Орбифолд

Меня не следует винить в этой терминологии. Оно было получено в результате демократического процесса в течение моего курса 1976–1977 годов. Орбифолд — это нечто, имеющее множество складок; к сожалению, слово «многообразие» уже имеет другое определение. Я попробовал «фолдамани», которое было быстро заменено на «многообразный». После двух месяцев терпеливых заявлений «нет, не коллектор, манифоль мертв », мы провели голосование, и победил «орбифолд».

Терстон (1978–1981 , стр. 300, раздел 13.2), объясняющий происхождение слова «орбифолд».

Пример 23-звездочного орбифолда

В математических дисциплинах топологии и геометрии орбифолд (от «орбит-многообразие») является обобщением многообразия . Грубо говоря, орбифолд — это топологическое пространство , которое локально является конечным групповым фактором евклидова пространства .

Определения орбифолда давались несколько раз: Ичиро Сатаке в контексте автоморфных форм в 1950-х годах под названием V-многообразие ; Уильяма Терстона в контексте геометрии трехмерных многообразий в 1970-х годах. когда он придумал название орбифолд после голосования своих учеников; и Андре Хефлигером в 1980-х годах в контексте Михаила Громова программы по пространствам CAT (k) под названием орбиэдр .

Исторически орбифолды возникли как поверхности с особыми точками задолго до того, как они были формально определены. Один из первых классических примеров возник в теории модулярных форм. с действием модульной группы $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$на верхней полуплоскости : версия теоремы Римана–Роха справедлива после того, как фактор компактифицируется добавлением двух орбифолдных точек возврата. В теории трехмерных многообразий теория расслоений Зейферта , начатая Гербертом Зейфертом , может быть сформулирована в терминах двумерных орбифолдов. В геометрической теории групп постгромовские дискретные группы изучались с точки зрения свойств локальной кривизны орбиэдров и их накрывающих пространств.

В теории струн слово «орбифолд» имеет несколько иное значение, подробно обсуждается ниже. В двумерной конформной теории поля это относится к теории, связанной с подалгеброй неподвижной точки вершинной алгебры под действием конечной группы автоморфизмов .

пространство многообразия при собственно разрывном действии возможно бесконечной группы диффеоморфизмов Основным примером основного пространства является фактор - с конечными подгруппами изотропии . В частности, это относится к любому действию конечной группы ; таким образом, многообразие с краем имеет естественную структуру орбифолда, поскольку оно является фактором своего двойника по действию $\mathbb {Z} _{2}$.

Одно топологическое пространство может содержать разные орбифолдные структуры. Например, рассмотрим орбифолд O , связанный с факторпространством 2-сферы вдоль вращения на $\pi$; он гомеоморфен 2-сфере, но естественная структура орбифолда другая. Большинство характеристик многообразий можно адаптировать к орбифолдам, и эти характеристики обычно отличаются от соответствующих характеристик основного пространства. В приведенном выше примере орбифолдная фундаментальная O равна группа $\mathbb {Z} _{2}$ а его орбифолдная эйлерова характеристика равна 1.

Формальные определения

Определение с использованием атласа орбифолда

Как и многообразие, орбифолд определяется локальными условиями; однако вместо локального моделирования на открытых подмножествах $\mathbb {R} ^{n}$, орбифолд локально моделируется на факторах открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$действиями конечной группы. Структура орбифолда кодирует не только структуру базового фактор-пространства, которое не обязательно должно быть многообразием, но и структуру подгрупп изотропии .

Ан $n$-мерный орбифолд - это топологическое пространство Хаусдорфа. $X$, называемое базовым пространством , с покрытием набором открытых множеств $U_{i}$, замкнутый относительно конечного пересечения. Для каждого $U_{i}$, есть

• открытое подмножество $V_{i}$ из $\mathbb {R} ^{n}$, инвариантный относительно точного линейного действия конечной группы $\Gamma _{i}$;
• непрерывная карта $\varphi _{i}$ из $V_{i}$ на $U_{i}$ инвариант относительно $\Gamma _{i}$, называемая орбифолдной картой , которая определяет гомеоморфизм между $V_{i}/\Gamma _{i}$ и $U_{i}$.

Коллекция орбифолдных карт называется орбифолдным атласом, если выполняются следующие свойства:

• за каждое включение $U_{i}\subset U_{j}$ существует инъективный групповой гомоморфизм $f_{ij}:\Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}$.
• за каждое включение $U_{i}\subset U_{j}$ Eсть $\Gamma _{i}$- эквивариантный гомеоморфизм $\psi _{ij}$, называемая картой склейки , $V_{i}$ на открытое подмножество $V_{j}$.
• карты склейки совместимы с картами, т.е. $\varphi _{j}\circ \psi _{ij}=\varphi _{i}$.
• карты склейки уникальны с точностью до композиции с элементами группы, т.е. любая другая возможная карта склейки из $V_{i}$ к $V_{j}$ имеет форму $g\circ \psi _{ij}$ для уникального $g\in \Gamma _{j}$.

Что касается атласов на многообразиях , то два орбифолдных атласа $X$эквивалентны, если их можно последовательно объединить, чтобы получить более крупный атлас орбифолда. Таким образом, орбифолдная структура является классом эквивалентности орбифолдных атласов.

Обратите внимание, что структура орбифолда определяет подгруппу изотропии любой точки орбифолда с точностью до изоморфизма: ее можно вычислить как стабилизатор точки в любой карте орбифолда. Если ты _​ $\subset$ У _Дж $\subset$ U _k , то существует единственный переходный элемент gijk _что в Γ _k такой,

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

а также отношение коцикла (гарантирующее ассоциативность)

ж _км ( г _ijk ) · г _ikm знак равно г _ijm · г _jkm .

В более общем смысле к открытому покрытию орбифолда орбифолдными картами прикрепляются комбинаторные данные так называемого комплекса групп (см. ниже).

Точно так же, как и в случае с многообразиями, на отображения склейки можно наложить условия дифференцируемости, чтобы дать определение дифференцируемого орбифолда . Он будет римановым орбифолдом, если к тому же на картах орбифолда имеются инвариантные римановы метрики и карты склейки являются изометриями .

использованием группоидов

Напомним, что группоид состоит из набора объектов $G_{0}$, набор стрелок $G_{1}$и структурные карты, включая исходную и целевую карты. $s,t:G_{1}\to G_{0}$и другие карты, позволяющие составлять и инвертировать стрелки. Он называется группоидом Ли , если оба $G_{0}$ и $G_{1}$являются гладкими многообразиями, все структурные карты гладкие, а исходная и целевая карты являются погружениями. Пересечение исходного и целевого волокна в заданной точке $x\in G_{0}$, то есть набор $(G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)$, представляет собой группу Ли , называемую группой изотропии $G_{1}$ в $x$. Группоид Ли называется правильным , если отображение $(s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}$ является правильным отображением и этальным , если и исходное, и целевое отображение являются локальными диффеоморфизмами .

Орбифолдный группоид задается одним из следующих эквивалентных определений:

• собственный этиловый группоид Ли;
• собственный группоид Ли, изотропии которого являются дискретными пространствами .

Поскольку группы изотропии собственных группоидов автоматически компактны , из условия дискретности следует, что изотропии должны быть фактически конечными группами .

Орбифолдные группоиды играют ту же роль, что и орбифолдные атласы в приведенном выше определении. Действительно, орбифолдная структура в хаусдорфовом топологическом пространстве $X$ определяется как класс эквивалентности Мориты орбифолдного группоида $G\rightrightarrows M$ вместе с гомеоморфизмом $|M/G|\simeq X$, где $|M/G|$ - пространство орбит группоида Ли $G$ (т.е. частное $M$ эквивалентным соотношением, когда $x\sim y$ если есть $g\in G$ с $s(g)=x$ и $t(g)=y$). Это определение показывает, что орбифолды представляют собой особый вид дифференцируемой стопки .

