Изотропная квадратичная форма

Два элемента v и w из V называются ортогональными, если B ( v , w ) = 0 . Ядро B билинейной формы состоит из элементов, ортогональных каждому элементу V . Q несингулярен , если ядро ​​связанной с ним билинейной формы равно {0} . Если существует ненулевое v в V такое, что Q ( v ) = 0 , квадратичная форма Q изотропна , в противном случае она определена . Эта терминология также применима к векторам и подпространствам квадратичного пространства. Если ограничение Q на подпространство U в V тождественно равно нулю, то U вполне сингулярно .

Ортогональная группа неособой квадратичной формы Q — это группа линейных автоморфизмов V , сохраняющих Q : то есть группа изометрий ( V , Q ) в себя.

Если квадратичное пространство ( A , Q ) имеет произведение так, что A является алгеброй над полем и удовлетворяет условиям

$$\forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),$$

тогда это композиционная алгебра .

Эквивалентность форм

Любая квадратичная форма q от n переменных над полем характеристики, не равной 2, эквивалентна диагональной форме

$$q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$$

Такую диагональную форму часто обозначают ⟨ a ₁ , ... an _, ⟩ .Таким образом, классификацию всех квадратичных форм с точностью до эквивалентности можно свести к случаю диагональных форм.

Геометрический смысл

Используя декартовы координаты в трех измерениях, пусть x = ( x , y , z ) ^Т и пусть A будет симметричной матрицей 3х3. Тогда геометрическая природа множества решений уравнения x ^Т А х + б ^Т x = 1 собственных значений матрицы A. зависит от

Если все собственные значения не A равны нулю, то множество решений представляет собой эллипсоид или гиперболоид . Если все собственные значения положительны, то это эллипсоид; если все собственные значения отрицательны, то это мнимый эллипсоид (получаем уравнение эллипсоида, но с мнимыми радиусами); если некоторые собственные значения положительны, а некоторые отрицательны, то это гиперболоид.

Если существуют одно или несколько собственных значений λ _i = 0 , то форма зависит от соответствующего b _i . Если соответствующий b _i ≠ 0 , то множество решений представляет собой параболоид (эллиптический или гиперболический); если соответствующее b _i = 0 , то размерность i вырождается и не играет роли, а геометрический смысл будет определяться другими собственными значениями и другими компонентами b . Когда множество решений представляет собой параболоид, то, является ли оно эллиптическим или гиперболическим, определяется тем, имеют ли все остальные ненулевые собственные значения одного и того же знака: если они есть, то оно эллиптическое; в противном случае оно является гиперболическим.

квадратичные

Квадратичные формы над кольцом целых чисел называются целыми квадратичными формами , тогда как соответствующие модули являются квадратичными решетками (иногда просто решетками ). Они играют важную роль в теории чисел и топологии .

Целочисленная квадратичная форма имеет целые коэффициенты, такие как x ² + ху + у ² ; эквивалентно, учитывая решетку Λ в векторном пространстве V (над полем с характеристикой 0, таким как Q или R ), квадратичная форма Q является целой относительно Λ тогда и только тогда, когда она целочисленна на Λ , что означает Q ( Икс , y ) ∈ Z , если Икс , y ∈ Λ .

Это текущее использование термина; в прошлом его иногда использовали по-другому, как подробно описано ниже.

использование

Исторически существовала некоторая путаница и разногласия по поводу того, должно ли понятие целой квадратичной формы означать:

двойки в

квадратичная форма, связанная с симметричной матрицей с целыми коэффициентами

двойки

многочлен с целыми коэффициентами (поэтому соответствующая симметричная матрица может иметь полуцелые коэффициенты вне диагонали)

Эти дебаты возникли из-за путаницы квадратичных форм (представленных полиномами) и симметричных билинейных форм (представленных матрицами), а «двойка» теперь является общепринятым соглашением; Вместо этого «двойки в» - это теория целочисленных симметричных билинейных форм (целочисленных симметричных матриц).

