Квадратичная форма

В математике квадратичная форма — это многочлен , все члены которого имеют степень два (« форма » — другое название однородного многочлена ). Например,

4x^{2}+2xy-3y^{2}

является квадратичной формой от переменных $x$ и $y$ . Коэффициенты обычно принадлежат фиксированному полю $K$ , такому как или комплексные числа , и говорят о квадратичной форме над $K.$ действительные Если $K = R$ и квадратичная форма равна нулю только тогда, когда все переменные одновременно равны нулю, то это определенная квадратичная форма ; в противном случае это изотропная квадратичная форма .

Квадратичные формы занимают центральное место в различных разделах математики, включая теорию чисел , линейную алгебру , теорию групп ( ортогональные группы ), дифференциальную геометрию ( риманова метрика , вторая фундаментальная форма ), дифференциальную топологию ( формы пересечения многообразий , особенно четырёх- многообразия ), теория Ли ( форма Киллинга ) и статистика (где показатель многомерного нормального распределения с нулевым средним имеет квадратичную форму $-\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x}$ )

Квадратные формы не следует путать с квадратным уравнением , которое имеет только одну переменную и включает члены степени два или меньше. Квадратичная форма — это один из случаев более общего понятия однородных многочленов .

Введение [ править ]

Квадратичные формы — это однородные квадратичные многочлены от $n$ переменных. В случае одной, двух и трех переменных они называются унарными , бинарными и троичными и имеют следующий явный вид:

{\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unary)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binary)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternary)}}\end{aligned}}

где $a$ ,..., $f$ — коэффициенты . ^[1]

Теория квадратичных форм и методы, используемые при их изучении, во многом зависят от природы коэффициентов, которые могут быть действительными или комплексными числами , рациональными числами или целыми числами . В линейной алгебре , аналитической геометрии и в большинстве приложений квадратичных форм коэффициенты являются действительными или комплексными числами. В алгебраической теории квадратичных форм коэффициенты являются элементами некоторого поля . В арифметической теории квадратичных форм коэффициенты принадлежат фиксированному коммутативному кольцу , часто это целые числа $Z$ или $p$ -адические целые числа $Z p$ . ^[2] Бинарные квадратичные формы широко изучаются в теории чисел , в частности, в теории квадратичных полей , цепных дробей и модулярных форм . Теория целых квадратичных форм от $п$ переменных имеет важные приложения к алгебраической топологии .

Используя однородные координаты , ненулевая квадратичная форма от $n$ переменных определяет $(n -2)$ -мерную квадрику в $(n -1)$ -мерном проективном пространстве . Это основная конструкция проективной геометрии . Таким образом, можно визуализировать трехмерные действительные квадратичные формы как конические сечения . Примером может служить трехмерное евклидово пространство и квадрат евклидовой нормы , выражающий расстояние между точкой с координатами $(x, y, z)$ и началом координат:

q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Близким понятием с геометрическим подтекстом является квадратичное пространство , которое представляет собой пару $(V, q)$ , где $V$ векторное пространство над полем $K$ , а $q : V \to K —$ квадратичная форма на V. — См. § Определения ниже для определения квадратичной формы в векторном пространстве.

История [ править ]

Изучение квадратичных форм, в частности вопрос о том, может ли данное целое число быть значением квадратичной формы над целыми числами, насчитывает много столетий. Одним из таких случаев является теорема Ферма о суммах двух квадратов , которая определяет, когда целое число может быть выражено в форме $x. 2 + и 2$ , где $x$ , $y$ — целые числа. Эта проблема связана с проблемой поиска пифагорейских троек , появившейся во втором тысячелетии до нашей эры. ^[3]

В 628 году индийский математик Брахмагупта написал «Брахмаспхутасиддханту» , включающую, среди прочего, исследование уравнений вида $x 2 - 2 = с$ . Он рассмотрел то, что сейчас называется уравнением Пелла , $x 2 - 2 = 1$ и нашел способ ее решения. ^[4] В Европе эту проблему изучали Броункер , Эйлер и Лагранж .

В 1801 Гаусс опубликовал «Disquisitiones Arithmeticae» , большая часть которых была посвящена полной теории бинарных квадратичных форм над целыми числами . С тех пор концепция была обобщена, а связи с полями квадратичных чисел , модулярной группой и другими областями математики получили дальнейшее объяснение.

