Банаховый пучок

Эта статья о банаховых расслоениях в дифференциальной геометрии. Для банаховых расслоений в некоммутативной геометрии см. Банахово расслоение (некоммутативная геометрия) .

В математике банахово расслоение — это векторное расслоение, каждый из слоев которого является банаховым пространством , то есть полным нормированным векторным пространством , возможно, бесконечной размерности.

Определение банахова расслоения

Пусть M — банахово многообразие класса C ^п с p ≥ 0, называемое базовым пространством ; пусть E — топологическое пространство , называемое тотальным пространством ; пусть π : E → M — сюръективное непрерывное отображение . что для каждой точки x ∈ M слой Предположим , E _x = π ⁻¹ ( x ) задана структура банахова пространства. Позволять

$\{U_{i}|i\in I\}$

быть обложкой М. ​ открытой Предположим также, что для каждого i ∈ I существует банахово пространство X _i и отображение τ _i

$\tau _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times X_{i}$

такой, что

• отображение τ _i является гомеоморфизмом , коммутирующим с проекцией на U _i следующая , т. е. коммутирует диаграмма :

и для каждого x ∈ U _i индуцированное отображение τ _ix на слое E _x

$\tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X_{i}$

— обратимое непрерывное линейное отображение , т. е. изоморфизм в категории топологических векторных пространств ;

• если U _i и U _j — два члена открытой оболочки, то отображение

$U_{i}\cap U_{j}\to \mathrm {Lin} (X_{i};X_{j})$

$x\mapsto (\tau _{j}\circ \tau _{i}^{-1})_{x}$

является морфизмом (дифференцируемым отображением класса C ^п ), где Lin( X ; Y ) обозначает пространство всех непрерывных линейных отображений топологического векторного пространства X в другое топологическое векторное пространство Y .

Коллекция {( U _i , τ _i )| i ∈ I называется тривиализирующим покрытием для π : E → M , а отображения τi _} называются тривиализирующими отображениями . Два тривиализирующих покрытия называются эквивалентными, если их объединение снова удовлетворяет двум вышеуказанным условиям. что класс эквивалентности таких тривиализирующих накрытий определяет структуру банахова расслоения на π : E → M. Говорят ,

Если все пространства X _i изоморфны как топологические векторные пространства, то можно считать, что все они равны одному и тому же пространству X . В этом случае π : E → M называется банаховым расслоением со слоем X . Если M — связное пространство , то это обязательно так, поскольку множество точек x ∈ M , для которых существует тривиализирующее отображение

$\tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X$

для данного пространства X одновременно открыто и закрыто .

В конечномерном случае второе условие вытекает из первого.

Примеры банаховых связок

• Если V — любое банахово пространство, то касательное пространство T _x V к V в любой точке x ∈ V очевидным образом изоморфно V. самому Касательное расслоение TV V к V тогда является банаховым расслоением с обычной проекцией

$\pi :\mathrm {T} V\to V;$

$(x,v)\mapsto x.$

Это расслоение «тривиально» в том смысле, что T V допускает глобально определенное тривиализирующее отображение: тождественную функцию

$\tau =\mathrm {id} :\pi ^{-1}(V)=\mathrm {T} V\to V\times V;$

$(x,v)\mapsto (x,v).$

• Если M — любое банахово многообразие, касательное расслоение TM к M образует банахово расслоение относительно обычного проектора, но оно может не быть тривиальным.
• Аналогично, кокасательное расслоение T* M , слой которого над точкой x ∈ M является топологическим пространством, двойственным к касательному пространству в точке x :

$\pi ^{-1}(x)=\mathrm {T} _{x}^{*}M=(\mathrm {T} _{x}M)^{*};$

также образует банахово расслоение относительно обычного проектирования на M .

• Существует связь между пространствами Бохнера и банаховыми расслоениями. Рассмотрим, например, пространство Бохнера X = L² ([0, T ]; H ¹ (Ω)), который может возникнуть как полезный объект при изучении уравнения теплопроводности в области Ω. Можно было бы искать решения σ ∈ X уравнения теплопроводности; для каждого времени σ t ( t ) является функцией в пространстве Соболева H ¹ (Ом). Можно также подумать о Y = [0, T ] × H ¹ (Ω), которое как декартово произведение также имеет структуру банахова расслоения над многообразием [0, T ] со слоем H ¹ (Ω), и в этом случае элементы/решения σ ∈ X являются сечениями расслоения Y некоторой заданной регулярности ( L² фактически ). Если дифференциальная геометрия рассматриваемой задачи особенно актуальна, точка зрения банахового расслоения может оказаться выгодной.

Морфизмы банаховых расслоений

Совокупность всех банаховых расслоений можно превратить в категорию, определив соответствующие морфизмы.

Пусть π : E → M и π ′ : E ′ → M ′ — два банаховых расслоения. Морфизм банахового расслоения из первого расслоения во второе состоит из пары морфизмов

$f_{0}:M\to M';$

$f:E\to E'.$

То, что f является морфизмом, означает просто, что f является непрерывным отображением топологических пространств. Если многообразия M и M ′ принадлежат классу C ^п , то требование того, чтобы была _f0 морфизмом, является требованием того, чтобы она была p -раз непрерывно дифференцируемой функцией . Эти два морфизма должны удовлетворять двум условиям (второе снова избыточно в конечномерном случае):

• диаграмма

коммутирует, и для каждого x ∈ M индуцированное отображение

$f_{x}:E_{x}\to E'_{f_{0}(x)}$

— непрерывное линейное отображение;

• для каждого x0 _M ∈ отображения существуют тривиализирующие

$\tau :\pi ^{-1}(U)\to U\times X$

$\tau ':\pi '^{-1}(U')\to U'\times X'$

такой, что x ₀ ∈ U , f ₀ ( x ₀ ) ∈ U ′,

$f_{0}(U)\subseteq U'$

и карта

$U\to \mathrm {Lin} (X;X')$

$x\mapsto \tau '_{f_{0}(x)}\circ f_{x}\circ \tau ^{-1}$

является морфизмом (дифференцируемым отображением класса C ^п ).

Откат банахового расслоения

Можно взять банахово расслоение на одном многообразии и использовать конструкцию обратного образа , чтобы определить новое банахово расслоение на втором многообразии.

А именно, пусть π : E → N — банахово расслоение, а f : M → N — дифференцируемое отображение (как обычно, всё есть C ^п ). Тогда обратный образ π : E → N — это банахово расслоение f * π : f * E → M, удовлетворяющее следующим свойствам:

• для каждого Икс ∈ M , ( ж * E ) _{Икс знак} равно E _{ж ( Икс )} ;
• есть коммутативная диаграмма

при этом верхняя горизонтальная карта является идентификатором на каждом волокне;

• если E тривиально, т.е. равно N × X для некоторого банахова пространства X , то f * E также тривиально и равно M × X , и

$f^{*}\pi :f^{*}E=M\times X\to M$

– проекция на первую координату;

• если V — открытое подмножество N и U = f ⁻¹ ( В ), тогда

$f^{*}(E_{V})=(f^{*}E)_{U}$

и существует коммутативная диаграмма

где карты «спереди» и «сзади» такие же, как на предыдущей диаграмме, а карты «сзади» и «спереди» являются (индуцированными) включениями.

Ссылки

• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс – Лондон – Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.