Почти контактный коллектор

В математической области дифференциальной геометрии почти контактная структура — это определенный вид геометрической структуры на гладком многообразии . Такие структуры были представлены Сигэо Сасаки в 1960 году.

Именно, учитывая гладкое многообразие $M,$ почти контактная структура представляет собой гиперплоское распределение $Q,$ почти сложная структура $J$ на $Q,$ и векторное поле $\xi$ что поперечно $Q.$ То есть для каждой точки $p$ из $M,$ коразмерности один выбирается линейное подпространство $Q_{p}$ касательного пространства $T_{p}M,$ линейная карта $J_{p}:Q_{p}\to Q_{p}$ такой, что $J_{p}\circ J_{p}=-\operatorname {id} _{Q_{p}},$ и элемент $\xi _{p}$ из $T_{p}M$ который не содержится в $Q_{p}.$

Имея такие данные, можно определить для каждого $p$ в $M,$ линейная карта $\eta _{p}:T_{p}M\to \mathbb {R}$ и линейная карта $\varphi _{p}:T_{p}M\to T_{p}M$ к

{\begin{aligned}\eta _{p}(u)&=0{\text{ if }}u\in Q_{p}\\\eta _{p}(\xi _{p})&=1\\\varphi _{p}(u)&=J_{p}(u){\text{ if }}u\in Q_{p}\\\varphi _{p}(\xi )&=0.\end{aligned}}

Это определяет одну форму

\eta

и (1,1)-тензорное поле

\varphi

на

M,

и можно проверить непосредственно, разложив

v

относительно в прямую сумму разложения

T_{p}M=Q_{p}\oplus \left\{k\xi _{p}:k\in \mathbb {R} \right\},

что

{\begin{aligned}\eta _{p}(v)\xi _{p}&=\varphi _{p}\circ \varphi _{p}(v)+v\end{aligned}}

для любого

v

в

T_{p}M.

И наоборот, можно определить почти контактную структуру как тройку

(\xi ,\eta ,\varphi )

который удовлетворяет двум условиям

$\eta _{p}(v)\xi _{p}=\varphi _{p}\circ \varphi _{p}(v)+v$ для любого $v\in T_{p}M$
$\eta _{p}(\xi _{p})=1$

Тогда можно определить $Q_{p}$ быть ядром линейного отображения $\eta _{p},$ и можно проверить, что ограничение $\varphi _{p}$ к $Q_{p}$ ценится в $Q_{p},$ тем самым определяя $J_{p}.$

Ссылки [ править ]

Дэвид Э. Блэр. Риманова геометрия контактных и симплектических многообразий. Второе издание. Progress in Mathematics, 203. Birkhäuser Boston, Ltd., Бостон, Массачусетс, 2010. xvi+343 стр. ISBN 978-0-8176-4958-6 , дои : 10.1007/978-0-8176-4959-3
Сасаки, Сигео (1960). «О дифференцируемых многообразиях с некоторыми структурами, тесно связанными с почти контактной структурой, I» . Математический журнал Тохоку . 12 (3): 459–476. дои : 10.2748/tmj/1178244407 .