Поляризационная идентичность

Эта статья о квадратичных формах. Формулы для полиномов более высокой степени см. в разделе «Поляризация алгебраической формы» .

Векторы, участвующие в идентичности поляризации $2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.$

В линейной алгебре , разделе математики , поляризационное тождество — это любая формула из семейства формул, которые выражают скалярное произведение двух векторов через норму нормированного векторного пространства . Если норма возникает из внутреннего продукта, то поляризационное тождество можно использовать для выражения этого внутреннего продукта полностью через норму. Тождество поляризации показывает, что норма может возникнуть не более чем из одного внутреннего продукта; однако существуют нормы, которые не возникают из какого-либо внутреннего продукта.

Норма, связанная с любым пространством внутреннего продукта, удовлетворяет закону параллелограмма : $\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.$ Фактически, как заметил Джон фон Нейман , закон параллелограмма характеризует те нормы, которые возникают из внутренних продуктов. Учитывая нормированное пространство $(H,\|\cdot \|)$, закон параллелограмма справедлив для $\|\cdot \|$ тогда и только тогда, когда существует внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на $H$ такой, что $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ для всех $x\in H,$ в этом случае этот внутренний продукт однозначно определяется нормой через тождество поляризации.

Поляризационные тождества

Любое скалярное произведение в векторном пространстве индуцирует норму по уравнению $$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$$Тождества поляризации меняют это соотношение, восстанавливая внутренний продукт от нормы.Каждый внутренний продукт удовлетворяет: $$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ for all vectors }}x,y.$$

Решение для $\operatorname {Re} \langle x,y\rangle$ дает формулу $\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).$ Если внутренний продукт реален, то $\operatorname {Re} \langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle$ и эта формула становится поляризационным тождеством для реальных внутренних продуктов.

Вещественные векторные пространства

Если векторное пространство находится над действительными числами, то тождества поляризации будут следующими: $${\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}$$

Все эти различные формы эквивалентны по закону параллелограмма : $$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.$$

Это далее подразумевает, что $L^{p}$ класс не является гильбертовым пространством , если ⁠ $p\neq 2$⁠ , так как закон параллелограмма не выполняется. В качестве контрпримера рассмотрим $x=1_{A}$ и $y=1_{B}$ для любых двух непересекающихся подмножеств $A,B$ общего пользования $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ и вычислим меру обоих множеств по закону параллелограмма.

Комплексные векторные пространства

Для векторных пространств над комплексными числами приведенные выше формулы не совсем корректны, поскольку не описывают мнимую часть (комплексного) скалярного произведения. Однако аналогичное выражение гарантирует сохранение как вещественной, так и мнимой частей. Комплексная часть внутреннего произведения зависит от того, является ли оно антилинейным по первому или второму аргументу. Обозначения $\langle x|y\rangle ,$ которое обычно используется в физике, будет считаться антилинейным по первому аргументу, а $\langle x,\,y\rangle ,$ который обычно используется в математике, будет считаться антилинейным по второму аргументу. Они связаны формулой: $$\langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.$$

Действительная часть любого внутреннего продукта (независимо от того, какой аргумент является антилинейным и вещественным или комплексным) представляет собой симметричное билинейное отображение, которое для любого $x,y\in H$ всегда равен: $${\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}$$

Это всегда симметричная карта , а это означает, что $$R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,$$и это также удовлетворяет: $$R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H.$$Таким образом ⁠ $R(ix,y)=-R(x,iy)$⁠ , что на простом английском означает, что для перемещения на фактор $i$ к другому аргументу поставьте отрицательный знак.

show Доказательство свойств $R$

Let $$R(x,y):={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).$$ Then $2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}$ implies $$R(x,y)={\frac {1}{4}}\left(\left(2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)-\|x-y\|^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)$$ and $$R(x,y)={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\left(2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-\|x+y\|^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).$$ Moreover, $$4R(x,y)=\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=\|y+x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=4R(y,x),$$ which proves that ⁠$R(x,y)=R(y,x)$⁠. From $1=i(-i)$ it follows that $y-ix=i(-iy-x)=-i(x+iy)$ and $y+ix=i(-iy+x)=i(x-iy)$ so that $$-4R(y,ix)=\|y-ix\|^{2}-\|y+ix\|^{2}=\|(-i)(x+iy)\|^{2}-\|i(x-iy)\|^{2}=\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}=4R(x,iy),$$ which proves that $R(y,ix)=-R(x,iy).$$\blacksquare$

В отличие от своей действительной части, мнимая часть сложного внутреннего продукта зависит от того, какой аргумент является антилинейным.

