Главный коллектор
В топологии , разделе математики , простым многообразием называется n - многообразие , которое не может быть выражено как нетривиальная связная сумма двух n -многообразий. Нетривиальность означает, что ни один из двух не является n -сферой . Аналогичным понятием является неприводимое n - многообразие, в котором любая вложенная ( n − 1)-сфера ограничивает вложенный n - шар . В этом определении неявно подразумевается использование подходящей категории , такой как категория дифференцируемых многообразий или категория кусочно-линейных многообразий .
Понятия неприводимости в алгебре и теории многообразий связаны. Неприводимое многообразие простое, хотя обратное неверно. С точки зрения алгебраиста, простые многообразия следует называть «неприводимыми»; однако тополог (в частности, тополог трехмерного многообразия) находит приведенное выше определение более полезным. Единственные компактные связные 3-многообразия , которые являются простыми, но не неприводимыми, — это тривиальное расслоение 2-сфер над кругом S. 1 и скрученное расслоение 2-сфер над S 1 .
Согласно теореме Хельмута Кнезера и Джона Милнора , каждое компактное ориентируемое 3-многообразие является связной суммой уникального ( с точностью до гомеоморфизма ) набора простых 3-многообразий.
Определения [ править ]
Рассмотрим конкретно 3-многообразия .
Неприводимое многообразие [ править ]
3-многообразие неприводима, если каждая гладкая сфера ограничивает шар. Более строго, дифференцируемое связное 3-многообразие неприводимо, если каждое дифференцируемое подмногообразие гомеоморфная сфере ограничивает подмножество (то есть, ), который гомеоморфен замкнутому шару
Трехмерное многообразие, не являющееся неприводимым, называется сокращаемый .
Первичные коллекторы [ править ]
Связное 3-многообразие является простым , если его нельзя выразить в виде связной суммы двух многообразий, ни одно из которых не является 3-сферой (или, что то же самое, ни то, ни другое не гомеоморфно ).
Примеры [ править ]
Евклидово пространство [ править ]
Трехмерное евклидово пространство неприводима: все гладкие 2-сферы в ней ограничивают шары.
С другой стороны, рогатая сфера Александра является негладкой сферой. это не связывает мяч. Таким образом, необходимо условие гладкости сферы.
Сфера, пространство линз [ править ]
3 -сфера является нередуцируемым. продукта Пространство не является неприводимым, поскольку любая 2-сфера (где это какая-то точка ) имеет связное дополнение, не являющееся шаром (это произведение 2-сферы и прямой).
линзы Пространство с (и, следовательно, не то же самое, что ) неприводимо.
Первичные многообразия и неприводимые многообразия [ править ]
3-многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно простое, за исключением двух случаев: произведения и неориентируемое расслоение 2-сферы над окружностью оба являются простыми, но не неприводимыми.
От неприводимого к простому [ править ]
Неприводимое многообразие является простым. Действительно, если мы выразим как связная сумма
От простого к неприводимому [ править ]
Позволять — простое трехмерное многообразие, и пусть быть вложенной в него 2-сферой. Резка дальше можно получить только одно многообразие или, возможно, можно получить только два многообразия и В последнем случае наклеивание шаров на вновь созданные сферические границы этих двух многообразий дает два многообразия. и такой, что
Осталось рассмотреть случай, когда можно разрезать вдоль и получить только один кусок, В этом случае существует замкнутая простая кривая в пересекающийся в одной точке. Позволять — объединение двух трубчатых окрестностей и Граница оказывается 2-сферой, которая разрезает на две части, и дополнение С является простым и не шар, дополнение должно быть шаром. Многообразие то, что следует из этого факта, почти предопределено, и тщательный анализ показывает, что это либо или другой, неориентируемый расслоений пучок над
Ссылки [ править ]
- Уильям Жако . Лекции по топологии 3-многообразия . ISBN 0-8218-1693-4 .