Связь между двумя определениями

Дан орбифолдный атлас пространства. $X$, можно построить псевдогруппу , состоящую из всех диффеоморфизмов между открытыми множествами $X$ сохраняющие функции перехода $\varphi _{i}$. В свою очередь, пространство $G_{X}$ростков своих элементов является орбифолдным группоидом. Более того, поскольку по определению орбифолдного атласа каждая конечная группа $\Gamma _{i}$ действует добросовестно на $V_{i}$, группоид $G_{X}$ автоматически вступает в силу, т.е. карта $g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1})$ инъективен для каждого $x\in X$. Два разных атласа орбифолда порождают одну и ту же структуру орбифолда тогда и только тогда, когда связанные с ними группоиды орбифолда эквивалентны Морита. Следовательно, любая орбифолдная структура согласно первому определению (также называемая классическим орбифолдом ) является особым видом орбифолдной структуры согласно второму определению.

И наоборот, для орбифолдного группоида $G\rightrightarrows M$, существует канонический орбифолдный атлас над пространством его орбит, связанный с ним эффективный орбифолдный группоид Морита эквивалентен $G$. Поскольку пространства орбит эквивалентных по Морите группоидов гомеоморфны, орбифолдная структура согласно второму определению приводит к орбифолдной структуре согласно первому определению в эффективном случае.

Соответственно, хотя понятие орбифолдного атласа проще и чаще встречается в литературе, понятие орбифолдного группоида особенно полезно при обсуждении неэффективных орбифолдов и карт между орбифолдами. Например, карта между орбифолдами может быть описана гомоморфизмом между группоидами, который несет больше информации, чем лежащее в основе непрерывное отображение между основными топологическими пространствами.

Примеры

• Любое многообразие без края тривиально является орбифолдом, где каждая из групп Γ _i является тривиальной группой . Эквивалентно, это соответствует классу эквивалентности Мориты единичного группоида.
• Если N — компактное многообразие с краем , его дубль M можно образовать путем склейки копии N и его зеркального изображения вдоль их общей границы. Имеется естественное отражательное действие Z ₂ на многообразие M , фиксирующее общую границу; факторпространство можно отождествить с N , так что N имеет естественную орбифолдную структуру.
• Если M — риманово n -многообразие с кокомпактным собственным изометрическим действием дискретной группы Γ, то пространство орбит X = M /Γ имеет естественную орбифолдную структуру: для каждого x в X возьмем представителя m в M и открытую окрестность V _m из m, инвариантное относительно стабилизатора Γ _m , эквивариантно идентифицируемое с Γ _m -подмножеством T _m M относительно экспоненциального отображения в m ; конечное число окрестностей покрывает X , и каждое их конечное пересечение, если оно не пусто, покрывается пересечением Γ-переносов g _m · V _m с соответствующей группой g _m Γ g _m ⁻¹ . Орбифолды, возникающие таким образом, называются развертывающимися или хорошими .
• Классическая теорема Анри Пуанкаре строит фуксовы группы как гиперболические группы отражений , порожденные отражениями в ребрах геодезического треугольника в гиперболической плоскости для метрики Пуанкаре . Если треугольник имеет углы π / n _i для натуральных чисел n _i , треугольник является фундаментальной областью и, естественно, двумерным орбифолдом. Соответствующая группа является примером группы гиперболического треугольника . Пуанкаре также дал трехмерную версию этого результата для клейновых групп : в этом случае клейнова группа Γ порождается гиперболическими отражениями, а орбифолд равен H ³ / С.
• Если M — замкнутое 2-многообразие, новые орбифолдные структуры могут быть определены на Mi , удалив конечное число непересекающихся замкнутых дисков из M и склеив обратно копии дисков D / Γ _i , где D — замкнутый единичный круг , а Γ _i — конечный циклическая группа вращений. Это обобщает конструкцию Пуанкаре.

группа

Есть несколько способов определить фундаментальную группу орбифолда . подходы используют орбифолдные накрывающие пространства или классифицирующие пространства группоидов . Более сложные Самый простой подход (принятый Хефлигером и известный также Терстону) расширяет обычное понятие петли, используемое в стандартном определении фундаментальной группы .

Орбифолдный путь — это путь в базовом пространстве, снабженный явным кусочным подъемом сегментов пути к орбифолдным диаграммам и явными элементами группы, идентифицирующими пути в перекрывающихся диаграммах; если базовый путь является петлей, он называется орбифолдной петлей . Два орбифолдных пути идентифицируются, если они связаны путем умножения на элементы группы в орбифолдных диаграммах. Фундаментальная группа орбифолдов — это группа, образованная гомотопическими классами орбифолдных петель.

Если орбифолд возникает как фактор односвязного многообразия M по собственному жесткому действию дискретной группы Γ, фундаментальная группа орбифолда может быть отождествлена ​​с Γ. В общем случае это расширение Γ посредством π ₁ M .

Орбифолд называется развивающимся или хорошим , если он возникает как фактор группового действия; иначе это называется плохим . Универсальное накрывающее орбифолд можно построить для орбифолда по прямой аналогии с построением универсального накрывающего топологического пространства, а именно как пространства пар, состоящих из точек орбифолда и гомотопических классов орбифолдных путей, соединяющих их с базовой точкой. Это пространство, естественно, является орбифолдом.

Заметим, что если орбифолдная карта на стягиваемом открытом подмножестве соответствует группе Γ, то существует естественный локальный гомоморфизм Γ в фундаментальную группу орбифолда.

Фактически следующие условия эквивалентны:

• Орбифолд развертывается.
• Орбифолдная структура на универсальном накрывающем орбифолде тривиальна.
• Все локальные гомоморфизмы инъективны для покрытия стягиваемыми открытыми множествами.

Орбифолды

Орбифолды можно определить в общих рамках диффеологии. и оказались эквивалентными к Ичиро Сатаке : первоначальному определению

Определение: Орбифолд — это диффеологическое пространство, локально диффеоморфное в каждой точке некоторому $\mathbb {R} ^{n}/G$, где $n$ является целым числом и $G$ — конечная линейная группа, которая может меняться от точки к точке.

Это определение требует нескольких замечаний:

• Это определение имитирует определение многообразия в диффеологии, которое представляет собой диффеологическое пространство, локально диффеоморфное в каждой точке $\mathbb {R} ^{n}$.
• Орбифолд рассматривается в первую очередь как диффеологическое пространство, множество, снабженное диффеологией. Затем диффеология проверяется на локальную диффеоморфность в каждой точке фактору $\mathbb {R} ^{n}/G$ с $G$ конечная линейная группа.
• Это определение эквивалентно с орбифолдами Хефлигера.
• {Орбифолды} составляют подкатегорию категории {Диффеология}, объектами которой являются диффеологические пространства и гладкие карты морфизмов. Гладкое отображение орбифолдов — это любое отображение, гладкое с точки зрения их диффеологии. В контексте определения Сатаке это разрешает его замечание: « Представление о $C^{\infty }$Определенная таким образом -map неудобна в том смысле, что композиция из двух $C^{\infty }$-карта, определенная в другом выборе определяющих семейств, не всегда является $C^{\infty }$-карта. «Действительно, существуют гладкие отображения между орбифолдами, которые не поднимаются локально как эквивариантные отображения.

Обратите внимание, что фундаментальная группа орбифолда как диффеологического пространства не совпадает с фундаментальной группой, определенной выше. Последнее связано со структурным группоидом. и его группы изотропии.

