Банахово многообразие

В математике банахово многообразие — это многообразие, смоделированное на банаховых пространствах . Таким образом, это топологическое пространство , в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную открытому множеству в банаховом пространстве (более сложное и формальное определение дано ниже). Банаховы многообразия являются одной из возможностей расширения многообразий до бесконечных измерений .

Дальнейшее обобщение относится к многообразиям Фреше с заменой банаховых пространств пространствами Фреше . С другой стороны, гильбертово многообразие является частным случаем банахова многообразия, в котором многообразие локально моделируется на гильбертовых пространствах .

Определение [ править ]

Позволять $X$ быть набором . Атлас  класса $C^{r},$ $r\geq 0,$ на $X$ представляет собой набор пар (называемых диаграммами ) $\left(U_{i},\varphi _{i}\right),$ $i\in I,$ такой, что

каждый $U_{i}$ является подмножеством $X$ и союз $U_{i}$ это весь $X$ ;
каждый $\varphi _{i}$ является биекцией из $U_{i}$ на открытое подмножество $\varphi _{i}\left(U_{i}\right)$ некоторого банахового пространства $E_{i},$ и для любых индексов $i{\text{ and }}j,$ $\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$ открыт в $E_{i};$
карта кроссовера $\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$ это $r$ -раз непрерывно дифференцируемая функция для каждого $i,j\in I;$ то есть $r$ Фреше производная $\mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)$ существует и является непрерывной функцией относительно $E_{i}$ - нормальная топология на подмножествах $E_{i}$ и топология операторной нормы на $\operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).$

Тогда можно показать, что существует уникальная топология на $X$ такой, что каждый $U_{i}$ открыт и каждый $\varphi _{i}$ является гомеоморфизмом . Очень часто это топологическое пространство предполагается хаусдорфовым , но это не обязательно с точки зрения формального определения.

Если все банаховы пространства $E_{i}$ равны одному и тому же пространству $E,$ атлас называется $E$ -атлас . не Однако априори обязательно, чтобы банаховы пространства $E_{i}$ быть тем же пространством или даже изоморфным, что и топологические векторные пространства . Однако если две диаграммы $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)$ и $\left(U_{j},\varphi _{j}\right)$ таковы, что $U_{i}$ и $U_{j}$ иметь непустое пересечение , быстрый просмотр производной карты пересечения

\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)

показывает, что

E_{i}

и

E_{j}

действительно должны быть изоморфны топологическим векторным пространствам. Кроме того, набор точек

x\in X

для чего есть схема

\left(U_{i},\varphi _{i}\right)

с

x

в

U_{i}

и

E_{i}

изоморфно данному банаховому пространству

E

бывает одновременно открытым и закрытым . Следовательно, можно без ограничения общности считать, что на каждой компоненте связности

X,

атлас – это

E

-атлас для некоторых фиксированных

E.

Новый график $(U,\varphi )$ называется совместимым с данным атласом $\left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}$ если карта кроссовера

\varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{i}\right)

это

r

-раз непрерывно дифференцируемая функция для каждого

i\in I.

Два атласа называются совместимыми, если каждая карта в одном совместима с другим атласом. Совместимость определяет отношение эквивалентности в классе всех возможных атласов на

X.

А $C^{r}$ -многообразная структура на $X$ тогда определяется как выбор класса эквивалентности атласов на $X$ класса $C^{r}.$ Если все банаховы пространства $E_{i}$ изоморфны топологическим векторным пространствам (что гарантированно будет иметь место, если $X$ связен ), то можно найти эквивалентный атлас , для которого все они равны некоторому банаховому пространству $E.$ $X$ тогда называется $E$ -многообразие , или так говорят $X$ создан образцу по $E.$

Примеры [ править ]

Каждое банахово пространство можно канонически идентифицировать как банахово многообразие. Если $(X,\|\,\cdot \,\|)$ является банаховым пространством, то $X$ — банахово многообразие с атласом, содержащим одну глобально определенную карту ( тождественную карту ).

Аналогично, если $U$ является открытым подмножеством некоторого банахова пространства, то $U$ является банаховым многообразием. (См. классификационную теорему ниже.)

