Форма подключения

В математике и, в частности, в дифференциальной геометрии , форма связи — это способ организации данных связи с использованием языка движущихся систем отсчета и дифференциальных форм .

Исторически формы связи были введены Эли Картаном в первой половине 20-го века как часть и одна из основных мотиваций его метода перемещения кадров. Форма связи обычно зависит от выбора системы координат и поэтому не является тензорным объектом. После первоначальной работы Картана были сформулированы различные обобщения и реинтерпретации формы связи. В частности, на главном расслоении представляет главное соединение собой естественную реинтерпретацию формы соединения как тензорного объекта. С другой стороны, форма связности имеет то преимущество, что она является дифференциальной формой, определенной на дифференцируемом многообразии , а не на абстрактном главном расслоении над ним. Следовательно, несмотря на отсутствие тензорности, формы связи продолжают использоваться из-за относительной простоты выполнения с ними вычислений. В физике формы связи также широко используются в контексте калибровочной теории через калибровочную ковариантную производную .

Форма связности сопоставляет каждому векторного расслоения матрицу дифференциальных базису форм. Форма связи не является тензорной, поскольку при изменении базиса форма связи трансформируется таким образом, что включает в себя внешнюю производную функций перехода , во многом так же, как символы Кристоффеля для связи Леви-Чивита . Основным тензорным инвариантом формы связности является ее форма кривизны . При наличии формы спая , отождествляющей векторное расслоение с касательным , существует дополнительный инвариант: форма кручения . Во многих случаях формы связности рассматриваются на векторных расслоениях с дополнительной структурой: расслоения со структурной группой .

Векторные пучки

См. также: Соединение (векторный пакет)

Кадры на векторном пакете

Основная статья: Комплект рамок

Пусть E — векторное расслоение размерности слоя k над дифференцируемым M. многообразием Локальный фрейм для E упорядоченный базис локальных сечений E. — это Всегда можно построить локальный фрейм, поскольку векторные расслоения всегда определяются в терминах локальных тривиализаций по аналогии с атласом многообразия. То есть для любой точки x на базовом многообразии M существует открытая окрестность U ⊂ M точки x , для которой векторное расслоение над U изоморфно пространству U × R ^к : это локальная тривиализация. Структура векторного пространства на R ^к тем самым может быть распространено на всю локальную тривиализацию, а базис на R ^к также может быть продлен; это определяет локальный фрейм. (Здесь R означает действительные числа $\mathbb {R}$, хотя большую часть разработок здесь можно распространить на модули над кольцами в целом и на векторные пространства над комплексными числами. $\mathbb {C}$ в частности.)

Пусть e = ( e _α ) _{α =1,2,..., k} — локальный репер на E . любого раздела E. Этот фрейм можно использовать для локального выражения Например, предположим, что ξ — локальное сечение, определенное на том же открытом множестве, что и фрейм e . Затем

$\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )$

где ξ ^а ( e обозначает компоненты ξ ) в системе отсчета e . В виде матричного уравнения это выглядит так:

$\xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )$

В общей теории относительности такие поля системы отсчета называются тетрадами . Тетрада конкретно связывает локальную систему координат с явной системой координат на базовом многообразии M (система координат на M устанавливается атласом).

Внешние соединения

Основная статья: Внешняя ковариантная производная

Связность . в E — это разновидность дифференциального оператора

$D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)$

где Γ обозначает пучок локальных сечений векторного расслоения, а Ω ¹ M — расслоение дифференциальных 1-форм на M . Чтобы D было связным, оно должно быть правильно связано с внешней производной . В частности, если v — локальное сечение E , а f — гладкая функция, то

$D(fv)=v\otimes (df)+fDv$

где df — внешняя производная f .

Иногда удобно распространить определение D на произвольные E -значные формы , рассматривая его, таким образом, как дифференциальный оператор на тензорном произведении E с полной внешней алгеброй дифференциальных форм. Учитывая внешнее соединение D, удовлетворяющее этому свойству совместимости, существует уникальное расширение D :

$D:\Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)$

такой, что

$D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha$

где v однородно степени deg v . Другими словами, D является дифференцированием на пучке градуированных модулей Γ( E ⊗ Ω ^* М ).

Формы подключения

Форма связи возникает при применении внешней связи к конкретному кадру е . При применении внешней связи к e _α это единственная матрица k × k ( ω _α ^б ) одноформ на M таких, что

$De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.$

В терминах формы соединения внешнюю связь любого участка Е. теперь можно выразить Например, предположим, что ξ = Σ _α e _α ξ ^а . Затем

$D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).$

Взяв компоненты с обеих сторон,

$D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )$

где подразумевается, что d и ω относятся к покомпонентной производной по системе отсчета e и матрице 1-форм соответственно, действующим на компоненты ξ . Наоборот, матрица 1-форм ω априори достаточна базис сечений e для того, чтобы полностью определить связность локально на открытом множестве, над которым определен .