Орбипространства

Для приложений в геометрической теории групп часто бывает удобно иметь несколько более общее понятие орбифолда, предложенное Хефлигером. Орбипространство для топологических пространств — то же самое , что орбифолд для многообразий. Орбипространство — это топологическое обобщение концепции орбифолда. Оно определяется путем замены модели орбифолдных карт локально компактным пространством с жестким действием конечной группы, т.е. такой, для которой точки с тривиальной изотропией плотны. (Это условие автоматически удовлетворяется точными линейными действиями, поскольку точки, фиксированные любым нетривиальным элементом группы, образуют собственное линейное подпространство .) Также полезно рассматривать структуры метрического пространства в орбипространстве, заданные инвариантными метриками на картах орбипространства. для которых карты склейки сохраняют расстояние. В этом случае каждая карта орбипространства обычно должна представлять собой пространство длины с уникальными геодезическими, соединяющими любые две точки.

Пусть X — орбипространство, наделенное метрической пространственной структурой, карты которого являются пространствами геодезических длин. Предыдущие определения и результаты для орбифолдов можно обобщить, чтобы дать определения фундаментальной группы орбипространства и универсального накрывающего орбипространства с аналогичными критериями развертываемости. Функции расстояния на картах орбипространства можно использовать для определения длины пути орбипространства в универсальном покрывающем орбипространстве. Если функция расстояния на каждой карте имеет неположительную кривую , то аргумент сокращения кривой Биркгофа можно использовать для доказательства того, что любой путь в орбипространстве с фиксированными конечными точками гомотопен уникальной геодезической. Применяя это к постоянным путям в карте орбипространства, отсюда следует, что каждый локальный гомоморфизм инъективен и, следовательно:

• любое орбипространство неположительной кривизны развертывается (т.е. хорошо ).

Комплексы групп

С каждым орбифолдом связана дополнительная комбинаторная структура, заданная комплексом групп .

Определение

Комплекс групп ( Y , f , g ) на абстрактном симплициальном комплексе Y задается формулой

• конечная группа Γ _σ для каждого симплекса σ группы Y
• инъективный гомоморфизм f _f : Γ _t $\rightarrow$ C _{всякий раз, когда} p $\subset$ т
• для любого включения ρ $\subset$ п $\subset$ групповой gρσ _, в _ρ такой gρσ _​ ) — _Γ что τ _; элемент Ad ₍ ​ ​ ​

Элементы группы должны дополнительно удовлетворять условию коцикла

ж _{π ρ} ( грамм _ρσ ) грамм _πρτ знак равно грамм _{π σ} грамм _{π ρσ}

для каждой цепочки симплексов $\pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .$ (Это условие бессмысленно, если Y имеет размерность 2 или меньше.)

Любой выбор элементов h _στ в Γ _σ дает эквивалентный комплекс групп, определив

• ж' _ж = (Ад ж _ж ; ч ₎
• ' _ρσ равно час _ρσ · ж _ρσ ( час _σ ; г _знак ) ​ _​ ⁻¹

Комплекс групп называется простым если gρστ _, = 1 всюду.

• Простое индуктивное рассуждение показывает, что любой комплекс групп на симплексе эквивалентен комплексу групп с g _ρστ = 1 всюду.

бывает удобнее и концептуальнее перейти к барицентрическому подразделению Y Часто . Вершины этого подразделения соответствуют симплексам Y , так что к каждой вершине прикреплена группа. Ребра барицентрического подразделения естественно ориентированы (соответствуют включениям симплексов), и каждое направленное ребро дает включение групп. К каждому треугольнику прикреплен переходный элемент, принадлежащий группе ровно из одной вершины; а тетраэдры, если они есть, задают коциклические соотношения для переходных элементов. Таким образом, комплекс групп включает в себя только 3-скелет барицентрического подразделения; и только 2-скелет, если он простой.

Пример

Если X выберите покрытие открытыми подмножествами среди орбифолдных карт f _i : Vi _{— орбифолд (или орбипространство) ,} $\rightarrow$ У _я . Пусть Y — абстрактный симплициальный комплекс, заданный нервом покрытия : его вершины — множества покрытия, а его n -симплексов соответствуют непустым пересечениям U _α = U _{i 1} $\cap$ ··· $\cap$ У _{и н} . Для каждого такого симплекса существует ассоциированная группа Γ _α и гомоморфизмы f _ij становятся гомоморфизмами f _στ . Для каждой тройки ρ $\subset$ п $\subset$ τ, соответствующие пересечениям

$U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$

есть карты φ _i : V _i $\rightarrow$ U _i , φ _ij : V _ij $\rightarrow$ ты _я $\cap$ U _j и φ _ijk : V _ijk $\rightarrow$ ты _я $\cap$ У _Дж $\cap$ U _k и отображения склейки ψ : V _ij $\rightarrow$ V _i , ψ' : V _ijk $\rightarrow$ V _ij и ψ" : V _ijk $\rightarrow$ Ви _​ .

Существует единственный переходный элемент g _ρστ в Γ _i такой, что g _ρστ · ψ " = ψ · ψ ′ . Из соотношений, которым удовлетворяют переходные элементы орбифолда, следуют соотношения, необходимые для комплекса групп. Таким образом, комплекс групп могут быть канонически ассоциированы с нервом открытого покрытия орбифолдными (или орбипространственными) картами. На языке некоммутативной теории пучков и гербов комплекс групп в этом случае возникает как пучок групп, ассоциированных с покрытием U _i. данные g _ρστ являются 2-коциклом в некоммутативных пучковых когомологиях , а данные h _στ дают 2-кограничное возмущение.

Группа краевых путей

Группу реберных путей комплекса групп можно определить как естественное обобщение группы реберных путей симплициального комплекса. В барицентрическом подразделении Y возьмем генераторы e _ij , соответствующие ребрам от i до j , где i $\rightarrow$ j , так что существует инъекция ψ _ij : Γ _i $\rightarrow$Г _Дж . Пусть Γ — группа, порожденная e _ij и Γ _k с соотношениями

е _ij ⁻¹ · г · е _ij знак равно ψ _ij ( г )

для g в Γ _i и

е _я знак равно е _jk · е _ij · g _ijk

Если я $\rightarrow$ дж $\rightarrow$ к .

Для фиксированной вершины i ₀ группа реберных путей Γ( i ₀ ) определяется как подгруппа Γ, порожденная всеми произведениями

г ₀ · е я _{0 я 1 ·} г 1 _· е _{я 1 я 2} · ··· · г _n · е _{п я я 0}

где я ₀ , я ₁ , ..., я _п , я ₀ — реберный путь, g _k лежит в Γ _{i k} и e _ji = e _ij ⁻¹ Если я $\rightarrow$ Дж .

Развивающиеся комплексы

Симплициальное собственное действие дискретной группы Γ на симплициальном комплексе X с конечным фактором называется регулярным , если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• X допускает конечный подкомплекс в качестве фундаментальной области ;
• фактор Y = X /Γ имеет естественную симплициальную структуру;
• факторсимплициальная структура на орбитах-представителях вершин непротиворечива;
• если ( v ₀ , ..., v _k ) и ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) являются симплексами, то g · v _i = gi _· v i _. для некоторого g из Γ

Фундаментальная область и фактор Y = X /Γ в этом случае естественным образом могут быть идентифицированы как симплициальные комплексы, заданные стабилизаторами симплексов в фундаментальной области. Комплекс групп Y называется развивающимся, если он возникает таким образом.

• Комплекс групп развертывается тогда и только тогда, когда гомоморфизмы Γ _σ в группу реберных путей инъективны.
• Комплекс групп развертывается тогда и только тогда, когда для каждого симплекса σ существует инъективный гомоморфизм θ _σ из Γ _σ в фиксированную дискретную группу Γ такой, что θ _τ · f _στ = θ _σ . В этом случае симплициальный комплекс X определен канонически: он имеет k -симплексов (σ, xΓ _σ ), где σ — k -симплекс Y , а x пробегает Γ/Γ _σ . используя тот факт, что ограничение комплекса групп на симплекс эквивалентно сужению с тривиальным коциклом gρστ _{Непротиворечивость можно проверить ,} .

