Банахово многообразие

В математике — банахово многообразие это многообразие, смоделированное на банаховых пространствах . Таким образом, это топологическое пространство , в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную открытому множеству в банаховом пространстве (более сложное и формальное определение дано ниже). Банаховы многообразия являются одной из возможностей расширения многообразий до бесконечных измерений .

Дальнейшее обобщение касается многообразий Фреше с заменой банаховых пространств пространствами Фреше . С другой стороны, гильбертово многообразие является частным случаем банахова многообразия, в котором многообразие локально моделируется на гильбертовых пространствах .

Определение [ править ]

Позволять $X$ быть набором . Атлас  класса $C^{r},$ $r\geq 0,$ на $X$ представляет собой набор пар (называемых диаграммами ) $\left(U_{i},\varphi _{i}\right),$ $i\in I,$ такой, что

каждый $U_{i}$ является подмножеством $X$ и союз $U_{i}$ это весь $X$ ;
каждый $\varphi _{i}$ является биекцией из $U_{i}$ на открытое подмножество $\varphi _{i}\left(U_{i}\right)$ некоторого банахового пространства $E_{i},$ и для любых индексов $i{\text{ and }}j,$ $\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$ открыт в $E_{i};$
карта кроссовера $\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$ является $r$ -раз непрерывно дифференцируемая функция для каждого $i,j\in I;$ это $r$ Фреше производная $\mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)$ существует и является непрерывной функцией относительно $E_{i}$ - нормальная топология на подмножествах $E_{i}$ и топология операторной нормы на $\operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).$

Тогда можно показать, что существует уникальная топология на $X$ такой, что каждый $U_{i}$ открыт и каждый $\varphi _{i}$ является гомеоморфизмом . Очень часто это топологическое пространство предполагается хаусдорфовым , но это не обязательно с точки зрения формального определения.

Если все банаховы пространства $E_{i}$ равны одному и тому же пространству $E,$ атлас называется $E$ -атлас . не Однако априори обязательно, чтобы банаховы пространства $E_{i}$ быть тем же пространством или даже изоморфным , что и топологические векторные пространства . Однако если две диаграммы $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)$ и $\left(U_{j},\varphi _{j}\right)$ таковы, что $U_{i}$ и $U_{j}$ иметь непустое пересечение , быстрый просмотр производной карты пересечения

\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)

показывает, что

E_{i}

и

E_{j}

действительно должны быть изоморфны топологическим векторным пространствам. Кроме того, набор точек

x\in X

для чего есть схема

\left(U_{i},\varphi _{i}\right)

с

x

в

U_{i}

и

E_{i}

изоморфно данному банаховому пространству

E

бывает одновременно открытым и закрытым . Следовательно, можно без ограничения общности считать, что на каждой компоненте связности

X,

атлас – это

E

-атлас для некоторых фиксированных

E.

Новый график $(U,\varphi )$ называется совместимым с данным атласом $\left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}$ если карта кроссовера

\varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{i}\right)

является

r

-раз непрерывно дифференцируемая функция для каждого

i\in I.

Два атласа называются совместимыми, если каждая карта в одном совместима с другим атласом. Совместимость определяет отношение эквивалентности в классе всех возможных атласов на

X.

А $C^{r}$ -многообразная структура на $X$ тогда определяется как выбор класса эквивалентности атласов на $X$ класса $C^{r}.$ Если все банаховы пространства $E_{i}$ изоморфны топологическим векторным пространствам (что гарантированно будет иметь место, если $X$ связен ), то можно найти эквивалентный атлас , для которого все они равны некоторому банаховому пространству $E.$ $X$ тогда называется $E$ -многообразие , или так говорят $X$ создан образцу по $E.$

Примеры [ править ]

Каждое банахово пространство можно канонически идентифицировать как банахово многообразие. Если $(X,\|\,\cdot \,\|)$ является банаховым пространством, то $X$ — банахово многообразие с атласом, содержащим одну глобально определенную карту ( тождественную карту ).

Аналогично, если $U$ является открытым подмножеством некоторого банахова пространства, то $U$ является банаховым многообразием. (См. классификационную теорему ниже.)

Классификация с точностью до гомеоморфизма [ править ]

Ни в коем случае не верно, что конечномерное многообразие размерности $n$ гомеоморфен глобально $\mathbb {R} ^{n},$ или даже открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}.$ Однако в бесконечномерной ситуации можно довольно хорошо классифицировать « хорошие » банаховы многообразия с точностью до гомеоморфизма. Теорема Дэвида Хендерсона 1969 года. ^[1] что каждое бесконечномерное сепарабельное метрическое утверждает , банахово многообразие $X$ может быть вложено как открытое подмножество бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства, $H$ (с точностью до линейного изоморфизма существует только одно такое пространство, обычно отождествляемое с $\ell ^{2}$ ). Фактически, результат Хендерсона более сильный: тот же вывод справедлив для любого метрического многообразия, смоделированного на сепарабельном бесконечномерном пространстве Фреше .

Вкладывающий гомеоморфизм можно использовать как глобальную диаграмму для $X.$ Таким образом, в бесконечномерном сепарабельном метрическом случае «единственными» банаховыми многообразиями являются открытые подмножества гильбертова пространства.

См. также [ править ]

Банахово расслоение - векторное расслоение, слои которого образуют банахово пространство.
Дифференцирование в пространствах Фреше
Многообразие Финслера - гладкое многообразие, оснащенное функционалом Минковского в каждом касательном пространстве.
Многообразие Фреше - топологическое пространство, смоделированное на основе пространства Фреше, во многом так же, как многообразие смоделировано на основе евклидова пространства.
Глобальный анализ - который использует банаховы многообразия и другие виды бесконечномерных многообразий.
Гильбертово многообразие - Многообразие, смоделированное на гильбертовых пространствах.

Ссылки [ править ]

^ Хендерсон 1969 .

Авраам, Ральф; Марсден, Дж. Э.; Ратиу, Тюдор (1988). Многообразия, тензорный анализ и приложения . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-96790-7 .
Андерсон, Р.Д. (1969). «Сильно пренебрежимо малые множества в многообразиях Фреше» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 75 (1). Американское математическое общество (AMS): 64–67. дои : 10.1090/s0002-9904-1969-12146-4 . ISSN 0273-0979 . S2CID 34049979 .
Андерсон, РД; Шори, Р. (1969). «Факторы бесконечномерных многообразий» (PDF) . Труды Американского математического общества . 142 . Американское математическое общество (AMS): 315–330. дои : 10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5 . ISSN 0002-9947 .
Хендерсон, Дэвид В. (1969). «Бесконечномерные многообразия являются открытыми подмножествами гильбертова пространства» . Бык. амер. Математика. Соц . 75 (4): 759–762. дои : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . МР 0247634 .
Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс – Лондон – Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
Зейдлер, Эберхард (1997). Нелинейный функциональный анализ и его приложения. Том 4 . Спрингер-Верлаг Нью-Йорк Инк.

[FOOTNOTEHenderson1969-1] Хендерсон 1969 .

[1]

v т Это Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

v т Это банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics