Основной пакет

В математике расслоение главное ^[1]^[2]^[3]^[4] это математический объект, который формализует некоторые существенные особенности декартова произведения. $X\times G$ пространства $X$ с группой $G$ . Как и в случае с декартовым произведением, главное расслоение $P$ оснащен

Действие $G$ на $P$ , аналогично $(x,g)h=(x,gh)$ для продуктового пространства .
Проекция на $X$ . Для пространства продукта это всего лишь проекция на первый фактор, $(x,g)\mapsto x$ .

Если только это не пространство продукта $X\times G$ , у основного пучка отсутствует предпочтительный выбор тождественного сечения; у него нет предпочтительного аналога $x\mapsto (x,e)$ . Аналогичным образом, обычно не существует проекции на $G$ обобщая проекцию на второй фактор, $X\times G\to G$ которое существует для декартова произведения. Они также могут иметь сложную топологию , которая не позволяет реализовать их как пространство продукта, даже если делается ряд произвольных выборов, пытаясь определить такую структуру, определяя ее на меньших частях пространства.

Типичным примером основного пакета является пакет кадров. $F(E)$ векторного расслоения $E$ , который состоит из всех упорядоченных баз векторного пространства, прикрепленных к каждой точке. Группа $G,$ в данном случае — общая линейная группа , действующая справа обычным образом : заменами базиса . Поскольку не существует естественного способа выбора упорядоченного базиса векторного пространства, в расслоении фреймов отсутствует канонический выбор единичного сечения.

Главные расслоения имеют важные приложения в топологии , дифференциальной геометрии и математической калибровочной теории . Они также нашли применение в физике , где составляют часть фундаментальной основы физических калибровочных теорий .

Формальное определение [ править ]

Директор $G$ - пучок, где $G$ обозначает любую топологическую группу , является расслоением $\pi :P\to X$ вместе с непрерывным правильным действием $P\times G\to P$ такой, что $G$ сохраняет волокна $P$ (т.е. если $y\in P_{x}$ затем $yg\in P_{x}$ для всех $g\in G$ ) и действует на них свободно и транзитивно (т.е. каждый слой является G-торсором ) так, что для каждого $x\in X$ и $y\in P_{x}$ , карта $G\to P_{x}$ отправка $g$ к $yg$ является гомеоморфизмом. В частности, каждый слой расслоения гомеоморфен группе $G$ сам. Часто требуется базовое пространство $X$ быть Хаусдорфом и, возможно, паракомпактным .

Поскольку действие группы сохраняет слои $\pi :P\to X$ транзитивно, то орбиты и действует $G$ -действием являются именно эти волокна и пространство орбит $P/G$ гомеоморфно пространству базовому $X$ . Поскольку действие свободное и транзитивное, волокна имеют структуру G-торсоров. А $G$ -торсор — пространство, гомеоморфное $G$ но не имеет групповой структуры, поскольку нет предпочтительного выбора элемента идентичности .

Эквивалентное определение принципала $G$ -связка как $G$ -пучок $\pi :P\to X$ с волокном $G$ где структурная группа действует на слое умножением слева. Поскольку правильное умножение на $G$ на слое коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на $G$ на $P$ . Волокна $\pi$ тогда стань правым $G$ -торсоры для этого действия.

Приведенные выше определения относятся к произвольным топологическим пространствам. Можно также определить принципала $G$ -расслоения в категории гладких многообразий . Здесь $\pi :P\to X$ должно быть гладким отображением между гладкими многообразиями, $G$ должна быть группой Ли , а соответствующее действие на $P$ должно быть гладко.

Примеры [ править ]

Тривиальный комплект и разделы [ править ]

Над открытым мячом $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ , или $\mathbb {R} ^{n}$ , с индуцированными координатами $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , любой принципал $G$ -расслоение изоморфно тривиальному расслоению

$\pi :U\times G\to U$

и гладкий участок $s\in \Gamma (\pi )$ эквивалентно задается (гладкой) функцией ${\hat {s}}:U\to G$ с

$s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G$

для некоторой гладкой функции. Например, если $G=U(2)$ , группа Ли $2\times 2$ унитарные матрицы , то сечение можно построить, рассматривая четыре действительные функции

$\phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R}$

и применяя их к параметризации

{\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.

Эта же процедура действительна при параметризации набора матриц, определяющих группу Ли.

G

и учитывая набор функций из патча базового пространства

U\subset X

к

\mathbb {R}

и вставка их в параметризацию.