Связанная симметричная матрица [ править ]

Любая $размера n \times n$ матрица $A$ определяет квадратичную форму $q A$ от $n$ переменных по формуле

q_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,

где

А знак равно (а ij)

.

Пример [ править ]

Рассмотрим случай квадратичных форм от трех переменных $x, y, z$ . Матрица $А$ имеет вид

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.

Приведенная выше формула дает

q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.

Итак, две разные матрицы определяют одну и ту же квадратичную форму тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементы на диагонали и одинаковые значения сумм $b + d$ , $c + g$ и $f + h$ . В частности, квадратичная форма $q A$ определяется единственной симметричной матрицей

A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.

Это обобщается на любое количество переменных следующим образом.

Общий случай [ править ]

Учитывая квадратичную форму $q A$ , определенную матрицей $A = (a ij)$ , матрица

B=\left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)

симметрична A , определяет ту же квадратичную форму, что и

,

и является уникальной симметричной матрицей, которая

q A.

определяет

Итак, над действительными числами (и, шире, над полем характеристики , отличной от двух) существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами и симметричными матрицами определяющими их .

квадратичные формы Действительные

Фундаментальной проблемой является классификация вещественных квадратичных форм при линейной замене переменных .

Якоби доказал, что для каждой вещественной квадратичной формы существует ортогональная диагонализация ; то есть ортогональная замена переменных , которая переводит квадратичную форму в « диагональную форму ».

\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},

где соответствующая симметричная матрица является диагональной . При этом коэффициенты

λ 1, λ 2, ..., λ n

определяются однозначно до перестановки с точностью . ^[5]

Если замена переменных задается обратимой матрицей , которая не обязательно ортогональна, можно предположить, что все коэффициенты $λ i$ равны 0, 1 или -1. Закон инерции Сильвестра гласит, что числа 0, 1 и -1 являются инвариантами квадратичной формы в том смысле, что любая другая диагонализация будет содержать одинаковое количество каждого из них. Сигнатурой , квадратичной формы является тройка $(n 0, n +, n -)$ где эти компоненты подсчитывают количество нулей, количество единиц и количество -1 соответственно. Закон инерции Сильвестра показывает, что это вполне определенная величина, привязанная к квадратичной форме.

Особенно важен случай, когда все $λ i$ имеют один и тот же знак: в этом случае квадратичная форма называется положительно определенной (все 1) или отрицательно определенной (все −1). Если ни один из членов не равен 0, то форма называется невырожденный ; сюда входят положительно определенная, отрицательно определенная и изотропная квадратичная форма (смесь 1 и -1); эквивалентно, невырожденная квадратичная форма — это форма, связанная с которой симметричная форма является невырожденной билинейной формой . Вещественное векторное пространство с неопределенной невырожденной квадратичной формой индекса $(p, q)$ (обозначающее $p1s$ и $q$ −1s) часто обозначается как $R п, д$ особенно в физической теории пространства-времени .

Дискриминант квадратичной формы , точнее класс определителя представляющей матрицы в $K /(K \times) 2$ (вплоть до ненулевых квадратов) также могут быть определены, и для действительной квадратичной формы это более грубый инвариант, чем сигнатура, принимающая только «положительные, нулевые или отрицательные значения». Ноль соответствует вырожденной форме, а для невырожденной формы - это четность числа отрицательных коэффициентов $(-1). п -$ .

Ниже эти результаты переформулированы по-другому.

Пусть $q$ — квадратичная форма, определенная в $n$ -мерном вещественном векторном пространстве. Пусть $A$ — матрица квадратичной формы $q$ в данном базисе. Это означает, что $A$ — симметричная $матрица размера n \times n$ такая, что

q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,

где x — вектор-столбец координат

v

в выбранном базисе. При смене базиса столбец

x

умножается слева на

размера n \times n

обратимую матрицу

S

, а симметричная квадратная матрица

A

преобразуется в другую симметричную квадратную матрицу

B

того же размера по формуле

A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.

Любую симметричную матрицу $A$ можно преобразовать в диагональную матрицу.

B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}

подходящим выбором ортогональной матрицы

S

и диагональные элементы

B

определяются однозначно – это теорема Якоби. Если

S

разрешено быть любой обратимой матрицей, то

можно сделать так, чтобы B

имела только 0, 1 и -1 на диагонали, а количество элементов каждого типа (

n 0

для 0,

n +

для 1 и

n -

для −1) зависит только

A.