Смена кадра

Чтобы распространить ω на подходящий глобальный объект, необходимо изучить, как он ведет себя при другого выбора основных сечений E. выборе Напишите ω _α ^б = ох _а ^б ( e ) для указания зависимости от выбора e .

Предположим, что e ′ — другой выбор локального базиса. Тогда существует обратимая матрица размера k × k функций g такая, что

${\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.$

Применение внешней связи к обеим сторонам дает закон преобразования для ω :

$\omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g.$

Отметим, в частности, что ω не преобразуется тензорным образом, поскольку правило перехода от одной системы отсчета к другой включает в себя производные матрицы перехода g .

Формы глобального подключения

Если { U _p } является открытым покрытием M и каждое U _p оснащено тривиализацией e _p E . , то можно определить глобальную форму соединения в терминах данных исправления между локальными формами соединения на перекрытии регионы. Более подробно, форма связности на M — это система матриц ω ( e _p ) 1-форм, определенных на каждом U _p , которые удовлетворяют следующему условию совместимости

$\omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).$

Это условие совместимости гарантирует, в частности, что внешняя связность сечения E , если рассматривать его абстрактно как сечение E ⊗ Ω ¹ M , не зависит от выбора раздела базиса, используемого для определения соединения.

Кривизна

Основная статья: Форма кривизны

формы Двусторонняя форма кривизны связности в E определяется формулой

$\Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).$

В отличие от формы связности, кривизна при смене системы отсчета ведет себя тензорно, что можно проверить непосредственно с помощью леммы Пуанкаре . В частности, если e → eg — смена системы отсчета , то двухформа кривизны преобразуется посредством

$\Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.$

Одна из интерпретаций этого закона трансформации состоит в следующем. Пусть е ^* — двойственный базис, соответствующий фрейму e . Тогда 2-форма

$\Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}$

не зависит от выбора кадра. В частности, Ω — векторнозначная двуформа на M со значениями в кольце эндоморфизмов Hom( E , E ). Символически,

$\Omega \in \Gamma (\Omega ^{2}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).$

В терминах внешней связи D эндоморфизм кривизны определяется выражением

$\Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,$

для v ∈ E . Таким образом, кривизна измеряет несостоятельность последовательности

$\Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M))$

быть цепным комплексом (в смысле когомологий де Рама ).

Пайка и кручение

что размерность слоя k пространства E равна размерности многообразия M. Предположим , В этом случае векторный пучок E иногда помимо своего соединения снабжается дополнительным элементом данных: формой пайки . Форма припоя — это глобально определенная векторная однозначная форма θ ∈ Ω. ¹ ( M , E ) такие, что отображение

$\theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}$

является линейным изоморфизмом для x ∈ M. всех можно определить Если задана форма пайки, то кручение соединения (по внешнему соединению) как

$\Theta =D\theta .\,$

Кручение Θ является E -значной 2-формой на M .

кручение могут быть описаны в терминах локальной рамки e из E. Форма припоя и связанное с ней Если θ — паяная форма, то она распадается на составляющие каркаса

$\theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.$

Тогда компоненты кручения будут

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).$

Как и в случае с кривизной, можно показать, что Θ ведет себя как контравариантный тензор при изменении системы отсчета:

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).$

Независимое от рамы кручение также можно восстановить из компонентов рамы:

$\Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).$

Личности Бьянки

Тождества Бьянки связывают кручение с кривизной. Первое тождество Бьянки гласит, что

$D\Theta =\Omega \wedge \theta$

в то время как второе тождество Бьянки утверждает, что

$\,D\Omega =0.$

Пример: связь Леви-Чивита

В качестве примера предположим, что M несет риманову метрику . Если у кого-то есть векторное расслоение E над M , то метрика может быть расширена на все векторное расслоение как метрика расслоения . Затем можно определить соединение, совместимое с этой метрикой пакета, это метрическое соединение . В частном случае, когда E является касательным расслоением TM , метрическая связность называется римановой связностью . Учитывая риманову связность, всегда можно найти уникальную эквивалентную связность без кручения . Это связность Леви-Чивита на касательном расслоении TM к M .