Антилинейный по первому аргументу

Поляризационные тождества для внутреннего произведения $\langle x\,|\,y\rangle ,$ антилинейный по первому аргументу , равны

${\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}$

где $x,y\in H.$ Предпоследнее равенство аналогично формуле, выражающей линейный функционал $\varphi$ по его действительной части: $\varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).$

Антилинейность во втором аргументе

Поляризационные тождества для внутреннего произведения $\langle x,\ y\rangle ,$ антилинейное второму по аргументу, следует из $\langle x\,|\,y\rangle$ по отношению: $\langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ for all }}x,y\in H.$ Так что для любого $x,y\in H,$

${\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}$

Это выражение можно сформулировать симметрично так: $$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.$$

Краткое изложение обоих случаев

Таким образом, если $R(x,y)+iI(x,y)$ обозначает действительную и мнимую части значения некоторого внутреннего продукта в точке $(x,y)\in H\times H$ своей области, то его мнимая часть будет: $$I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}$$где скаляр $i$ всегда находится в том же аргументе, в котором скалярное произведение является антилинейным.

Использование ⁠ $R(ix,y)=-R(x,iy)$⁠ приведенная выше формула для мнимой части принимает вид: $$I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}$$

Реконструкция внутреннего продукта

В нормированном пространстве $(H,\|\cdot \|),$ если закон параллелограмма $$\|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$$то существует единственный внутренний продукт $\langle \cdot ,\ \cdot \rangle$ на $H$ такой, что $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ для всех $x\in H.$

Доказательство

Мы приведем здесь только реальный случай; доказательство для комплексных векторных пространств аналогично.

Согласно приведенным выше формулам, если норма описывается скалярным произведением (как мы надеемся), то она должна удовлетворять $$\langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,$$что может служить определением уникального кандидата $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на роль подходящего внутреннего продукта. Таким образом, уникальность гарантирована.

Осталось доказать, что эта формула действительно определяет скалярный продукт и что этот скалярный продукт индуцирует норму $\|\cdot \|.$ В явном виде будет показано следующее:

1. $\langle x,x\rangle =\|x\|^{2},\quad x\in H$
2. $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in H$
3. $\langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y,z\in H,$
4. $\langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}\alpha \in \mathbb {R}$

(Эта аксиоматизация опускает положительность , подразумеваемую (1), и тот факт, что $\|\cdot \|$ это норма.)

Вместо свойств (1) и (2) замените: ${\textstyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2},}$ и $\|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}.$

Для свойства (3) удобно действовать в обратном порядке. Осталось показать, что $$\|x+z+y\|^{2}-\|x+z-y\|^{2}{\overset {?}{=}}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\|z+y\|^{2}-\|z-y\|^{2}$$или эквивалентно, $$2\left(\|x+z+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\right)-2\left(\|x+z-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}\right){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}.$$

Теперь примените тождество параллелограмма: $$2\|x+z+y\|^{2}+2\|x-y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|2y+z\|^{2}$$$$2\|x+z-y\|^{2}+2\|x+y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|z-2y\|^{2}$$Таким образом, осталось проверить: $${\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|2y+z\|^{2}-({\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|z-2y\|^{2}){\overset {?}{{}={}}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}$$$$\|2y+z\|^{2}-\|z-2y\|^{2}{\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}$$

Но последнее утверждение можно проверить, вычитая следующие два дополнительных применения тождества параллелограмма: $$\|2y+z\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z+y\|^{2}+2\|y\|^{2}$$$$\|z-2y\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z-y\|^{2}+2\|y\|^{2}$$

Таким образом, (3) выполнено.

По индукции можно проверить, что (3) влечет за собой (4), если только $\alpha \in \mathbb {Z} .$ Но "(4) когда $\alpha \in \mathbb {Z}$"подразумевается" (4), когда $\alpha \in \mathbb {Q}$". И любое положительно-определенное, действительнозначное , $\mathbb {Q}$-билинейная форма удовлетворяет неравенству Коши–Шварца , так что $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является непрерывным. Таким образом $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ должно быть $\mathbb {R}$-тоже линейный.

Еще одно необходимое и достаточное условие существования внутреннего продукта, индуцирующего данную норму. $\|\cdot \|$ заключается в том, чтобы норма удовлетворяла неравенству Птолемея , которое: $$\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.$$

Применение и последствия

Если $H$ является комплексным гильбертовым пространством, тогда $\langle x\mid y\rangle$ веществен тогда и только тогда, когда его мнимая часть равна ⁠ $0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\Vert x+iy\Vert ^{2}-\Vert x-iy\Vert ^{2}\right)$⁠ , что происходит тогда и только тогда, когда ⁠ $\Vert x+iy\Vert =\Vert x-iy\Vert$⁠ . Сходным образом, $\langle x\mid y\rangle$ является (чисто) мнимым тогда и только тогда, когда ⁠ $\Vert x+y\Vert =\Vert x-y\Vert$⁠ . Например, из $\|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|$ можно сделать вывод, что $\langle x|x\rangle$ реально и это $\langle x|ix\rangle$ является чисто воображаемым.