от Это одна из формулировок закона инерции Сильвестра, а числа

n +

и

n -

называются положительным и отрицательным индексами инерции . Хотя их определение включало выбор базиса и рассмотрение соответствующей вещественной симметричной матрицы

A

, закон инерции Сильвестра означает, что они являются инвариантами квадратичной формы

q

.

Квадратичная форма $q$ является положительно определенной, если $q (v) > 0$ (аналогично, отрицательно определенной, если $q (v) < 0$ ) для каждого ненулевого вектора $v$ . ^[6]Когда $q (v)$ принимает как положительные, так и отрицательные значения, $q$ является изотропной квадратичной формой . Теоремы Якоби и Сильвестра показывают, что любую положительно определенную квадратичную форму от $n$ переменных можно привести к сумме $n$ квадратов подходящим обратимым линейным преобразованием: геометрически существует только одна положительно определенная вещественная квадратичная форма каждого измерения. Его группа изометрий представляет собой компактную ортогональную группу $O(n)$ . Это контрастирует со случаем изотропных форм, когда соответствующая группа, неопределенная ортогональная группа $O(p, q)$ , некомпактна. Кроме того, группы изометрий $Q$ и $- Q$ одни и те же ( $O(p, q) \approx O(q, p))$ , но ассоциированные алгебры Клиффорда (и, следовательно, группы булавок ) различны.

Определения [ править ]

Квадратичная форма над полем $K$ — это отображение $q : V \to K$ из конечномерного $K$ -векторного пространства в $K$ такое, что $q (av) = a 2 q (v)$ для всех $a \in K$ , $v \in V$ и функция $q (u + v) - q (u) - q (v)$ билинейна.

Более конкретно, $n$ -арная квадратичная форма над полем $K$ — это однородный многочлен степени 2 от $n$ переменных с коэффициентами из $K$ :

q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.

Эту формулу можно переписать с использованием матриц: пусть $x$ будет вектор-столбцом с компонентами $x 1$ , ..., $x n$ и $A = (a ij)$ будет $матрицей размера n \times n$ над $K$ , элементы которой являются коэффициентами $q$ . Затем

q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.

Вектор $v = (x 1, ..., x n)$ является нулевым вектором , если $q (v) = 0$ .

Две $n$ -арные квадратичные формы $φ$ и $ψ$ над $K$ эквивалентны , если существует неособое линейное преобразование $C \in GL (n, K)$ такое, что

\psi (x)=\varphi (Cx).

Пусть характеристика К $.$ отлична от 2 ^[7] Матрица коэффициентов $A$ для $q$ может быть заменена симметричной матрицей $(A + A Т)/2$ с той же квадратичной формой, поэтому можно с самого начала предположить, что $A$ симметрично. При этом симметричная матрица $A$ однозначно определяется соответствующей квадратичной формой. При эквивалентности $C$ симметричная матрица $A$ функции $φ$ и симметричная матрица $B$ функции $ψ$ связаны следующим образом:

B=C^{\mathsf {T}}AC.

Соответствующая билинейная форма квадратичной формы $q$ определяется формулой

b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.

Таким образом, $b q$ — симметричная билинейная форма над $K$ матрицей $A.$ с Обратно, любая симметричная билинейная форма $b$ определяет квадратичную форму

q(x)=b(x,x),

и эти два процесса являются обратными друг другу. Как следствие, над полем характеристики, отличной от 2, теории симметричных билинейных форм и квадратичных форм от

n

переменных по существу совпадают.

Квадратичное пространство [ править ]

Для данного $n$ -мерного векторного пространства $V$ над полем $K$ квадратичная форма на $V$ — это функция $Q : V \to K$ , которая обладает следующим свойством: для некоторого базиса функция $q$ , отображающая координаты $v \in V$ в $Q (v)$ — квадратичная форма. В частности, если $V = K н$ с его стандартным базисом , мы имеем

q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.

Формулы замены базиса показывают, что свойство быть квадратичной формой не зависит от выбора конкретного базиса в $V$ , хотя квадратичная форма $q$ зависит от выбора базиса.

Конечномерное векторное пространство с квадратичной формой называется квадратичным пространством .

Отображение $Q$ является однородной функцией степени 2, что означает, что оно обладает тем свойством, что для всех $a$ в $K$ и $v$ в $V$ :

Q(av)=a^{2}Q(v).