Локальный фрейм на касательном расслоении — это упорядоченный список векторных полей e = ( e _i | i = 1, 2, ..., n ) , где n = dim M , определенных на открытом подмножестве M , которые линейно независимы. в каждой точке своей территории. Символы Кристоффеля определяют связь Леви-Чивита посредством

$\nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.$

Если θ = { θ ^я | i = 1, 2, ..., n } обозначает двойственный базис кокасательного расслоения такой, что θ ^я ( е _j ) знак равно δ ^я _j ( дельта Кронекера ), то форма связи имеет вид

$\omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.$

С точки зрения формы связности внешняя связность на векторном поле v = Σ _i e _i v ^я дан кем-то

$Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.$

Отсюда можно восстановить связь Леви-Чивита в обычном смысле, сжав с ei _ее :

$\nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)$

Кривизна

Кривизной 2-формой связности Леви-Чивита является матрица (Ω _i ^дж ) предоставлено

$\Omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).$

что система e голономна Для простоты предположим , , так что dθ ^я = 0 . Затем, используя теперь соглашение о суммировании по повторяющимся индексам,

${\begin{array}{ll}\Omega _{i}{}^{j}&=d(\Gamma ^{j}{}_{qi}\theta ^{q})+(\Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi}+\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k}{}_{qi})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}$

где R — тензор кривизны Римана .

Торсион

Связность Леви-Чивита характеризуется как единственная метрическая связность в касательном расслоении с нулевым кручением. Чтобы описать кручение, заметим, что векторное расслоение E является касательным расслоением. Он имеет каноническую форму пайки (иногда называемую канонической одной формой , особенно в контексте классической механики ), которая представляет собой сечение θ Hom (TM , TM ) = T ^∗ M ⊗ TM, соответствующий тождественному эндоморфизму касательных пространств. В кадре e форма припоя — {{{1}}} , где снова θ ^я является двойственной основой.

Кручение соединения определяется соотношением Θ = Dθ или в терминах рамочных компонентов формы припоя выражением

$\Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.$

Если снова для простоты предположить, что e голономно, это выражение сводится к

$\Theta ^{i}=\Gamma ^{i}{}_{kj}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}$,

которое обращается в нуль тогда и только тогда, когда Γ ^я _kj симметричен по нижним индексам.

Учитывая метрическую связь с кручением, всегда можно найти единственное уникальное соединение без кручения, это соединение Леви-Чивита. Разница между римановой связью и связанной с ней связью Леви-Чивита заключается в тензоре искривления .

Структурные группы

Более конкретный тип формы связи может быть построен, когда векторное расслоение E несет в себе структурную группу . Это составляет предпочтительный класс фреймов e на E , которые связаны Ли G. группой Например, при наличии метрики в E работают с кадрами, образующими ортонормированный базис в каждой точке . Структурная группа тогда является ортогональной группой , поскольку эта группа сохраняет ортонормальность кадров. Другие примеры включают в себя:

• Обычные фреймы, рассмотренные в предыдущем разделе, имеют структурную группу GL( k ), где — размерность волокна E. k
• Голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия (или почти комплексного многообразия ). Здесь структурная группа равна GL _n ( C ) ⊂ GL _2n ( R ). Если задана эрмитова метрика , то структурная группа сводится к унитарной группе , действующей на унитарных реперах.
• Спиноры на многообразии, снабженном спиновой структурой . Фреймы унитарны относительно инвариантного скалярного произведения в спиновом пространстве, и группа сводится к спиновой группе .
• Голоморфные касательные расслоения на CR-многообразиях .

В общем, пусть E — заданное векторное расслоение размерности слоя k , а G ⊂ GL( k ) — заданная подгруппа Ли общей линейной группы R. ^к . Если ( e _α ) является локальной системой отсчета E , то матрица-функция ( g _i ^дж ): M → G может воздействовать на e _α , создавая новый кадр.

$e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.$

Два таких кадра G - связаны . Неформально векторное расслоение E имеет структуру G -расслоения , если указан предпочтительный класс кадров, все из которых локально G -связаны друг с другом. Формально E — это расслоение со структурной группой G , типичным слоем которого является R ^к с естественным действием G как подгруппы GL( k ).

Совместимые соединения

Соединение совместимо со структурой G -пакета на E при условии, что соответствующие параллельные транспортные карты всегда отправляют один G -кадр в другой. должно выполняться следующее Формально вдоль кривой γ локально (т. е. при достаточно малых значениях t ) :

$\Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)$

для некоторой матрицы g _α ^б (что также может зависеть от t ). Дифференцирование при t =0 дает

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))$

где коэффициенты ω _α ^б находятся в алгебре Ли g группы Ли G .