Действие Γ на барицентрическое подразделение X ' пространства X всегда удовлетворяет следующему условию, более слабому, чем регулярность:

• всякий раз, когда σ и g · σ являются подсимплексами некоторого симплекса τ, они равны, т. е. σ = g · σ

Действительно, симплексы в X ' соответствуют цепочкам симплексов в X , так что подсимплекс, заданный подцепями симплексов, однозначно определяется размерами симплексов в подцепи. Если действие удовлетворяет этому условию, то g обязательно фиксирует все вершины σ. Прямой индуктивный аргумент показывает, что такое действие становится регулярным на барицентрическом подразделении; в частности

• действие на втором барицентрическом подразделении X " регулярно;
• Γ естественно изоморфна группе реберных путей, определенной с использованием реберных путей и стабилизаторов вершин для барицентрического подразделения фундаментальной области в X ".

Фактически нет необходимости переходить к третьему барицентрическому подразделению: как замечает Хефлигер, используя язык теории категорий , в этом случае 3-скелет фундаментальной области X «уже несет все необходимые данные, включая переходные элементы для треугольников. – определить группу ребер и путей, изоморфную Γ.

В двух измерениях это особенно просто описать. Фундаментальная область X " имеет ту же структуру, что и барицентрическое подразделение Y ' комплекса групп Y , а именно:

• конечный двумерный симплициальный комплекс Z ;
• ориентация для всех ребер i $\rightarrow$ Дж ;
• Если я $\rightarrow$ Джей и Джей $\rightarrow$ k — ребра, то i $\rightarrow$ k — ребро, а ( i , j , k ) — треугольник;
• конечные группы, прикрепленные к вершинам, включения к ребрам и переходные элементы, описывающие совместность, к треугольникам.

Затем можно определить группу реберных путей. Подобную структуру наследует барицентрическое подразделение Z ', и его группа реберных путей изоморфна группе Z .

Орбиэдры

Если счетная дискретная группа действует регулярным симплициальным собственным действием на симплициальный комплекс , то фактору можно задать не только структуру комплекса групп, но и структуру орбипространства. В более общем смысле это приводит к определению «орбиэдра», симплициального аналога орбифолда.

Определение

Пусть X — конечный симплициальный комплекс с барицентрическим подразделением X '. состоит Структура орбиэдра из:

• для каждой вершины i из X ', симплициальный комплекс L _i ', наделенный жестким симплициальным действием конечной группы Γ _i .
• симплициальное отображение φ _i из L _i ' на связь L _i из i в X , отождествляющее фактор L _i ' / Γ _i с Li _. '

Это действие Γ _i на L _i ' продолжается до симплициального действия на симплициальном конусе C _i над Li _' (симплициальное соединение i и Li _' ), фиксируя центр i конуса. Отображение φ _i продолжается до симплициального отображения C _i на звезду St( i ) of i , переносящую центр на i ; φ _i отождествляет C _i / Γ _i , фактор звезды i в Ci _{таким образом ,} , с St( i ) и дает диаграмму орбиэдра в i .

• для каждого направленного ребра i $\rightarrow$ j из X ', инъективный гомоморфизм f _ij из Γ _i в Γ _j .
• для каждого направленного ребра i $\rightarrow$ j , Γ _i эквивариантное отображение ψ _ij склейки C _i в C _j простое
• карты склейки совместимы с картами, т.е. φ _j ·ψ _ij = φ _i .
• карты склейки уникальны с точностью до композиции с элементами группы, т.е. любое другое возможное отображение склейки из в _Vi V j _имеет вид g ·ψ _ij для единственного g в Γ _j .

Если я $\rightarrow$ дж $\rightarrow$ k , то существует единственный переходный элемент gijk _что в Γ _k такой,

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

а также соотношение коцикла

ψ _км ( г _ijk ) · г _ikm знак равно г _ijm · г _jkm .

Основные свойства

• групповые данные орбиэдра дают комплекс групп на X , поскольку вершины i барицентрического подразделения X ' соответствуют симплексам в X. Теоретико -
• Каждому комплексу групп на X соответствует существенно уникальная структура орбиэдра на X . Этот ключевой факт следует из того, что звезда и связь вершины i из X ', соответствующие симплексу σ из X , имеют естественные разложения: звезда изоморфна абстрактному симплициальному комплексу, заданному объединением σ и барицентрического подразделения. σ' от σ; и звено изоморфно соединению звена σ в X и звена барицентра σ в σ'. Ограничивая комплекс групп звеном σ в X , все группы Γ _τ приходят с инъективными гомоморфизмами в Γ _σ . Поскольку звено i в X ' канонически покрывается симплициальным комплексом, на котором действует Γ _σ , это определяет структуру орбиэдра на X .
• Фундаментальная группа орбиэдра (тавтологически) является просто группой ребер соответствующего комплекса групп.
• Каждый орбиэдр, естественно, также является орбипространством: действительно, в геометрической реализации симплициального комплекса диаграммы орбипространства могут быть определены с использованием внутренностей звезд.
• Фундаментальную группу орбиэдра можно естественным образом отождествить с фундаментальной группой орбипространства соответствующего орбипространства. Это следует путем применения теоремы о симплициальной аппроксимации к сегментам пути орбипространства, лежащим в карте орбипространства: это прямой вариант классического доказательства того, что группа многогранника фундаментальная может быть отождествлена ​​с его группой путей ребер .
• Орбипространство, связанное с орбиэдром, имеет каноническую метрическую структуру , локально происходящую из метрики длины в стандартной геометрической реализации в евклидовом пространстве, с вершинами, сопоставленными с ортонормированным базисом. Также используются другие метрические структуры, включающие метрики длины, полученные путем реализации симплексов в гиперболическом пространстве , причем симплексы идентифицируются изометрически вдоль общих границ.
• Орбипространство, связанное с орбиэдром, является неположительно искривленным тогда и только тогда, когда звено в каждой диаграмме орбиэдра имеет обхват больше или равный 6, т.е. любой замкнутый контур в звене имеет длину не менее 6. Это условие, хорошо известное из теория пространств Адамара зависит только от лежащего в основе комплекса групп.
• Когда универсальный накрывающий орбиэдр неположительно искривлен, фундаментальная группа бесконечна и порождается изоморфными копиями групп изотропии. Это следует из соответствующего результата для орбипространств.

Треугольники групп

Исторически одно из наиболее важных применений орбифолдов в геометрической теории групп было к треугольникам групп . Это простейший двумерный пример, обобщающий одномерный «интервал групп», обсуждавшийся в объединенные лекциях Серра о деревьях, где свободные произведения изучаются в терминах действий на деревьях. Такие треугольники групп возникают всякий раз, когда дискретная группа просто транзитивно действует на треугольники в аффинном здании Брюа–Титса для SL ₃ ( Q _p ); в 1979 году Мамфорд открыл первый пример для p = 2 (см. ниже) как этап создания алгебраической поверхности, не изоморфной проективному пространству , но имеющей те же числа Бетти . Треугольники групп были подробно разработаны Герстеном и Столлингсом, тогда как более общий случай комплексов групп, описанный выше, был независимо развит Хефлигером. Основной геометрический метод анализа конечно представленных групп в терминах метрических пространств неположительной кривизны принадлежит Громову. В этом контексте треугольники групп соответствуют двумерным симплициальным комплексам неположительной кривизны с регулярным действием группы: транзитивен на треугольниках .

Треугольник групп — это простой состоящий из треугольника с вершинами A , B , C. комплекс групп , Есть группы

• Γ _A , Γ _B , Γ _C в каждой вершине
• Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB для каждого ребра
• Γ _ABC для самого треугольника.

Существуют инъективные гомоморфизмы группы Γ _ABC во все остальные группы и группы ребер Γ _XY в Γ _X и Γ _Y . Все три способа отображения Γ _ABC в группу вершин совпадают. (Часто Γ _ABC является тривиальной группой.) Евклидова метрическая структура в соответствующем орбипространстве является неположительной кривизной тогда и только тогда, когда связь каждой вершины в диаграмме орбиэдра имеет обхват не менее 6.

