Континуум (топология)
В математической области топологии точечного множества ( континуум множественное число: «континуумы») — это непустое компактное связное метрическое пространство или, реже, компактное связное Хаусдорфово пространство . Теория континуума — это раздел топологии , посвященный изучению континуумов.
Определения [ править ]
- Континуум, содержащий более одной точки, называется невырожденным .
- Подмножество A континуума X такое, что A называется подконтинуумом X само является континуумом , . Пространство, гомеоморфное субконтинууму евклидовой плоскости R 2 называется плоским континуумом .
- Континуум X является однородным, если для каждых двух точек x и y в X существует гомеоморфизм h : X → X такой, что h ( x ) = y .
- Континуум Пеано — это континуум, локально связный в каждой точке.
- Неразложимый континуум — это континуум, который нельзя представить как объединение двух собственных субконтинуумов. Континуум X если наследственно неразложим, каждый подконтинуум X неразложим.
- Под размерностью континуума обычно понимают его топологическую размерность . Одномерный континуум часто называют кривой .
Примеры [ править ]
- Дуга , — это пространство гомеоморфное отрезку [0,1 ] . Если h : [0,1] → X — гомеоморфизм и h (0) = p и h (1) = q то p и q называются концами X , ; также говорят, что X — дуга из p в q . Дуга — самый простой и знакомый тип континуума. Оно одномерно, дугообразно связно и локально связно.
- — Синусоидальная кривая тополога это подмножество плоскости, которое представляет собой объединение графика функции f ( x ) = sin(1/ x ), 0 < x ≤ 1, с отрезком −1 ≤ y ≤ 1 y - ось. Это одномерный континуум, который не является дугообразно связным и локально разъединен в точках вдоль оси y .
- Варшавский круг получается «замыканием» синусоидальной кривой тополога дугой, соединяющей (0,−1) и (1,sin(1)). Это одномерный континуум, все гомотопические группы которого тривиальны, но он не является стягиваемым пространством .
- n -клетка шару — это пространство, гомеоморфное замкнутому в евклидовом пространстве R н . Он сжимаем и является простейшим примером n -мерного континуума.
- n — это пространство , -сфера гомеоморфное стандартной n-сфере в ( n + 1)-мерном евклидовом пространстве. Это n -мерный однородный континуум, который несжимаем и, следовательно, отличается от n -клетки.
- Куб Гильберта представляет собой бесконечномерный континуум.
- Соленоиды являются одними из простейших примеров неразложимых однородных континуумов. Они не связаны ни по дуге, ни локально.
- Ковер Серпинского , также известный как универсальная кривая Серпинского , представляет собой одномерный плоский континуум Пеано, который содержит гомеоморфный образ любого одномерного плоского континуума.
- Псевдодуга представляет собой однородный наследственно неразложимый плоский континуум.
Свойства [ править ]
Существует два фундаментальных метода построения континуумов с помощью вложенных пересечений и обратных пределов .
- Если { X n } — вложенное семейство континуумов, т. е. X n ⊇ X n +1 , то их пересечение является континуумом.
- Если {( X n , f n )} — обратная последовательность континуумов X n , называемых координатными пространствами , вместе с непрерывными отображениями f n : X n +1 → X n , называемыми связующими отображениями , то ее обратный предел — это континуум.
Конечный или счетный продукт континуумов является континуумом.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
Источники [ править ]
- Сэм Б. Надлер-младший, Теория континуума. Введение . Чистая и прикладная математика, Марсель Деккер. ISBN 0-8247-8659-9 .
Внешние ссылки [ править ]
- Открытые проблемы теории континуума
- Примеры из теории континуума
- Теория континуума и топологическая динамика , М. Бардж и Дж. Кеннеди, в книге «Открытые проблемы топологии», Дж. ван Милль и Г. М. Рид (редакторы), Elsevier Science Publishers BV (Северная Голландия), 1990.
- Гиперпространствовики
| Поля |  | |
|---|---|---|
| Ключевые идеи | ||
| Метрики и свойства | ||
| Ключевые результаты | ||