Изометрии

Если $A:H\to Z$ является линейной изометрией между двумя гильбертовыми пространствами (поэтому $\|Ah\|=\|h\|$ для всех $h\in H$) затем $$\langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;$$то есть линейные изометрии сохраняют внутренние продукты.

Если $A:H\to Z$ вместо этого это антилинейная изометрия, тогда $$\langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.$$

Связь с законом косинусов

Вторую форму поляризационного тождества можно записать как $$\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).$$

По сути, это векторная форма закона косинусов для треугольника, образованного векторами ⁠ ${\textbf {u}}$⁠ , ⁠ ${\textbf {v}}$⁠ и ⁠ ${\textbf {u}}-{\textbf {v}}$⁠ . В частности, $${\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,$$где $\theta$ угол между векторами ${\textbf {u}}$ и ⁠ ${\textbf {v}}$⁠ .

Уравнение численно нестабильно, если u и v похожи из-за катастрофического сокращения , и его следует избегать при числовых вычислениях.

Вывод

Основное соотношение между нормой и скалярным произведением задается уравнением $$\|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.$$

Затем $${\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}$$и аналогично $$\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).$$

Формы (1) и (2) поляризационного тождества теперь следуют из решения этих уравнений для ⁠ ${\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}$⁠ , а форма (3) следует из вычитания этих двух уравнений. (Сложение этих двух уравнений дает закон параллелограмма.)

Обобщения

Симметричные билинейные формы

Тождества поляризации не ограничиваются внутренними продуктами. Если $B$ любая симметричная билинейная форма в векторном пространстве и $Q$ квадратичная форма, определяемая $$Q(v)=B(v,v),$$затем $${\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}$$

Так называемое отображение симметризации обобщает последнюю формулу, заменяя $Q$ однородным полиномом степени $k$ определяется $Q(v)=B(v,\ldots ,v),$ где $B$ представляет собой симметричный $k$-линейная карта.

Приведенные выше формулы применимы даже в случае, когда имеет характеристику поле скаляров два , хотя в этом случае все левые части равны нулю. Следовательно, в характеристике два нет формулы для симметричной билинейной формы в терминах квадратичной формы, и на самом деле это разные понятия, и этот факт имеет важные последствия в L-теории ; для краткости в этом контексте «симметричные билинейные формы» часто называют «симметричными формами».

Эти формулы также применимы к билинейным формам модулей над коммутативным кольцом , хотя снова можно решить только $B(u,v)$ если 2 обратимо в кольце, иначе это разные понятия. Например, над целыми числами можно отличить целые квадратичные формы от целых симметричных форм, которые представляют собой более узкое понятие.

В более общем смысле, при наличии инволюции кольца или когда 2 не обратимо, различают $\varepsilon$-квадратичные формы и $\varepsilon$-симметричные формы ; симметричная форма определяет квадратичную форму, а тождество поляризации (без коэффициента 2) от квадратичной формы к симметричной форме называется « отображением симметризации » и, вообще говоря, не является изоморфизмом. Исторически это было тонкое различие: в отношении целых чисел только в 1950-х годах была понята связь между «двойками снаружи» (целочисленная квадратичная форма) и «двойками внутри» (целочисленная симметричная форма) – см. обсуждение целочисленной квадратичной формы ; и при алгебризации теории хирургии Мищенко первоначально использовал симметричные L -группы, а не правильные квадратичные L -группы (как у Уолла и Раницки) – см. обсуждение в L-теории .

Однородные полиномы высшей степени

Наконец, в любом из этих контекстов эти тождества могут быть расширены до однородных полиномов (то есть алгебраических форм ) произвольной степени , где это известно как формула поляризации и более подробно рассматривается в статье о поляризации алгебраической формы. форма .

См. также

• Пространство внутреннего продукта – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств
• Закон косинусов - Свойство всех треугольников на евклидовой плоскости.
• Мазур – Какая теория?
• Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Закон параллелограмма : сумма квадратов четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов двух диагоналей.
• Неравенство Птолемея

Библиография

• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-55604-6 . OCLC   47767143 . Проверено 22 июля 2020 г.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .