Евклидово пространство

Евклидово пространство — фундаментальное пространство геометрии , предназначенное для представления физического пространства . Первоначально в Евклида «Началах» это было трехмерное пространство евклидовой геометрии , но в современной математике существуют евклидовы пространства любой положительной целочисленной размерности n , которые называются евклидовыми n- пространствами , когда кто-то хочет указать их размерность. ^[1]Для n, равного одному или двум, их обычно называют соответственно евклидовыми линиями и евклидовыми плоскостями . Квалификатор «Евклидово» используется для отличия евклидовых пространств от других пространств , которые позже рассматривались в физике и современной математике.

Древнегреческие геометры представили евклидово пространство для моделирования физического пространства. Их труды собрал древнегреческий математик Евклид в своих «Началах» . ^[2] с великим нововведением, заключающимся в доказательстве всех свойств пространства в виде теорем , начиная с нескольких фундаментальных свойств, называемых постулатами , которые либо считались очевидными (например, существует ровно одна прямая линия , проходящая через две точки), либо казались невозможными. доказать ( параллельный постулат ).

После введения в конце 19-го века неевклидовой геометрии старые постулаты были реформализованы, чтобы определить евклидовы пространства посредством аксиоматической теории . Было показано , что другое определение евклидовых пространств с помощью векторных пространств и линейной алгебры эквивалентно аксиоматическому определению. Именно это определение чаще используется в современной математике и подробно описано в этой статье. ^[3] Во всех определениях евклидовы пространства состоят из точек, которые определяются только теми свойствами, которыми они должны обладать для образования евклидова пространства.

По сути, существует только одно евклидово пространство каждого измерения; то есть все евклидовы пространства данной размерности изоморфны . Поэтому обычно можно работать с конкретным евклидовым пространством, обозначаемым $\mathbf {E} ^{n}$ или $\mathbb {E} ^{n}$ , которое можно представить в декартовых координатах как реальное $n$ -пространство $\mathbb {R} ^{n}$ оснащен стандартным скалярным произведением .

Определение [ править ]

История определения [ править ]

Евклидово пространство было введено древними греками как абстракция нашего физического пространства. Их великим нововведением, появившимся в Евклида, «Началах» было построение и доказательство всей геометрии, начиная с нескольких очень основных свойств, которые абстрагированы от физического мира и не могут быть математически доказаны из-за отсутствия более основных инструментов. Эти свойства называются постулатами , или аксиомами в современном языке. Этот способ определения евклидова пространства до сих пор используется под названием синтетической геометрии .

В 1637 году Рене Декарт ввёл декартовы координаты и показал, что они позволяют свести геометрические задачи к алгебраическим вычислениям с числами. Это сведение геометрии к алгебре стало серьезным изменением точки зрения, поскольку до этого действительные числа определялись через длины и расстояния.

Евклидова геометрия не применялась в пространствах размерностью более трех до XIX века. Людвиг Шлефли обобщил евклидову геометрию на пространства размерности $n$ , используя как синтетические, так и алгебраические методы, и открыл все правильные многогранники более высокой размерности (аналоги платоновых тел ), которые существуют в евклидовых пространствах любой размерности. ^[4]

Несмотря на широкое распространение подхода Декарта, получившего название аналитической геометрии , определение евклидова пространства оставалось неизменным до конца 19 века. Введение абстрактных векторных пространств позволило использовать их для определения евклидовых пространств с чисто алгебраическим определением. Было показано, что это новое определение эквивалентно классическому определению с точки зрения геометрических аксиом. Именно это алгебраическое определение сейчас чаще всего используется для введения евклидовых пространств.

Мотивация современного определения [ править ]

Один из способов представить евклидову плоскость — это набор точек , удовлетворяющих определенным отношениям, выражаемым через расстояние и углы. есть две фундаментальные операции (называемые движениями Например, на плоскости ). Одним из них является перемещение , которое означает смещение плоскости так, что каждая точка смещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Другой — вращение вокруг фиксированной точки в плоскости, при котором все точки плоскости поворачиваются вокруг этой фиксированной точки на один и тот же угол. Один из основных принципов евклидовой геометрии заключается в том, что две фигуры (обычно рассматриваемые как подмножества ) плоскости следует считать эквивалентными ( конгруэнтными ), если одну можно преобразовать в другую посредством некоторой последовательности перемещений, вращений и отражений (см. ниже ).