Когда характеристика $K$ билинейное отображение $B : V \times V \to K$ над $K$ не равна 2, определяется :

B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).

Эта билинейная форма

B

симметрична. То есть

B (x, y) = B (y, x)

для всех

x

,

y

в

V

, и это определяет

Q

:

Q (x) = B (x, x)

для всех

x

в

V

.

Когда характеристика $K$ равна 2, так что 2 не является единицей , все еще можно использовать квадратичную форму для определения симметричной билинейной формы $B'(x, y) = Q (x + y) - Q (x) - Q (у)$ . Однако $Q (x)$ уже нельзя восстановить из этого $B'$ таким же способом, поскольку $B'(x, x) = 0$ для всех $x$ (и, таким образом, является чередующимся). ^[8] Альтернативно, всегда существует билинейная форма $B ″$ (вообще говоря, не единственная и не симметричная) такая, что $B ″(x, x) = Q (x)$ .

Пара $(V, Q)$ , состоящая из конечномерного векторного пространства $V$ над $K$ и квадратичного отображения $Q$ из $V$ в $K$ , называется квадратичным пространством , а $B,$ определено здесь, является ассоциированной симметричной билинейной формой $Q.$ как Понятие квадратичного пространства представляет собой бескоординатную версию понятия квадратичной формы. Иногда $Q$ также называют квадратичной формой.

Два $n$ -мерных квадратичных пространства $(V, Q)$ и $(V', Q')$ изометричны , если существует обратимое линейное преобразование $T : V \to V'$ ( изометрия ) такое, что

Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V.

Классы изометрии $n$ -мерных квадратичных пространств над $K$ соответствуют классам эквивалентности $n$ -арных квадратичных форм $K.$ над

Обобщение [ править ]

Пусть $R$ — коммутативное кольцо , $M$ — $R$ - модуль и $b : M \times M \to R$ -билинейная форма $— R$ . ^[9] Отображение $q : M \to R : v \mapsto b (v, v)$ является ассоциированной квадратичной формой b $q$ и $B : M \times M \to R : (u, v) \mapsto q (u + v) -, (u) - q (v)$ является полярной формой $q$ .

Квадратичная форма $q : M \to R$ может быть охарактеризована следующими эквивалентными способами:

Существует $R$ -билинейная форма $b : M \times M \to R$ такая, что $q (v)$ — ассоциированная квадратичная форма.
$q (из) = а 2 q (v)$ для всех $a \in R$ и $v \in M$ , а полярная форма $q$ R $- билинейна$ .

Связанные понятия [ править ]

Два элемента $v$ и $w$ из $V$ называются ортогональными , если $B (v, w) = 0$ . Ядро B билинейной формы $состоит$ из элементов, ортогональных каждому элементу $V$ . $Q$ несингулярен , если ядро связанной с ним билинейной формы равно ${0}$ . Если существует ненулевое $v$ в $V$ такое, что $(v) = 0$ , квадратичная форма $Q$ изотропна Q , в противном случае она определена . Эта терминология также применима к векторам и подпространствам квадратичного пространства. Если ограничение $Q$ на подпространство $U$ в $V$ тождественно равно нулю, то $U$ сингулярно вполне .

Ортогональная группа неособой квадратичной формы $Q$ — это группа линейных автоморфизмов $V$ , сохраняющих $Q$ : то есть группа изометрий $(V, Q)$ в себя.

Если квадратичное пространство $(A, Q)$ имеет произведение так, что $A$ является алгеброй над полем и удовлетворяет условиям

\forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),

тогда это композиционная алгебра .

Эквивалентность форм [ править ]

Любая квадратичная форма $q$ от $n$ переменных над полем характеристики, не равной 2, эквивалентна диагональной форме

q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.

Такую диагональную форму часто обозначают $⟨ a 1, ... an ⟩,$ . Таким образом, классификацию всех квадратичных форм с точностью до эквивалентности можно свести к случаю диагональных форм.

Геометрический смысл [ править ]

Используя декартовы координаты в трех измерениях, пусть $x = (x, y, z) Т$ и пусть $A$ будет симметричной матрицей 3х3. Тогда геометрическая природа множества решений уравнения $x Т А х + б Т x = 1$ матрицы $A.$ зависит от собственных значений

все собственные значения A $.$ не равны нулю, то множество решений представляет собой эллипсоид или гиперболоид Если ^{[ нужна цитата ]}Если все собственные значения положительны, то это эллипсоид; если все собственные значения отрицательны, то это мнимый эллипсоид (получаем уравнение эллипсоида, но с мнимыми радиусами); если некоторые собственные значения положительны, а некоторые отрицательны, то это гиперболоид.