Этот обхват в каждой вершине всегда четный и, как заметил Столлингс, может быть описан в вершине A , скажем, как длина наименьшего слова в ядре естественного гомоморфизма в Γ _A объединенного свободного произведения над Γ _ABC. групп ребер Γ _AB и Γ _AC :

$\Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.$

Результат с использованием евклидовой метрической структуры не является оптимальным. Углы α, β, γ в вершинах A , B и C были определены Столлингсом как 2π, разделенные на обхват. В евклидовом случае α, β, γ ≤ π/3. Однако если требуется только, чтобы α + β + γ ≤ π, можно идентифицировать треугольник с соответствующим геодезическим треугольником в гиперболической плоскости с метрикой Пуанкаре (или евклидовой плоскости, если выполнено равенство). Это классический результат гиперболической геометрии: гиперболические медианы пересекаются в гиперболическом барицентре, точно так же, как в знакомом евклидовом случае. Барицентрическое подразделение и метрика из этой модели дают метрическую структуру неположительной кривизны в соответствующем орбипространстве. Таким образом, если α+β+γ≤π,

• орбипространство треугольника групп развертывающееся;
• соответствующая группа путей ребер, которую также можно описать как копредел треугольника групп, бесконечна;
• гомоморфизмы групп вершин в группу реберных путей являются инъекциями.

Пример Мамфорда

Самолет Фано

Пусть α = ${\sqrt {-7}}$ быть задано биномиальным разложением (1 - 8) ^1/2 в Q ₂ и положим K = Q ( α ) $\subset$ Вопрос ₂ . Позволять

ζ = exp 2 π i /7

λ = ( α − 1)/2 = ζ + ζ ² + г ⁴

μ = λ / λ *.

Пусть E = Q ( ζ ), трехмерное векторное пространство над K с базисом 1, ζ и ζ. ² . Определим K -линейные операторы на E следующим образом:

• σ — генератор группы Галуа группы E над K , элемент порядка 3, заданный формулой σ(ζ) = ζ ²
• τ — оператор умножения на ζ на E , элемент порядка 7
• ρ — оператор, заданный формулами ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ и ρ (1) = µ · ζ ² , так что ρ ³ скалярное умножение на µ .

Элементы ρ , σ и τ порождают дискретную подгруппу группы GL ₃ ( K действует ), которая правильно на аффинном здании Брюа–Титса, соответствующем SL ₃ ( Q ₂ ). Эта группа действует транзитивно на все вершины, ребра и треугольники здания. Позволять

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ⁻¹ , σ ₃ = ρ ² сэр ⁻² .

Затем

• σ1 _группы , σ2 _σ3 и . ₎ подгруппу SL3 _Γ ( K порождают
• Γ — наименьшая подгруппа, порожденная σ и τ , инвариантная относительно сопряжения с помощью ρ .
• Г действует просто транзитивно на треугольниках здания.
• Существует треугольник ∆ такой, что стабилизаторами его ребер являются подгруппы порядка 3, σi _{порождённые} .
• Стабилизатором вершин графа Δ является группа Фробениуса порядка 21, порожденная двумя элементами порядка 3, стабилизирующими ребра, встречающиеся в вершине.
• Стабилизатор ∆ тривиален.

Элементы σ и τ порождают стабилизатор вершины. Связь τ этой вершины можно отождествить со сферическим зданием SL ₃ ( F ₂ ), а стабилизатор можно отождествить с группой коллинеации , плоскости Фано порожденной 3-кратной симметрией σ, фиксирующей точку, и циклической перестановкой все 7 точек, удовлетворяющие στ = τ ² σ . Отождествляя F ₈ * с плоскостью Фано, σ можно считать ограничением автоморфизма Фробениуса σ ( x ) = x ²² F простое ₈ и τ должно быть умножением на любой элемент, не входящий в поле F ₂ , т.е. генератор порядка 7 циклической мультипликативной группы F ₈ . Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно на 21 флаге плоскости Фано, т. е. прямых с отмеченными точками. Таким образом , формулы для σ и τ на E «поднимают» формулы на F ₈ .

Мамфорд также получает действие, просто транзитивное на вершинах здания, переходя к подгруппе из Γ ₁ = < ρ , σ , τ , − I >. Группа Γ ₁ сохраняет Q ( α )-значную эрмитову форму

ж ( Икс , y ) знак равно ху * + σ ( ху *) + σ ² ( ху *)

на Q (ζ) и может быть отождествлен с U ₃ (f) $\cap$ GL ₃ ( S ) где S = Z [ α , 1/2 ​ ] . Поскольку S /( α ) = F ₇ , существует гомоморфизм группы Γ ₁ в GL ₃ ( F ₇ ). Это действие оставляет инвариантным двумерное подпространство в F ₇ ³ и, следовательно, порождает гомоморфизм Ψ группы Γ ₁ в SL ₂ ( F ₇ ), группу порядка 16·3·7. С другой стороны, стабилизатор вершины является подгруппой порядка 21 и Ψ инъективен на этой подгруппе. Таким образом, если конгруэнц-подгруппа Γ ₀ определена как прообраз относительно Ψ 2 - силовской подгруппы группы SL ₂ ( F ₇ ), действие Γ ₀ на вершинах должна быть просто транзитивной.

Обобщения

Другие примеры треугольников или двумерных комплексов групп можно построить путем вариаций приведенного выше примера.

Картрайт и др. рассмотрим действия над зданиями, которые просто транзитивны по вершинам . Каждое такое действие создает биекцию (или модифицированную двойственность) между точками x и прямыми x * в комплексе флагов конечной проективной плоскости и набором ориентированных треугольников точек ( x , y , z ), инвариантных относительно циклических перестановок, таких как что x лежит на z *, y лежит на x * и z лежит на y * и любые две точки однозначно определяют третью. Созданные группы имеют образующие x , помеченные точками, и отношения xyz = 1 для каждого треугольника. В общем случае эта конструкция не будет соответствовать действию на классическое аффинное здание.

В более общем смысле, как показали Баллманн и Брин, подобные алгебраические данные кодируют все действия, которые просто транзитивно выполняются над вершинами двумерного симплициального комплекса неположительной кривизны, при условии, что ссылка каждой вершины имеет обхват не менее 6. Эти данные состоят из из:

• порождающий набор S, содержащий обратные, но не единичные;
• набор отношений g h k = 1, инвариантный относительно циклической перестановки.

Элементы g в S обозначают вершины g · v в зацеплении фиксированной вершины v ; и отношения соответствуют ребрам ( g ⁻¹ · v , h · v ) в этой ссылке. Граф с вершинами S и ребрами ( g , h ), для g ⁻¹ h в S должен иметь обхват не менее 6. Исходный симплициальный комплекс можно восстановить с помощью комплексов групп и второго барицентрического подразделения.

Двудольный граф Хивуда

Дальнейшие примеры двумерных комплексов групп неположительной кривизны были построены Святковским на основе действий, просто транзитивных на ориентированных ребрах и индуцирующих трехмерную симметрию в каждом треугольнике; и в этом случае комплекс групп получается регулярным действием на второе барицентрическое подразделение. Самый простой пример, открытый ранее Баллманом, начинается с конечной группы H с симметричным набором образующих S , не содержащим единицы, такой, что соответствующий граф Кэли имеет обхват не менее 6. Соответствующая группа порождается H и инволюцией τ при условии (τg) ³ = 1 для каждого g в S .

В самом деле, если Γ действует таким образом, фиксируя ребро ( v , w ), существует инволюция τ, меняющая местами v и w . Ссылка v состоит из вершин g · w для g в симметричном подмножестве S множества H = Γ _v , порождающем H , если ссылка связна. Из предположения о треугольниках следует, что

τ·( г · ш ) знак равно г ⁻¹ · В

для g в S. ​ Таким образом, если σ = τ g и u = g ⁻¹ · ш , тогда

σ( v ) знак равно ш , σ( ш ) знак равно ты , σ( ты ) знак равно ш .

Из простой транзитивности треугольника ( v , w , u ) следует, что σ ³ = 1.

Второе барицентрическое подразделение дает комплекс групп, состоящих из одиночек или пар барицентрически подразделенных треугольников, соединенных большими сторонами: эти пары индексируются фактор-пространством S полученным путем идентификации обратных в S. /~ , Одиночные или «спаренные» треугольники, в свою очередь, соединяются одним общим «позвоночником». Все стабилизаторы симплексов тривиальны, за исключением двух вершин на концах позвоночника со стабилизаторами H и <τ> и остальных вершин больших треугольников со стабилизатором, порожденным соответствующим σ. Три меньших треугольника в каждом большом треугольнике содержат переходные элементы.

Когда все элементы S являются инволюциями, ни один из треугольников не нужно удваивать. Если в качестве H взять группу диэдра D ₇ порядка 14, порожденную инволюцией a и элементом b порядка 7 такой, что

аб = б ⁻¹ а ,

тогда H порождается тремя инволюциями a , ab и ab ⁵ . Связь каждой вершины задается соответствующим графом Кэли, поэтому это просто двудольный граф Хивуда , т.е. точно такой же, как в аффинном построении для SL ₃ ( Q ₂ ). Эта структура связей подразумевает, что соответствующий симплициальный комплекс обязательно является евклидовым зданием . В настоящее время, однако, кажется неизвестным, может ли какой-либо из этих типов действий действительно быть реализован на классическом аффинном здании: группа Мамфорда Γ ₁ (по модулю скаляров) просто транзитивна на ребрах, а не на ориентированных ребрах.

Двумерные орбифолды

Двумерные орбифолды имеют следующие три типа особых точек:

• Граничная точка
• Эллиптическая точка или точка вращения порядка n , например начало координат R. ² факторизован по циклической группе вращений порядка n .
• Угловой отражатель порядка n : происхождение R ² факторизован по группе диэдра порядка 2 n .

Компактный двумерный орбифолд имеет эйлерову характеристику. $\chi$ данный

$\chi =\chi (X_{0})-\sum _{i}(1-1/n_{i})/2-\sum _{i}(1-1/m_{i})$,

где $\chi (X_{0})$ - эйлерова характеристика основного топологического многообразия $X_{0}$, и $n_{i}$ - порядки угловых отражателей, а $m_{i}$ — порядки эллиптических точек.

Двумерный компактный связный орбифолд имеет гиперболическую структуру, если его эйлерова характеристика меньше 0, евклидову структуру, если она равна 0, и если его эйлерова характеристика положительна, он либо плох , либо имеет эллиптическую структуру (орбифолд называется плохим). если оно не имеет многообразия в качестве накрывающего пространства). Другими словами, его универсальное накрывающее пространство имеет гиперболическую, евклидову или сферическую структуру.

Компактные двумерные связные орбифолды, не являющиеся гиперболическими, перечислены в таблице ниже. 17 параболических орбифолдов представляют собой частное плоскости по 17 группам обоев .

Тип	Эйлерова характеристика	Базовое 2-многообразие	Порядки эллиптических точек	Заказы угловых отражателей
Плохой	1 + 1/ н	Сфера	п > 1
	1/ м + 1/ н	Сфера	п > м > 1
	1/2 + 1/2 н	Диск		п > 1
	1/2 м + 1/2 н	Диск		п > м > 1
Эллиптический	2	Сфера
	2/ н	Сфера	н , н
	1/ н	Сфера	2, 2, н
	1/6	Сфера	2, 3, 3
	1/12	Сфера	2, 3, 4
	1/30	Сфера	2, 3, 5
	1	Диск
	1/ н	Диск		н , н
	1/2 н	Диск		2, 2, н
	1/12	Диск		2, 3, 3
	1/24	Диск		2, 3, 4
	1/60	Диск		2, 3, 5
	1/ н	Диск	н
	1/2 н	Диск	2	н
	1/12	Диск	3	2
	1	Проекционная плоскость
	1/ н	Проекционная плоскость	н
Параболический	0	Сфера	2, 3, 6
	0	Сфера	2, 4, 4
	0	Сфера	3, 3, 3
	0	Сфера	2, 2, 2, 2
	0	Диск		2, 3, 6
	0	Диск		2, 4, 4
	0	Диск		3, 3, 3
	0	Диск		2, 2, 2, 2
	0	Диск	2	2, 2
	0	Диск	3	3
	0	Диск	4	2
	0	Диск	2, 2
	0	Проекционная плоскость	2, 2
	0	Тор
	0	бутылка Клейна
	0	кольцо
	0	группа Мебиуса

Трехмерные орбифолды

Трехмерное многообразие называется малым , если оно замкнуто, неприводимо и не содержит несжимаемых поверхностей.

Теорема об орбифолде. Пусть M — маленькое 3-многообразие. Пусть φ — нетривиальный периодический диффеоморфизм M , сохраняющий ориентацию . Тогда M допускает φ-инвариантную гиперболическую структуру или расслоенную структуру Зейферта.

Эта теорема является частным случаем теоремы Терстона об орбифолде , объявленной без доказательства в 1981 году; это является частью его гипотезы геометризации трехмерных многообразий . В частности, из этого следует, что если X — компактный, связный, ориентируемый, неприводимый, тороидальный 3-орбифолд с непустым сингулярным множеством, то M имеет геометрическую структуру (в смысле орбифолдов). Полное доказательство теоремы было опубликовано Буало, Леебом и Порти в 2005 году.

Приложения

Орбифолды в теории струн

В теории струн слово «орбифолд» имеет несколько новое значение. Для математиков орбифолд — это обобщение понятия многообразия , допускающее наличие точек, окрестность которых диффеоморфна фактору R. ^н конечной группой, т.е. R ^н / Г . В физике понятие орбифолда обычно описывает объект, который можно глобально записать как пространство орбит M / G , где M — многообразие (или теория), а G — группа его изометрий (или симметрий) — не обязательно все они. В теории струн эти симметрии не обязательно должны иметь геометрическую интерпретацию.

Квантовая теория поля , определенная на орбифолде, становится сингулярной вблизи неподвижных точек G . Однако теория струн требует от нас добавления новых частей замкнутых струн гильбертова пространства , а именно скрученных секторов, в которых поля, определенные на замкнутых струнах, являются периодическими с точностью до действия из G . Таким образом, орбифолдинг - это общая процедура теории струн, позволяющая вывести новую теорию струн из старой теории струн, в которой элементы G были отождествлены с тождеством. Такая процедура уменьшает количество состояний, поскольку состояния должны быть инвариантны относительно G , но также увеличивает количество состояний из-за дополнительных скрученных секторов. Результатом обычно является совершенно гладкая новая теория струн.

D-браны , распространяющиеся по орбифолдам, при низких энергиях описываются калибровочными теориями, определяемыми колчанными диаграммами . Открытые струны, прикрепленные к этим D-бранам, не имеют скрученного сектора, поэтому количество состояний открытой струны уменьшается с помощью процедуры орбифолдинга.

Более конкретно, когда группа орбифолдов G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени, то, если она не имеет неподвижной точки, результатом обычно является компактное гладкое пространство; скрученный сектор состоит из замкнутых струн, намотанных вокруг компактного измерения, которые называются состояниями обмотки .

Когда группа орбифолдов G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени и имеет неподвижные точки, то они обычно имеют конические особенности , потому что R ^н / Z _k имеет такую ​​особенность в неподвижной точке Z _k . В теории струн гравитационные сингулярности обычно являются признаком дополнительных степеней свободы , которые расположены в определенной точке пространства-времени. В случае орбифолда эти степени свободы представляют собой скрученные состояния, представляющие собой струны, «застрявшие» в фиксированных точках. Когда поля, связанные с этими закрученными состояниями, приобретают ненулевое вакуумное математическое ожидание , сингулярность деформируется, т.е. метрика изменяется и становится регулярной в этой точке и вокруг нее. Примером полученной геометрии является пространство-время Эгучи-Хэнсона .

С точки зрения D-бран в окрестности неподвижных точек эффективная теория открытых струн, прикрепленных к этим D-бранам, представляет собой суперсимметричную теорию поля, пространство вакуумов которой имеет особую точку, где имеются дополнительные безмассовые степени свобода существует. Поля, связанные с скрученным сектором замкнутой струны, соединяются с открытыми струнами таким образом, что к лагранжиану суперсимметричной теории поля добавляется член Файе – Илиопулоса, так что, когда такое поле приобретает ненулевое вакуумное математическое ожидание , – Член Илиопулоса ненулевой и тем самым деформирует теорию (т.е. изменяет ее), так что сингулярность больше не существует [1] , [2] .

Многообразия Калаби – Яу

Основная статья: многообразие Калаби – Яу

В суперструн теории построение реалистичных феноменологических моделей требует уменьшения размерностей, поскольку струны естественным образом распространяются в 10-мерном пространстве, в то время как наблюдаемая размерность пространства-времени Вселенной равна 4. Тем не менее формальные ограничения теорий накладывают ограничения на компактифицированное пространство , в котором дополнительные «Скрытые» переменные живут: при поиске реалистичных 4-мерных моделей с суперсимметрией вспомогательное компактифицированное пространство должно быть 6-мерным многообразием Калаби–Яу .

Существует большое количество возможных многообразий Калаби – Яу (десятки тысяч), отсюда и использование термина « ландшафт » в современной литературе по теоретической физике для описания загадочного выбора. Общее исследование многообразий Калаби – Яу математически сложно, и долгое время примеры было трудно построить явно. Таким образом, орбифолды оказались очень полезными, поскольку они автоматически удовлетворяют ограничениям, налагаемым суперсимметрией. Они предоставляют вырожденные примеры многообразий Калаби – Яу из-за их особых точек : но это вполне приемлемо с точки зрения теоретической физики. Такие орбифолды называются «суперсимметричными»: их технически легче изучать, чем общие многообразия Калаби – Яу. Очень часто можно сопоставить непрерывное семейство неособых многообразий Калаби–Яу с сингулярным суперсимметричным орбифолдом. В 4 измерениях это можно проиллюстрировать с помощью сложных поверхностей K3 :

• Каждая поверхность К3 допускает 16 циклов размерности 2, топологически эквивалентных обычным 2-сферам. При стремлении поверхности этих сфер к нулю на поверхности К3 появляется 16 особенностей. Этот предел представляет собой точку на границе пространства модулей поверхностей К3 и соответствует орбифолду $T^{4}/\mathbb {Z} _{2}\,$ получается факторизацией тора по симметрии инверсии.

Изучение многообразий Калаби – Яу в теории струн и двойственности между различными моделями теории струн (типа IIA и IIB) привело к идее зеркальной симметрии в 1988 году. На роль орбифолдов впервые указали Диксон, Харви, Вафа и Виттен примерно в то же время.

Теория музыки

Помимо разнообразия и различных применений в математике и физике, орбифолды были применены к теории музыки , по крайней мере, еще в 1985 году в работе Гуэрино Маццолы. а затем Дмитрием Тимочко и его сотрудниками. Одна из статей Тимочко была первой статьей по теории музыки, опубликованной в журнале Science . Маццола и Тимочко участвовали в дебатах относительно своих теорий, задокументированных в серии комментариев, доступных на их соответствующих веб-сайтах.

Анимированные фрагменты трехмерного орбифолда $T^{3}/S_{3}$. Кусочки кубов, стоящих дыбом (их длинные диагонали перпендикулярны плоскости изображения), образуют цветные области Вороного (окрашенные в зависимости от типа аккорда), которые представляют собой трехнотные аккорды в их центрах с увеличенными трезвучиями в самом центре, окруженными мажорные и минорные трезвучия (лаймово-зеленый и темно-синий). Белые области представляют собой вырожденные трихорды (одна нота повторяется три раза), причем три линии (представляющие две ноты), соединяющие их центры, образуют стенки скрученной треугольной призмы, а двумерные плоскости, перпендикулярные плоскости изображения, действуют как зеркала.

Тимочко моделирует музыкальные аккорды, состоящие из n нот, которые не обязательно различимы, как точки в орбифолде. $T^{n}/S_{n}$ – пространство n неупорядоченных точек (не обязательно различных) в окружности, реализованное как частное n - тора $T^{n}$ (пространство n упорядоченных точек на окружности) симметрической группой $S_{n}$ (соответствует переходу от упорядоченного множества к неупорядоченному).

В музыкальном плане это объясняется следующим образом:

• Музыкальные тоны зависят от частоты (высоты) их основного тона и, таким образом, параметризуются положительными действительными числами R. ⁺ .
• Музыкальные тоны, отличающиеся на октаву (удвоение частоты), считаются одним и тем же тоном – это соответствует логарифму по основанию 2 частот (что дает действительные числа, т. е. $\mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}$), затем факторизуем по целым числам (что соответствует различию на некоторое количество октав), получая круг (как $S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z}$).
• Аккорды соответствуют нескольким тонам независимо от порядка - таким образом, t нот (с указанием порядка) соответствуют t упорядоченным точкам на круге или, что то же самое, одной точке на t -торе. $T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},$ и пропуск порядка соответствует взятию частного по $S_{t},$ образуя орбифолд.

Для диад (два тона) это дает замкнутую ленту Мёбиуса ; для триад (три тона) это дает орбифолд, который можно описать как треугольную призму с верхней и нижней треугольными гранями, отождествляемыми с поворотом на 120 ° ( 1/3 . скрутки ) – эквивалентно полноторию в 3-х измерениях с поперечным сечением равностороннего треугольника и такой скруткой

Полученный орбифолд естественным образом расслаивается повторяющимися тонами (собственно целочисленными разбиениями t ) – открытое множество состоит из различных тонов (разбиение $t=1+1+\cdots +1$), а существует одномерное сингулярное множество, состоящее из всех одинаковых тонов (разбиение $t=t$), топологически представляющий собой круг, и различные промежуточные перегородки. Также есть примечательный круг, проходящий через центр открытого множества, состоящего из равноотстоящих друг от друга точек. В случае трезвучий три боковые грани призмы соответствуют двум одинаковым тонам, а третьему различному (разделение $3=2+1$), а три ребра призмы соответствуют одномерному особому множеству. Верхняя и нижняя грани являются частью открытого набора и появляются только потому, что орбифолд был разрезан — если рассматривать их как треугольный тор с поворотом, эти артефакты исчезают.

Тимочко утверждает, что аккорды, близкие к центру (с одинаковыми или почти одинаковыми тонами), составляют основу большей части традиционной западной гармонии, и что их визуализация таким образом помогает в анализе. В центре расположены 4 аккорда (равномерно распределенные по одинаковой темперации – расстояние между тонами 4/4/4), соответствующие расширенным трезвучиям (называемым музыкальными наборами ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB, и EG♯C (затем они чередуются: FAC♯ = C♯FA), при этом 12 мажорных аккордов и 12 минорных аккордов являются точками рядом с центром, но не в центре – почти равномерно, но не совсем. Мажорные аккорды соответствуют интервалу 4/3/5 (или, что эквивалентно, 5/4/3), а минорные аккорды соответствуют интервалу 3/4/5. Ключевые изменения тогда соответствуют движению между этими точками в орбифолде, причем более плавные изменения происходят за счет движения между соседними точками.