Классификация с точностью до гомеоморфизма [ править ]

Ни в коем случае не верно, что конечномерное многообразие размерности $n$ гомеоморфен глобально $\mathbb {R} ^{n},$ или даже открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}.$ Однако в бесконечномерной ситуации можно довольно хорошо классифицировать « хорошие » банаховы многообразия с точностью до гомеоморфизма. Теорема Дэвида Хендерсона 1969 года. ^[1] что каждое бесконечномерное сепарабельное метрическое утверждает , банахово многообразие $X$ может быть вложено как открытое подмножество бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства, $H$ (с точностью до линейного изоморфизма существует только одно такое пространство, обычно отождествляемое с $\ell ^{2}$ ). Фактически, результат Хендерсона более сильный: тот же вывод справедлив для любого метрического многообразия, смоделированного на сепарабельном бесконечномерном пространстве Фреше .

Вкладывающий гомеоморфизм можно использовать как глобальную диаграмму для $X.$ Таким образом, в бесконечномерном сепарабельном метрическом случае «единственными» банаховыми многообразиями являются открытые подмножества гильбертова пространства.

См. также [ править ]

Банахово расслоение - векторное расслоение, слои которого образуют банахово пространство.
Дифференцирование в пространствах Фреше
Многообразие Финслера - гладкое многообразие, оснащенное функционалом Минковского в каждом касательном пространстве.
Многообразие Фреше - топологическое пространство, смоделированное на основе пространства Фреше, во многом так же, как многообразие смоделировано на основе евклидова пространства.
Глобальный анализ - который использует банаховы многообразия и другие виды бесконечномерных многообразий.
Гильбертово многообразие - Многообразие, смоделированное на гильбертовых пространствах.

Ссылки [ править ]

^ Хендерсон 1969 .

Авраам, Ральф; Марсден, Дж. Э.; Ратиу, Тюдор (1988). Многообразия, тензорный анализ и приложения . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-96790-7 .
Андерсон, Р.Д. (1969). «Сильно пренебрежимо малые множества в многообразиях Фреше» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 75 (1). Американское математическое общество (AMS): 64–67. дои : 10.1090/s0002-9904-1969-12146-4 . ISSN 0273-0979 . S2CID 34049979 .
Андерсон, РД; Шори, Р. (1969). «Факторы бесконечномерных многообразий» (PDF) . Труды Американского математического общества . 142 . Американское математическое общество (AMS): 315–330. дои : 10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5 . ISSN 0002-9947 .
Хендерсон, Дэвид В. (1969). «Бесконечномерные многообразия являются открытыми подмножествами гильбертова пространства» . Бык. амер. Математика. Соц . 75 (4): 759–762. дои : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . МР 0247634 .
Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс – Лондон – Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
Зейдлер, Эберхард (1997). Нелинейный функциональный анализ и его приложения. Том 4 . Спрингер-Верлаг Нью-Йорк Инк.

[FOOTNOTEHenderson1969-1] Хендерсон 1969 .

[1]

v т и Анализ в топологических векторных пространствах
Основные понятия	Абстрактное Винеровское пространство Классическое Винеровское пространство пространство Бохнера Выпуклая серия Цилиндр установленной меры Бесконечномерная векторная функция Матричное исчисление Векторное исчисление
Производные	Дифференцируемые векторные функции из евклидова пространства Дифференцирование в пространствах Фреше Производная Фреше Общий Функциональная производная Производные торты Направленный Обобщения производной Производная Адамара голоморфный Квазипроизводная
Измеримость	Besov measure Цилиндр установленной меры Канонический Гауссов Классическая мера Винера Измеряйте как множество функций бесконечномерная гауссова мера Прогнозируемая стоимость Вектор Бохнера / Слабо / Сильно измеримая функция Радонизирующая функция
Интегралы	Бохнер Прямой интеграл Данфорд Гельфанд–Петтис/Слабый Регулируемый Пейли – Винер
Результаты	Теорема Кэмерона – Мартина Теорема об обратной функции Nash–Moser theorem Теорема Фельдмана – Хайека Нет бесконечномерной меры Лебега. Sazonov's theorem Структурная теорема для гауссовских мер
Связанный	Морщинистая дуга Ковариационный оператор
Функциональное исчисление	Борелевское функциональное исчисление Непрерывное функциональное исчисление Голоморфное функциональное исчисление
Приложения	Банахово многообразие ( расслоение ) Удобное векторное пространство Теория Шоке Коллектор Фреше Гильбертово многообразие