Другие примеры [ править ]

Прототипическим примером гладкого главного расслоения является расслоение фреймов гладкого многообразия. $M$ , часто обозначаемый $FM$ или $GL(M)$ . Здесь волокно над точкой $x\in M$ - это набор всех реперов (т.е. упорядоченных баз) касательного пространства. $T_{x}M$ . Общая линейная группа $GL(n,\mathbb {R} )$ действует свободно и транзитивно в этих рамках. Эти волокна можно склеить естественным путем, чтобы получить принципиальную $GL(n,\mathbb {R} )$ -связывать $M$ .
Вариации приведенного выше примера включают расслоение ортонормированных реперов риманова многообразия . Здесь кадры должны быть ортонормированы относительно метрики . Структурная группа является ортогональной группой. $O(n)$ . Этот пример также работает для расслоений, отличных от касательного расслоения; если $E$ — любое векторное расслоение ранга $k$ над $M$ , то пучок кадров $E$ является директором $GL(k,\mathbb {R} )$ -пучок, иногда обозначаемый $F(E)$ .
Нормальное (регулярное) накрывающее пространство $p:C\to X$ является основным расслоением, в котором структурная группа

G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))

действует на волокна

p

через действие монодромии . В частности, универсальный чехол

X

является главным расслоением над

X

со структурной группой

\pi _{1}(X)

(так как универсальная крышка просто подсоединяется и таким образом

\pi _{1}(C)

тривиально).

Позволять $G$ быть группой Ли и пусть $H$ быть замкнутой подгруппой (не обязательно нормальной ). Затем $G$ является директором $H$ -расслоение по (левому) смежному пространству $G/H$ . Здесь действие $H$ на $G$ это просто правильное умножение. Слои являются левыми смежными классами $H$ (в этом случае имеется выделенный слой, содержащий единицу, естественно изоморфный $H$ ).
Рассмотрим проекцию $\pi :S^{1}\to S^{1}$ данный $z\mapsto z^{2}$ . Этот директор $\mathbb {Z} _{2}$ -расслоение — ассоциированное расслоение ленты Мёбиуса . Помимо тривиального расслоения, это единственный принцип $\mathbb {Z} _{2}$ -связывать $S^{1}$ .
Проективные пространства предоставляют еще несколько интересных примеров главных расслоений. Напомним, что $n$ - сфера $S^{n}$ является двукратным накрытием реального проективного пространства $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ . Естественное действие $O(1)$ на $S^{n}$ придает ему структуру принципала $O(1)$ -связывать $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ . Так же, $S^{2n+1}$ является директором $U(1)$ -объединить сложное проективное пространство $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ и $S^{4n+3}$ является директором $Sp(1)$ -расслоение по кватернионному проективному пространству $\mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}$ . Тогда у нас есть ряд главных расслоений для каждого положительного $n$ :

{\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}

{\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}

{\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.

Здесь

S(V)

обозначает единичную сферу в

V

(оснащен евклидовой метрикой). Для всех этих примеров

n=1

случаях дают так называемые расслоения Хопфа .

Основные свойства [ править ]

Тривиализации и сечения [ править ]

Один из наиболее важных вопросов, касающихся любого расслоения, заключается в том, является ли оно тривиальным , то есть изоморфным расслоению-продукту. Для главных расслоений существует удобная характеристика тривиальности:

Предложение . Главный расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно допускает глобальное сечение .

Этого нельзя сказать о других пучках волокон. Например, векторные расслоения всегда имеют нулевое сечение, независимо от того, тривиальны они или нет, а расслоения сфер могут допускать множество глобальных сечений, не будучи тривиальными.

Тот же факт применим и к локальным тривиализациям главных расслоений. Пусть $π : P \to X$ — главное $G$ -расслоение. Открытое множество $U$ в $X$ существует локальное сечение $допускает локальную тривиализацию тогда и только тогда, когда на U$ . Учитывая локальную тривиализацию

\Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G

можно определить связанный локальный раздел

s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,

где $e$ — тождество в $G.$ И наоборот, для данного сечения $s$ можно определить тривиализацию $Φ$ формулой

\Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.

Простая транзитивность действия $G$ на слоях $P$ гарантирует, что это отображение является биекцией , а также гомеоморфизмом . Локальные тривиализации, определенные локальными сечениями, $G$ - эквивариантны в следующем смысле. Если мы напишем

\Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G

в виде

\Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),

тогда карта

\varphi :P\to G

удовлетворяет

\varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.

Таким образом, эквивариантные тривиализации сохраняют $G$ -торсорную структуру слоев. В терминах соответствующего локального сечения $s$ отображение $φ$ определяется выражением

\varphi (s(x)\cdot g)=g.

Локальная версия теоремы о сечении тогда утверждает, что эквивариантные локальные тривиализации главного расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с локальными сечениями.

Учитывая эквивариантную локальную тривиализацию $({U i, {Φ i})$ P $}$ , у нас есть локальные сечения $s i$ на каждом $U i$ . При перекрытиях они должны быть связаны действием структурной $G.$ группы Фактически связь обеспечивается функциями перехода

t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.

Склей локальные тривиализации вместе с помощью этих функций перехода, можно восстановить исходный главный расслоение. Это пример теоремы о построении расслоения . Для любого $x \in U i \cap U j$ имеем

s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).

Характеристика расслоений главных гладких

Если $\pi :P\to X$ является гладким принципалом $G$ - тогда свяжите $G$ действует свободно и надлежащим образом на $P$ так что орбитальное пространство $P/G$ диффеоморфно пространству базовому $X$ . Оказывается, эти свойства полностью характеризуют гладкие главные расслоения. То есть, если $P$ представляет собой гладкое многообразие, $G$ группа Лия и $\mu :P\times G\to P$ тогда плавное, свободное и правильное действие

$P/G$ представляет собой гладкое многообразие,
естественная проекция $\pi :P\to P/G$ плавное погружение и
$P$ является гладким принципалом $G$ -связывать $P/G$ .

Использование понятия [ править ]

Сокращение структурной группы [ править ]

Учитывая подгруппу H группы G, можно рассмотреть расслоение $P/H$ слои которого гомеоморфны смежному пространству $G/H$ . Если новый пучок допускает глобальное сечение, то говорят, что сечение представляет собой редукцию структурной группы из $G$ к $H$ . Причина такого названия в том, что (послойный) обратный образ значений этого раздела образует подгруппу $P$ это главный $H$ -пучок. Если $H$ это личность, то часть $P$ само по себе является сведением структурной группы к тождеству. Редукции структурной группы вообще не существует.

Многие топологические вопросы о структуре многообразия или структуре расслоений над ним, связанные с главным $G$ -расслоение можно перефразировать как вопросы о допустимости сокращения структурной группы (от $G$ к $H$ ). Например:

А $2n$ -мерное реальное многообразие допускает почти сложную структуру, если расслоение фреймов на многообразии, слои которого $GL(2n,\mathbb {R} )$ , можно свести к группе $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )$ .
Ан $n$ -мерное реальное многообразие допускает $k$ -поле плоскости, если связку кадров можно свести к группе структур $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ .
Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его расслоение реперов можно свести к специальной ортогональной группе $\mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ .
Многообразие имеет спиновую структуру тогда и только тогда, когда его расслоение реперов можно дополнительно сократить из $\mathrm {SO} (n)$ к $\mathrm {Spin} (n)$ группа Spin , которая отображается в $\mathrm {SO} (n)$ в качестве двойной крышки.

Также обратите внимание: $n$ -мерное многообразие допускает $n$ векторные поля, линейно независимые в каждой точке, тогда и только тогда, когда его расслоение реперов допускает глобальное сечение. В этом случае многообразие называется распараллеливаемым .

Связанные векторные пучки и рамки [ править ]

Если $P$ является директором $G$ -связка и $V$ является линейным представлением $G$ , то можно построить векторное расслоение $E=P\times _{G}V$ с волокном $V$ , как частное произведения $P$ × $V$ диагональным действием $G$ . Это частный случай связанной конструкции расслоения , и $E$ называется ассоциированным векторным расслоением $P$ . Если представление $G$ на $V$ верен , так что $G$ является подгруппой полной линейной группы GL( $V$ ), затем $E$ это $G$ -связка и $P$ обеспечивает сокращение структурной группы связки кадров $E$ от $GL(V)$ к $G$ . В этом смысле главные расслоения дают абстрактную формулировку теории расслоений фреймов.

Классификация основных пакетов [ править ]

Любая топологическая группа $G$ допускает классифицирующее пространство $BG$ : фактор-фактор по действию $G$ некоторого слабо стягиваемого пространства, например топологического пространства с исчезающими гомотопическими группами . Классифицирующее пространство обладает тем свойством, что любое $G$ главное расслоение над паракомпактным многообразием B изоморфно образу главного расслоения $EG \to BG$ . ^[5] На самом деле верно большее, поскольку набор классов изоморфизма главных $расслоений G$ над базой $B$ отождествляется с набором гомотопических классов отображений $B \to BG$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-00548-6 . стр. 35
^ Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8 . стр. 42
^ Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9 . стр. 37
^ Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5 . стр. 370
^ Сташефф, Джеймс Д. (1971), « H -пространства и классифицирующие пространства: основы и последние разработки», Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 247–272 , Теорема 2.

Источники [ править ]

Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы . Издательство Аддисон-Уэсли. ISBN 0-486-44546-1 .
Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ ((4-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-25907-4 .
Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8 .
Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9 .
Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00548-6 .

[1] Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-00548-6 . стр. 35

[2] Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8 . стр. 42

[3] Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9 . стр. 37

[4] Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5 . стр. 370

[5] Сташефф, Джеймс Д. (1971), « H -пространства и классифицирующие пространства: основы и последние разработки», Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 247–272 , Теорема 2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]