См. также

• Разветвленное покрытие
• Эйлерова характеристика орбифолда
• Геометрический коэффициент
• Формула Римана-Роха Кавасаки.
• Обозначение орбифолда
• ориентифолд
• Кольцо модульных форм
• Стек (математика)

Ссылки

• Адем, Алехандро; Лейда, Иоганн; Руан, Ёнбин (2007). Орбифолды и струнная топология . Кембриджские трактаты по математике. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511543081 . ISBN  9780521870047 .
• Баллманн, Вернер (1990). «Особые пространства неположительной кривизны». В Гисе, Этьен ; де Ла Арп, Пьер (ред.). О гиперболических группах по Михаилу Громову . Прогресс в математике. Полет. 83. Бостон: Биркхойзер. стр. 189–201. ISBN  0-8176-3508-4 .
• Баллманн, Вернер; Брин, Майкл (1994). «Полигональные комплексы и комбинаторная теория групп» . Геометрии Дедиката . 50 (2): 165–191. дои : 10.1007/BF01265309 . S2CID   119617693 .
• Буало, Мишель. «Геометризации трехмерных многообразий с симметриями» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 сентября 2011 года . Проверено 6 декабря 2007 г.
• Буало, Мишель; Майо, Сильвен; Порти, Джоан (2003). Трехмерные орбифолды и их геометрические структуры . Панорамы и синтезы. Полет. 15. Париж: Математическое общество Франции. ISBN  2-85629-152-Х . OCLC   56349823 . .
• Буало, Мишель; Лееб, Бернхард; Порти, Джоан (2005). «Геометризация трехмерных орбифолдов». Анналы математики . 162 : 195–290. arXiv : math/0010185 . дои : 10.4007/анналы.2005.162.195 . S2CID   119624092 .
• Бредон, Глен (1972). Введение в компактные группы преобразований . Академическая пресса . ISBN  0-12-128850-1 .
• Бридсон, Мартин; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Основы математических наук. Том 319. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN  3-540-64324-9 .
• Брин, Мэтью (2007). «Расслоенные пространства Зейферта: заметки к курсу, прочитанному весной 1993 года». arXiv : 0711.1346 [ math.GT ].
• Каллендер, Клифтон; Куинн, Ян; Тимочко, Дмитрий (18 апреля 2008 г.). «Обобщенные пространства голосового лидерства» (PDF) . Наука . 320 (5874): 346–348. Бибкод : 2008Sci...320..346C . дои : 10.1126/science.1153021 . ПМИД   18420928 . S2CID   35229232 .
• Картрайт, Дональд; Мантеро, Анна Мария; Стегер, Тим; Заппа, Анна (1993). «Группы, действующие просто транзитивно на вершинах здания типа М ₂ , I» . Геометрии Дедиката . 47 (2): 143–166. дои : 10.1007/BF01266617 .
• Купер, Дэрил; Ходжсон, Крейг; Керкхофф, Стивен (2000). Трехмерные орбифолды и конус-многообразия . Мемуары МСЖ. Том. 5. Токио: Математическое общество Японии. ISBN  4-931469-05-1 . .
• де ла Арп, Пьер (1991). Гис, Этьен (ред.). Приглашение в группу Коксетера . Теория групп с геометрической точки зрения, 26 марта - 6 апреля 1990 г., ICPT, Триест, Италия (материалы). Сингапур: World Scientific. стр. 193–253. дои : 10.1142/1235 . ISBN  981-02-0442-6 . .
• Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля . Тексты для аспирантов по современной физике. Спрингер Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4612-2256-9 . ISBN  0-387-94785-Х . .

• Хефлигер, Андре (1984). Группоиды и классификаторы голономии . Звездочка. Полет. 116. Париж: Математическое общество Франции. стр. 70–97.
• Хефлигер, Андре (1990). «Орби-пространства». В Гисе, Этьен ; де ла Арп, Пьер (ред.). О гиперболических группах по Михаилу Громову . Прогресс в математике. Полет. 83. Биркхойзер. стр. 203–213. дои : 10.1007/978-1-4684-9167-8_11 . ISBN  0-8176-3508-4 .
• Хефлигер, Андре (1991). Гис, Этьен (ред.). Комплексы групп и орбиэдры . Теория групп с геометрической точки зрения, 26 марта - 6 апреля 1990 г., ICPT, Триест, Италия (материалы). Сингапур: World Scientific. стр. 504–540. дои : 10.1142/1235 . ISBN  981-02-0442-6 .
• Иглесиас, Патрик; Каршон, Яэль; Задка, Моше (июнь 2010 г.). «Орбифолды как диффеологии». Труды Американского математического общества . 362 (6): 2811–2831. arXiv : math/0501093 . дои : 10.1090/S0002-9947-10-05006-3 . S2CID   15210173 .
• Иглесиас-Земмур, Патрик (2013). Диффеология . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-9131-5 .
• Иглесиас-Земмур, Патрик; Лафинёр, Жан-Пьер (2017). «Некоммутативная геометрия и диффеология: случай орбифолдов». Журнал некоммутативной геометрии . 12 (4): 1551–1572. дои : 10.4171/JNCG/319 . S2CID   126092375 .
• Кавакубо, Кацуо (1991). Теория групп преобразований . Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-853212-1 .
• Келер, Питер; Мейкснер, Томас; Вестер, Майкл (1985). «2-адическое аффинное здание типа М ₂ и его конечные проекции» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 38 (2): 203–209. дои : 10.1016/0097-3165(85)90070-6 .
• Мамфорд, Дэвид (1979). «Алгебраическая поверхность с обильным K, (K ² ) = 9, p _g = q = 0" . Американский журнал математики . 101 (1): 233–244. doi : 10.2307/2373947 . JSTOR   2373947 .
• Пуанкаре, Анри (1985). Статьи о фуксовых функциях . Перевод Стиллвелла, Джона . Спрингер. ISBN  3-540-96215-8 .
• Сатаке, Ичиро (1956). «Об одном обобщении понятия многообразия» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 42 (6): 359–363. Бибкод : 1956ПНАС...42..359С . дои : 10.1073/pnas.42.6.359 . ПМК   528292 . ПМИД   16578464 .
• Сатаке, Ичиро (1957). «Теорема Гаусса-Бонне для V-многообразий» . Журнал Математического общества Японии . 9 (4): 464–492. дои : 10.2969/jmsj/00940464 .
• Скотт, Питер (1983). «Геометрии трехмерных многообразий» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 15 (5): 401–487. дои : 10.1112/blms/15.5.401 . hdl : 2027.42/135276 .
  Ошибки: Скотт, Питер . «Ошибки в книге «Геометрия трехмерных многообразий», Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 401–487» (PDF) .
• Серр, Жан-Пьер (1970). Уроки арифметики . Университетское издательство Франции.
• Серр, Жан-Пьер (2003). Деревья . Перевод Стиллвелла, Джона . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-642-61856-7 . ISBN  978-3-642-61858-1 .
  Английский перевод: Серр, Жан-Пьер (1983). Деревья, амальгамы, СЛ ₂ . Звездочка. Полет. 46 (3-е изд.). Париж: Математическое общество Франции.
• Столлингс, Джон (1991). Гис, Этьен (ред.). Треугольники групп . Теория групп с геометрической точки зрения, 26 марта - 6 апреля 1990 г., ICPT, Триест, Италия (материалы). Сингапур: World Scientific. стр. 491–503. дои : 10.1142/1235 . ISBN  981-02-0442-6 .
• Свентковский, Яцек (2001). «Класс групп автоморфизмов полигональных комплексов». Ежеквартальный математический журнал . 52 (2): 231–247. дои : 10.1093/qjmath/52.2.231 .
• Терстон, Уильям (1978–1981). Геометрия и топология трехмерных многообразий . Конспекты лекций Принстонского университета.
• Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . 6 (3): 357–381. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
• Тимочко, Дмитрий (7 июля 2006 г.). «Геометрия музыкальных аккордов» (PDF) . Наука . 313 (5783): 72–74. Бибкод : 2006Sci...313...72T . CiteSeerX   10.1.1.215.7449 . дои : 10.1126/science.1126287 . ПМИД   16825563 . S2CID   2877171 .