v т и банахового пространства Темы
Типы банаховых пространств	Асплунд Банах список Банахова решетка Гротендик Гильберт Внутреннее пространство продукта Поляризационная идентичность ( Полиномиально ) Рефлексивный Рисс L-полувнутренний продукт ( Б Строго Равномерно ) выпуклый Равномерно гладкий ( Инъективный Проективное ) Тензорное произведение ( гильбертовых пространств )
Банаховы пространства – это:	ствольный Полный F-пространство Фреше приручить Локально выпуклый Полунормы / функционалы Минковского Макки метризуемый Нормированный норма Квазинормед Стереотип
Топологии функционального пространства	Компакт Банаха – Мазура Двойной Двойное пространство Двойная норма Оператор Ультраслабый Слабый полярный оператор Сильный полярный оператор Ультрасильный Равномерная сходимость
Линейные операторы	заместитель Билинейный форма оператор полуторалинейный ( Un ) Ограниченный Закрыто Компактный на гильбертовых пространствах ( Dis ) Непрерывный Плотно определены Фредхольм ядро оператор Гильберт-Шмидт Функционалы позитивный Псевдомонотонный Нормальный Ядерный Самосопряженный Строго единственное число Класс трассировки Транспонировать Унитарный
Теория операторов	Банаховы алгебры C-алгебры Место оператора Спектр C-алгебра радиус Спектральная теория ОДУ Спектральная теорема Полярное разложение Разложение по сингулярным значениям
Теоремы	Андерсон-Кадек Банач-Алаоглу Банах-Мазуры Банах-Сакс Банаха – Шаудера (открытое картирование) Банаха – Штейнгауза (равномерная ограниченность) Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца Закрытый график Закрытый диапазон Эберлейн-Шмулян Фрейденталь спектральный Гельфанд-Мазур Гельфанд–Наймарк Голдстайн Хан-Банах разделение гиперплоскости Какутани с фиксированной точкой Крейн-Мильман Инвариантное подпространство Ломоносова Макки-Аренс Лемма Мазура Расширение М. Рисса Личность Парсеваля Лемма Рисса Представительство Рисса Робинсон-Урсеску Вздрагивание фиксированной точки
Анализ	Абстрактное Винеровское пространство Банахово многообразие пучок пространство Бохнера Выпуклая серия Дифференцирование в пространствах Фреше Производные Фреше Торты функциональный голоморфный Почти Интегралы Бохнер Данфорд Гельфанд–Петтис регулируемый Пейли – Винер слабый Функциональное исчисление Борель непрерывный голоморфный Меры Лебег Прогнозируемая стоимость Вектор Слабо / сильно измеримая функция
Виды наборов	Абсолютно выпуклый поглощающий Аффинный Сбалансированный/Круглый Ограниченный Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Выпуклые ряды, связанные ((cs, lcs)-замкнутые, (cs, bcs)-полные, (нижние) идеально выпуклые, (H x ) и (Hw x )) Линейный конус (подмножество) Радиальный Радиально-выпуклый/звездообразный Симметричный Зонотоп
Подмножества/операции над множествами	Аффинная оболочка ( Относительный ) Алгебраическая внутренняя часть (ядро) Граничные точки Выпуклая оболочка Крайняя точка Интерьер Линейный пролет дополнение Минковского Полярный ( Как будто ) Относительно интерьера
Примеры	Абсолютная непрерывность переменного тока $ba(\Sigma )$ c космос Банахова координата BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Бирнбаум-Орлич Ограниченная вариация BV Пространство Bs Непрерывный C(K) с K компактом Хаусдорфа Харди Х ^п Гильберт Х Морри-Кампанато $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ ^п $\ell ^{\infty }$ л ^п $L^{\infty }$ взвешенный Шварц $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Сигал–Баргманн Ф Пространство последовательности Sobolev W ^к,п Sobolev inequality Трибель-Лизоркин Венская амальгама $W(X,L^{p})$
Приложения	Дифференциальный оператор Метод конечных элементов Математическая формулировка квантовой механики Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) Проверенные цифры