Номер Бетти

В алгебраической топологии используются числа Бетти для различения топологических пространств, основанных на связности n -мерных симплициальных комплексов . Для наиболее разумных конечномерных пространств (таких как компактные многообразия , конечные симплициальные комплексы или комплексы CW ) последовательность чисел Бетти с некоторой точки равна 0 (числа Бетти исчезают выше размерности пространства), и все они конечны. .

Затем ​ ^й Число Бетти представляет ранг n собой ^й группа гомологий , обозначаемая Hn _. , которая сообщает нам максимальное количество разрезов, которые можно сделать, прежде чем разделить поверхность на две части или 0-циклы, 1-циклы и т. д Например, если $H_{n}(X)\cong 0$ затем $b_{n}(X)=0$, если $H_{n}(X)\cong \mathbb {Z}$ затем $b_{n}(X)=1$, если $H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ затем $b_{n}(X)=2$, если $H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ затем $b_{n}(X)=3$и т. д. Обратите внимание, что рассматриваются только ранги бесконечных групп, например, если $H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} ^{k}\oplus \mathbb {Z} /(2)$, где $\mathbb {Z} /(2)$ — конечная циклическая группа порядка 2, то $b_{n}(X)=k$. Эти конечные компоненты групп гомологии являются их периодическими подгруппами и обозначаются торсионными коэффициентами .

Термин «числа Бетти» был придуман Анри Пуанкаре в честь Энрико Бетти . Современная формулировка принадлежит Эмми Нётер . Числа Бетти сегодня используются в таких областях, как симплициальная гомология , информатика и цифровые изображения .

интерпретация

Для тора первое число Бетти равно b ₁ = 2, которое интуитивно можно рассматривать как количество круглых «дырок».

Неформально k- е число Бетти относится к числу k -мерных дыр на топологической поверхности. « k -мерная дыра » — это k -мерный цикл, не являющийся границей ( k +1)-мерного объекта.

Первые несколько чисел Бетти имеют следующие определения для 0-мерных, 1-мерных и 2-мерных симплициальных комплексов :

• b ₀ – количество компонентов связности;
• b ₁ – количество одномерных или «круглых» отверстий;
• b ₂ – количество двумерных «пустот» или «полостей».

Так, например, тор имеет один компонент связной поверхности, поэтому b ₀ = 1, два «круглых» отверстия (одно экваториальное и одно меридиональное ), поэтому b ₁ = 2, и одну полость, заключенную внутри поверхности, поэтому b ₂ = 1.

Другая интерпретация b _k — это максимальное количество k -мерных кривых, которые можно удалить, сохраняя при этом объект связанным. Например, тор остается связным после удаления двух одномерных кривых (экваториальной и меридиональной), поэтому b ₁ = 2.

Двумерные числа Бетти легче понять, потому что мы можем видеть мир в 0, 1, 2 и 3 измерениях.

Формальное определение

Для неотрицательного целого числа   k е число k Бетти bk _- ( X ) пространства X определяется как ранг (число линейно независимых образующих) абелевой группы H _k ( X ), k -й гомологий группы Х. ​ я группа k- гомологий — это $H_{k}=\ker \delta _{k}/\operatorname {Im} \delta _{k+1}$, $\delta _{k}$s — граничные карты симплициального комплекса , а ранг H _k — k- е число Бетти. Эквивалентно, его можно определить как размерность векторного пространства k H _{) ,} ( X ; Q поскольку группа гомологий в этом случае является векторным пространством над Q . Теорема об универсальных коэффициентах в очень простом случае без кручения показывает, что эти определения одинаковы.

В более общем смысле, учитывая поле F, можно определить b _k ( X , F ), k -е число Бетти с коэффициентами в F , как размерность векторного пространства H _k ( X , F ).

Полином Пуанкаре

Полином Пуанкаре поверхности определяется как производящая функция ее чисел Бетти. Например, числа Бетти тора равны 1, 2 и 1; таким образом, его полином Пуанкаре равен $1+2x+x^{2}$. То же определение применимо к любому топологическому пространству, имеющему конечно порожденные гомологии.

Учитывая топологическое пространство, которое имеет конечно порожденные гомологии, полином Пуанкаре определяется как производящая функция его чисел Бетти через многочлен, где коэффициент $x^{n}$ является $b_{n}$.

Примеры

Числа Бетти графика

Рассмотрим топологический граф G, в котором множество вершин равно V множество ребер равно E , а множество компонентов связности равно C. , Как объяснено на странице гомологии графа , его группы гомологии задаются следующим образом:

$H_{k}(G)={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{|C|}&k=0\\\mathbb {Z} ^{|E|+|C|-|V|}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Это можно доказать непосредственно с помощью математической индукции по числу ребер. Новое ребро либо увеличивает количество 1-циклов, либо уменьшает количество связных компонентов.

Следовательно, «нулевое» число Бетти b ₀ ( G ) равно | C |, что представляет собой просто количество компонентов связности.

Первое число Бетти b ₁ ( G ) равно | Е | + | С | - | В |. Его также называют цикломатическим числом — термин, введенный Густавом Кирхгофом перед статьей Бетти. См. цикломатическую сложность для применения в разработке программного обеспечения .

Все остальные числа Бетти равны 0.