Если существуют одно или несколько собственных значений $λ i = 0$ , то форма зависит от соответствующего $b i$ . Если соответствующий $b i \neq 0$ , то множество решений представляет собой параболоид (эллиптический или гиперболический); если соответствующее $b i = 0$ , то размерность $i$ вырождается и не играет роли, а геометрический смысл будет определяться другими собственными значениями и другими компонентами $b$ . Когда множество решений представляет собой параболоид, то, является ли оно эллиптическим или гиперболическим, определяется тем, имеют ли все остальные ненулевые собственные значения одного и того же знака: если они есть, то оно эллиптическое; в противном случае оно является гиперболическим.

квадратичные формы Целые

Квадратичные формы над кольцом целых чисел называются целыми квадратичными формами , тогда как соответствующие модули являются квадратичными решетками (иногда просто решетками ). Они играют важную роль в теории чисел и топологии .

Целочисленная квадратичная форма имеет целые коэффициенты, такие как $x 2 + ху + у 2$ ; эквивалентно, если решетка $Λ$ в векторном пространстве $V$ (над полем с характеристикой 0, например $Q$ или $R$ ), квадратичная форма $Q$ является целой относительно $Λ$ тогда и только тогда, когда она целочисленна на $Λ$ , что означает $Q (Икс, y) \in Z ,$ если $Икс, y \in Λ$ .

Это текущее использование термина; в прошлом его иногда использовали по-другому, как подробно описано ниже.

Историческое использование

Исторически существовала некоторая путаница и разногласия по поводу того, должно ли понятие целой квадратичной формы означать:

двойки в: квадратичная форма, связанная с симметричной матрицей с целыми коэффициентами
двойки: многочлен с целыми коэффициентами (поэтому соответствующая симметричная матрица может иметь полуцелые коэффициенты вне диагонали)

Эти дебаты возникли из-за путаницы квадратичных форм (представленных полиномами) и симметричных билинейных форм (представленных матрицами), а «двойка» теперь является общепринятым соглашением; Вместо этого «двойки в» - это теория целочисленных симметричных билинейных форм (целочисленных симметричных матриц).

В «двойках» бинарные квадратичные формы имеют вид $ax. 2 + 2 bxy + cy 2$ , представленный симметричной матрицей

{\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}

Это соглашение, которое Гаусс использует в Disquisitiones Arithmeticae .

В «двойке» бинарные квадратичные формы имеют вид $ax. 2 + bxy + cy 2$ , представленный симметричной матрицей

{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.

Несколько точек зрения означают, что двойка была принята в качестве стандартного соглашения. К ним относятся:

лучшее понимание 2-адической теории квадратичных форм, «локального» источника трудностей;
решеточная точка зрения , которая в целом была принята экспертами по арифметике квадратичных форм в 1950-х годах;
актуальные потребности в целой теории квадратичных форм в топологии для теории пересечений ;
группа Ли и алгебраической группы . аспекты

Универсальные квадратичные формы [ править ]

Целочисленную квадратичную форму, образ которой состоит из всех натуральных чисел, иногда называют универсальной . Теорема Лагранжа о четырех квадратах показывает, что $w 2 + х 2 + и 2 + я 2$ является универсальным. Рамануджан обобщил $это 2 + бх 2 + с 2 + дел 2$ и нашел 54 мультимножества ${a, b, c, d}$ , каждое из которых может генерировать все положительные целые числа, а именно:

${1, 1, 1, d}, 1 \leq d \leq 7$
${1, 1, 2, d}, 2 \leq d \leq 14$
${1, 1, 3, d}, 3 \leq d \leq 6$
${1, 2, 2, d}, 2 \leq d \leq 7$
${1, 2, 3, d}, 3 \leq d \leq 10$
${1, 2, 4, d}, 4 \leq d \leq 14$
${1, 2, 5, d}, 6 \leq d \leq 10$

