Гладкая структура

В математике гладкая структура многообразия допускает однозначное понятие гладкой функции . В частности, гладкая структура позволяет проводить математический анализ многообразия. ^[1]

Определение [ править ]

Гладкая структура на многообразии $M$ представляет собой набор гладко эквивалентных гладких атласов. Здесь гладкий атлас топологического многообразия. $M$ это атлас для $M$ такие, что каждая функция перехода представляет собой гладкую карту и два гладких атласа для $M$ при гладко эквивалентны условии, что их объединение снова представляет собой гладкий атлас $M.$ Это дает естественное отношение эквивалентности на множестве гладких атласов.

— Гладкое многообразие это топологическое многообразие. $M$ вместе с гладкой структурой на $M.$

Максимально гладкие атласы [ править ]

Объединив все атласы, принадлежащие гладкой структуре, получим максимальный гладкий атлас . Этот атлас содержит все диаграммы, совместимые с гладкой структурой. Между гладкими структурами и максимально гладкими атласами существует естественное взаимно однозначное соответствие. Таким образом, мы можем рассматривать гладкую структуру как максимально гладкий атлас и наоборот.

В общем случае вычисления с максимальным атласом многообразия довольно громоздки. Для большинства приложений достаточно выбрать атлас меньшего размера. Например, если многообразие компактно , то можно найти атлас только с конечным числом карт.

Эквивалентность гладких структур [ править ]

Если $\mu$ и $\nu$ два максимальных атласа на $M$ две гладкие структуры, связанные с $\mu$ и $\nu$ называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм $f:M\to M$ такой, что $\mu \circ f=\nu .$ ^{[ нужна цитата ]}

Экзотические сферы [ править ]

Джон Милнор показал в 1956 году, что семимерная сфера имеет гладкую структуру, не эквивалентную стандартной гладкой структуре. Сфера, имеющая нестандартную гладкую структуру, называется экзотической сферой .

Коллектор E8 [ править ]

Многообразие E8 является примером топологического многообразия , не допускающего гладкой структуры. По сути, это показывает, что теорема Рохлина справедлива только для гладких структур, а не для топологических многообразий вообще.

Связанные структуры [ править ]

Требования гладкости к функциям перехода могут быть ослаблены, так что карты перехода должны быть только $k$ -времена непрерывно дифференцируемые; или усиленный, так что карты перехода должны быть реально-аналитическими. Соответственно, это дает $C^{k}$ или (реально-)аналитическая структура на многообразии, а не гладкая. Аналогичным образом можно определить сложную структуру , потребовав, чтобы карты переходов были голоморфными.

См. также [ править ]

Гладкая рамка – обобщение упорядоченной основы векторного пространства.
Атлас (топология) - набор карт, описывающих многообразие.

Ссылки [ править ]

^ Каллахан, Джеймс Дж. (1974). «Особенности и плоские карты» . амер. Математика. Ежемесячно . 81 : 211–240. дои : 10.2307/2319521 .

Хирш, Моррис (1976). Дифференциальная топология . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-90148-5 .
Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-95448-6 .
Сепански, Марк Р. (2007). Компактные группы Ли . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-30263-8 .

[1] Каллахан, Джеймс Дж. (1974). «Особенности и плоские карты» . амер. Математика. Ежемесячно . 81 : 211–240. дои : 10.2307/2319521 .

[1]