В «двойках» бинарные квадратичные формы имеют вид ax. ² + 2 bxy + cy ² , представленный симметричной матрицей

$${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$$

Это соглашение, которое Гаусс использует в Disquisitiones Arithmeticae .

В «двойке» бинарные квадратичные формы имеют вид ax. ² + bxy + cy ² , представленный симметричной матрицей

$${\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.$$

Несколько точек зрения означают, что двойка была принята в качестве стандартного соглашения. К ним относятся:

• лучшее понимание 2-адической теории квадратичных форм, «локального» источника трудностей;
• решеточная точка зрения, которая в целом была принята экспертами по арифметике квадратичных форм в 1950-х годах;
• актуальные потребности в целой теории квадратичных форм в топологии для теории пересечений ;
• группа Ли и аспекты алгебраической группы .

Универсальные квадратичные формы

Целочисленную квадратичную форму, образ которой состоит из всех натуральных чисел, иногда называют универсальной . Теорема Лагранжа о четырех квадратах показывает, что w ² + х ² + и ² + я ² является универсальным. Рамануджан обобщил это ² + бх ² + с ² + дел ² и нашел 54 мультимножества { a , b , c , d } , каждое из которых может генерировать все положительные целые числа, а именно:

• {1, 1, 1, d }, 1 ≤ d ≤ 7
• {1, 1, 2, d }, 2 ≤ d ≤ 14
• {1, 1, 3, d }, 3 ≤ d ≤ 6
• {1, 2, 2, d }, 2 ≤ d ≤ 7
• {1, 2, 3, d }, 3 ≤ d ≤ 10
• {1, 2, 4, d }, 4 ≤ d ≤ 14
• {1, 2, 5, d }, 6 ≤ d ≤ 10

Существуют также формы, образ которых состоит только из целых положительных чисел, кроме одного. Например, {1, 2, 5, 5} имеет 15 в качестве исключения. Недавно теоремы 15 и 290 полностью охарактеризовали универсальные целочисленные квадратичные формы: если все коэффициенты являются целыми числами, то они представляют все положительные целые числа тогда и только тогда, когда они представляют все целые числа до 290; если у него есть целая матрица, он представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда он представляет все целые числа до 15.

См. также

• ε -квадратичная форма
• Кубическая форма
• Дискриминант квадратичной формы
• Теорема Хассе-Минковского
• Квадрик
• Тернарная квадратичная форма Рамануджана
• Квадратный класс
• Группа Витта
• Теорема Витта

Ссылки

• О'Мира, ОТ (2000), Введение в квадратичные формы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-66564-9
• Конвей, Джон Хортон ; Фунг, Фрэнсис Ю.К. (1997), Чувственная (квадратическая) форма , Математические монографии Каруса, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-030-5
• Шафаревич, ИР ; Ремизов, АО (2012). Линейная алгебра и геометрия . Спрингер . ISBN  978-3-642-30993-9 .

Дальнейшее чтение

• Кассельс, JWS (1978). Рациональные квадратичные формы . Монографии Лондонского математического общества. Том. 13. Академическая пресса . ISBN  0-12-163260-1 . Збл   0395.10029 .
• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. Том. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-40475-4 . Збл   0785.11021 .
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество . ISBN  0-8218-1095-2 . МР   2104929 . Збл   1068.11023 .
• Милнор, Дж .; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области . Том 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN  3-540-06009-Х . Збл   0292.10016 .
• О'Мира, О.Т. (1973). Введение в квадратичные формы . Основные положения математических наук. Том 117. Шпрингер-Верлаг . ISBN  3-540-66564-1 . Збл   0259.10018 .
• Пфистер, Альбрехт (1995). Квадратичные формы с приложениями к алгебраической геометрии и топологии . Серия конспектов лекций Лондонского математического общества. Том. 217. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-46755-1 . Збл   0847.11014 .

Внешние ссылки

• А.В.Малышев (2001) [1994], «Квадратичная форма» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• А.В.Малышев (2001) [1994], «Бинарная квадратичная форма» , Энциклопедия Математики , EMS Press