Числа Бетти симплициального комплекса

Рассмотрим симплициальный комплекс с 0-симплексами: a, b, c и d, 1-симплексами: E, F, G, H и I, и единственным 2-симплексом является J, который является заштрихованной областью на рисунке. На этом рисунке есть один связный компонент ( b ₀ ); одно отверстие, которое представляет собой незаштрихованную область ( b ₁ ); и никаких «пустот» или «полостей» ( b ₂ ).

Это означает, что ранг $H_{0}$ равен 1, ранг $H_{1}$ равен 1 и ранг $H_{2}$ равен 0.

Последовательность чисел Бетти для этой фигуры равна 1, 1, 0, 0, ...; полином Пуанкаре $1+x\,$.

плоскости

Группы гомологии проективной плоскости P :

$H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Здесь Z ₂ — циклическая группа порядка 2. 0-е число Бетти снова равно 1. Однако 1-е число Бетти равно 0. Это связано с тем, что H ₁ ( P ) — конечная группа — у нее нет любая бесконечная компонента. группы называется коэффициентом кручения P Конечная компонента . (Рациональные) числа Бетти bk _. ( X ) не учитывают никаких кручений в группах гомологий, но они являются очень полезными базовыми топологическими инвариантами Говоря наиболее интуитивным языком, они позволяют подсчитать количество отверстий разных размеров.

Свойства

Эйлерова характеристика

Для конечного CW-комплекса K имеем

$\chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,$

где $\chi (K)$ обозначает эйлерову характеристику поля K и любого поля F .

Декартово произведение

Для любых двух пространств X и Y имеем

$P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},$

где $P_{X}$ обозначает полином Пуанкаре X ( в более общем смысле, ряд Гильберта – Пуанкаре для бесконечномерных пространств), т. е. производящую функцию чисел Бетти X :

$P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!$

см. теорему Кюннета .

Симметрия

Если X - n -мерное многообразие, существует замена симметрии $k$ и $n-k$, для любого $k$:

$b_{k}(X)=b_{n-k}(X),$

при условиях ( замкнутое и ориентированное многообразие); см. двойственность Пуанкаре .

Различные коэффициенты

Зависимость от поля F осуществляется только через его характеристику . группы гомологий не имеют кручения , числа Бетти не зависят от F. Если Связь p -кручения и числа Бетти для характеристики p , для p простого числа, подробно дается теоремой об универсальных коэффициентах (основанной на функторах Тора , но в простом случае).

Еще примеры

1. Последовательность чисел Бетти для круга: 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   полином Пуанкаре

   $1+x\,$.

2. Числовая последовательность Бетти для трехтора равна 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... .

   полином Пуанкаре

   $(1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,$.

3. Аналогично n - тора для

   полином Пуанкаре

   $(1+x)^{n}\,$ (по теореме Кюннета ), поэтому числа Бетти являются биномиальными коэффициентами .

В пространствах, которые по существу являются бесконечномерными, возможно иметь бесконечную последовательность ненулевых чисел Бетти. Примером является бесконечномерное комплексное проективное пространство с последовательностью 1, 0, 1, 0, 1,..., которое является периодическим, с длиной периода 2.В этом случае функция Пуанкаре представляет собой не полином, а бесконечный ряд.

$1+x^{2}+x^{4}+\dotsb$,

которая, будучи геометрической прогрессией, может быть выражена как рациональная функция

${\frac {1}{1-x^{2}}}.$

В более общем смысле, любую периодическую последовательность можно выразить как сумму геометрических рядов, обобщая сказанное выше. Например $a,b,c,a,b,c,\dots ,$ имеет производящую функцию

$\left(a+bx+cx^{2}\right)/\left(1-x^{3}\right)\,$

и, в более общем смысле, линейно-рекурсивные последовательности — это в точности последовательности, порожденные рациональными функциями ; таким образом, ряд Пуанкаре выражается как рациональная функция тогда и только тогда, когда последовательность чисел Бетти является линейно-рекурсивной последовательностью.

Полиномами Пуанкаре компактных простых групп Ли являются:

${\begin{aligned}P_{SU(n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{5}\right)\cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1+x^{2n-1}\right)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\P_{G_{2}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\\P_{F_{4}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{6}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{7}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\\P_{E_{8}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}$

Связь с размерностями пространств дифференциальных форм

В геометрических ситуациях, когда $X$ является замкнутым многообразием , важность чисел Бетти может возникнуть из другого направления, а именно из-за того, что они предсказывают размерности векторных пространств замкнутых дифференциальных форм по модулю точных дифференциальных форм . Связь с данным выше определением осуществляется через три основных результата: теорему де Рама и двойственность Пуанкаре (когда они применимы), а также теорему об универсальных коэффициентах теории гомологии .

Существует альтернативное прочтение, а именно, что числа Бетти дают размеры пространств гармонических форм . Это требует использования некоторых результатов теории Ходжа о лапласиане Ходжа .

В этом случае теория Морса дает набор неравенств для знакопеременных сумм чисел Бетти через соответствующую знакопеременную сумму числа критических точек. $N_{i}$ функции Морса заданного индекса :

$b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .$

Эдвард Виттен дал объяснение этим неравенствам, используя функцию Морса для изменения внешней производной в комплексе де Рама .

См. также

• Топологический анализ данных
• Коэффициент кручения
• Эйлерова характеристика

Ссылки

• Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-90894-3 .
• Роу, Джон (1998), Эллиптические операторы, топология и асимптотические методы , Исследовательские заметки в серии Mathematics, vol. 395 (второе изд.), Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл, ISBN  0-582-32502-1 .