С учетом этого наблюдения форма связи ω _α ^б определяется

$De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )$

совместима со структурой , если матрица одноформ ω _α ^б ( e ) принимает свои значения в g .

При этом форма кривизны совместимой связности является g -значной двуформой.

Смена кадра

Под сменой кадра

$e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }$

где g — G - значная функция, определенная на открытом подмножестве M , форма связи преобразуется через

$\omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.$

Или, используя матричные продукты:

$\omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.$

Чтобы интерпретировать каждый из этих терминов, напомним, что g : M → G — это G -значная (локально определенная) функция. Имея это в виду,

$\omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )$

где ωg _— форма Маурера-Картана для группы G , здесь возвращенная к M вдоль функции g , а Ad — присоединенное представление группы G на ее алгебре Ли.

Основные пакеты

Форма соединения, представленная до сих пор, зависит от конкретного выбора кадра. В первом определении фрейм — это просто локальная основа разделов. Каждому кадру задана форма связи с законом преобразования для перехода от одного кадра к другому. Во втором определении сами фреймы несут некоторую дополнительную структуру, обеспечиваемую группой Ли, и изменения фрейма ограничиваются теми, которые принимают в нем свои значения. Язык главных связок, впервые предложенный Чарльзом Эресманном в 1940-х годах, обеспечивает способ организации этих многочисленных форм связи и законы трансформации, соединяющие их в единую внутреннюю форму с единым правилом трансформации. Недостатком этого подхода является то, что формы больше не определяются на самом многообразии, а скорее на более крупном главном расслоении.

Основное соединение для формы подключения

Предположим, что E → M — векторное расслоение со структурной G. группой Пусть { U — открытое покрытие M вместе с G -шкалами на каждом U , обозначаемыми eU _} . Они связаны на пересечениях перекрывающихся открытых множеств соотношением

${\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}$

для некоторой G -значной функции h _UV, определенной на U ∩ V .

Пусть F _G E — множество всех G- взятых по каждой точке М. фреймов , Это главное G над M. - расслоение Подробно, используя тот факт, что G все -кадры G -связаны, F _G E можно реализовать в терминах склейки данных между множествами открытой крышки:

$F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim$

где отношение эквивалентности $\sim$ определяется

$((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.$

На F _G E определите главную G -связность следующим образом, задав g -значную однозначную форму для каждого произведения U × G , которая соблюдает отношение эквивалентности в областях перекрытия. Сначала позвольте

$\pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G$

быть проекционными картами. Теперь для точки ( x , g ) ∈ U × G положим

$\omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.$

Построенная таким образом 1-форма ω учитывает переходы между перекрывающимися множествами и, следовательно, спускается, давая глобально определенную 1-форму на главном расслоении F _G E . Можно показать, что со является главной связностью в том смысле, что она воспроизводит образующие правого действия G на F _G E и эквивариантно переплетает правое действие на T(F _G E ) с присоединенным представлением G .

Формы подключения, связанные с основным соединением

И наоборот, главная G -связность ω в главном G -расслоении P → M порождает набор форм связности на M . Предположим, что : M → P — локальное сечение P. e Тогда обратный образ ω вдоль e определяет g -значную однозначную форму на M :

$\omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .$

Заменяя кадры G -значной функцией g , можно увидеть, что ω( e ) преобразуется требуемым образом с помощью правила Лейбница и присоединения:

$\langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle$

где X — вектор на M , а d обозначает движение вперед .

См. также

• Соединение Эресманн
• Картановое соединение
• Аффинное соединение
• Форма кривизны

Ссылки

• Черн С.-С. Темы дифференциальной геометрии , Институт перспективных исследований, конспекты лекций, отпечатанные на мимеографе, 1951.
• Чернь СС; Мозер, Дж. К. (1974), "Реальные гиперповерхности в комплексных многообразиях", Acta Math. , 133 : 219–271, doi : 10.1007/BF02392146
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1978), Принципы алгебраической геометрии , Джон Уайли и сыновья, ISBN  0-471-05059-8
• Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ (PDF) , Universitext (Шестое изд.), Springer, Гейдельберг, doi : 10.1007/978-3-642-21298-7 , ISBN  978-3-642-21297-0 , МР   2829653
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том. 2 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15732-5
• Спивак, Майкл (1999a), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 2) , Опубликуй или погибни, ISBN  0-914098-71-3
• Спивак, Майкл (1999b), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 3) , Опубликуй или погибни, ISBN  0-914098-72-1
• Уэллс, Р.О. (1973), Дифференциальный анализ комплексных многообразий , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90419-0
• Уэллс, Р.О. (1980), Дифференциальный анализ комплексных многообразий , Прентис – Холл