Существуют также формы, образ которых состоит только из целых положительных чисел, кроме одного. Например, ${1, 2, 5, 5}$ имеет 15 в качестве исключения. Недавно теоремы 15 и 290 полностью охарактеризовали универсальные целочисленные квадратичные формы: если все коэффициенты являются целыми числами, то она представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда она представляет все целые числа до 290; если у него есть целая матрица, он представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда он представляет все целые числа до 15.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Традиция, восходящая к Гауссу, требует использования явно четных коэффициентов для произведений различных переменных, то есть $2 b$ вместо $b$ в двоичных формах и $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ вместо $b$ , $d$ , $f$ в тройных формах. Оба соглашения встречаются в литературе.
^ вдали от 2 , т. е. если 2 обратима в кольце, квадратичные формы эквивалентны симметричным билинейным формам (по поляризационным тождествам ), но в 2 это разные понятия; это различие особенно важно для квадратичных форм целых чисел.
^ Вавилонский Пифагор
^ Биография Брахмагупты
^ Максим Бошер (совместно с EPR DuVal) (1907) Введение в высшую алгебру , § 45 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов через HathiTrust
^ Если выполняется нестрогое неравенство (с ≥ или ≤), то квадратичная форма $q$ называется полуопределенной.
^ Теория квадратичных форм над полем характеристики 2 имеет важные различия, и многие определения и теоремы должны быть изменены.
^ Эта знакопеременная форма, связанная с квадратичной формой в характеристике 2, представляет интерес, связанный с инвариантом Арфа - Ирвинг Каплански (1974), Линейная алгебра и геометрия , с. 27 .
^ Билинейная форма, с которой связана квадратичная форма, не ограничивается симметричностью, что имеет значение, когда 2 не является единицей в $R$ .

Ссылки [ править ]

О'Мира, ОТ (2000), Введение в квадратичные формы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66564-9
Конвей, Джон Хортон ; Фунг, Фрэнсис Ю.К. (1997), Чувственная (квадратическая) форма , Математические монографии Каруса, Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-030-5
Шафаревич, ИР ; Ремизов, АО (2012). Линейная алгебра и геометрия . Спрингер . ISBN 978-3-642-30993-9 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кассельс, JWS (1978). Рациональные квадратичные формы . Монографии Лондонского математического общества. Том. 13. Академическая пресса . ISBN 0-12-163260-1 . Збл 0395.10029 .
Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. Том. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40475-4 . Збл 0785.11021 .
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2 . МР 2104929 . Збл 1068.11023 .
Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области . Том 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-06009-Х . Збл 0292.10016 .
О'Мира, О.Т. (1973). Введение в квадратичные формы . Основные учения математических наук. Том 117. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-66564-1 . Збл 0259.10018 .
Пфистер, Альбрехт (1995). Квадратичные формы с приложениями к алгебраической геометрии и топологии . Серия конспектов лекций Лондонского математического общества. Том. 217. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46755-1 . Збл 0847.11014 .

Внешние ссылки [ править ]

А.В.Малышев (2001) [1994], «Квадратичная форма» , Энциклопедия Математики , EMS Press
А.В.Малышев (2001) [1994], «Бинарная квадратичная форма» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1] Традиция, восходящая к Гауссу, требует использования явно четных коэффициентов для произведений различных переменных, то есть $2 b$ вместо $b$ в двоичных формах и $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ вместо $b$ , $d$ , $f$ в тройных формах. Оба соглашения встречаются в литературе.

[2] вдали от 2 , т. е. если 2 обратима в кольце, квадратичные формы эквивалентны симметричным билинейным формам (по поляризационным тождествам ), но в 2 это разные понятия; это различие особенно важно для квадратичных форм целых чисел.

[3] Вавилонский Пифагор

[4] Биография Брахмагупты

[5] Максим Бошер (совместно с EPR DuVal) (1907) Введение в высшую алгебру , § 45 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов через HathiTrust

[6] Если выполняется нестрогое неравенство (с ≥ или ≤), то квадратичная форма $q$ называется полуопределенной.

[7] Теория квадратичных форм над полем характеристики 2 имеет важные различия, и многие определения и теоремы должны быть изменены.

[8] Эта знакопеременная форма, связанная с квадратичной формой в характеристике 2, представляет интерес, связанный с инвариантом Арфа - Ирвинг Каплански (1974), Линейная алгебра и геометрия , с. 27 .

[9] Билинейная форма, с которой связана квадратичная форма, не ограничивается симметричностью, что имеет значение, когда 2 не является единицей в $R$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]