Чтобы сделать все это математически точным, теория должна четко определить, что такое евклидово пространство, и связанные с ним понятия расстояния, угла, перемещения и вращения. Даже при использовании в физических теориях евклидово пространство представляет собой абстракцию , отделенную от реальных физических мест, конкретных систем отсчета , инструментов измерения и т. д. Чисто математическое определение евклидова пространства также игнорирует вопросы единиц длины и других физических измерений : расстояние в «математическом» пространстве — это число , а не что-то, выраженное в дюймах или метрах.

Стандартный способ математического определения евклидова пространства, описанный в оставшейся части этой статьи, представляет собой набор точек, на которые реальное векторное пространство действует — пространство переводов , снабженное внутренним продуктом . ^[1]Действие переводов делает пространство аффинным , и это позволяет определять линии, плоскости, подпространства, размерность и параллельность . Внутренний продукт позволяет определять расстояние и углы.

Набор $\mathbb {R} ^{n}$ наборов из $n$ действительных чисел, снабженных скалярным произведением, представляет собой евклидово пространство размерности $n$ . И наоборот, выбор точки, называемой началом координат, и ортонормированного базиса пространства сдвигов эквивалентен определению изоморфизма между евклидовым пространством размерности $n$ и $\mathbb {R} ^{n}$ рассматривается как евклидово пространство.

Отсюда следует, что все, что можно сказать о евклидовом пространстве, можно сказать и о $\mathbb {R} ^{n}.$ Поэтому многие авторы, особенно на начальном уровне, называют $\mathbb {R} ^{n}$ стандартное евклидово пространство размерности $n$ , ^[5] или просто евклидово пространство размерности $n$ .

Причина введения столь абстрактного определения евклидовых пространств и работы с ним вместо $\mathbb {R} ^{n}$ заключается в том, что часто предпочтительнее работать без координат и без начала координат (то есть без выбора предпочтительного базиса и предпочтительного начала координат). Другая причина в том, что в физическом мире нет ни происхождения, ни какой-либо основы.

Техническое определение [ править ]

А Евклидово векторное пространство — это конечномерное пространство внутреннего произведения над действительными числами . ^[6]

Евклидово пространство — это аффинное пространство над действительными числами , такое, что связанное векторное пространство является евклидовым векторным пространством. Евклидовы пространства иногда называют евклидовыми аффинными пространствами, чтобы отличить их от евклидовых векторных пространств. ^[6]

Если $E$ — евклидово пространство, связанное с ним векторное пространство (евклидово векторное пространство) часто обозначается ${\overrightarrow {E}}.$ Размерность связанного с евклидова пространства — это размерность ним векторного пространства.

Элементы $E$ называются точками и обычно обозначаются заглавными буквами. Элементы ${\overrightarrow {E}}$ называются евклидовыми векторами или свободными векторами . Их еще называют трансляциями , хотя, собственно говоря, трансляция — это геометрическое преобразование, возникающее в результате действия евклидова вектора на евклидово пространство.

Действие перевода $v$ на точку $P$ дает точку, обозначаемую $P + v$ . Это действие удовлетворяет

P+(v+w)=(P+v)+w.

Примечание. Второй $+$ в левой части — это сложение векторов; друг друга $+$ обозначает действие вектора на точку. Это обозначение не является двусмысленным, поскольку, чтобы различать два значения $+$ , достаточно взглянуть на природу его левого аргумента.

Тот факт, что действие является свободным и транзитивным, означает, что для каждой пары точек $P, Q) существует$ ровно один вектор смещения $v$ такой, что $P + v = Q.$ ( Этот вектор $v$ обозначается $Q - P$ или ${\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {)}{}}}.$

Как объяснялось ранее, некоторые основные свойства евклидовых пространств вытекают из структуры аффинного пространства. Они описаны в § Аффинная структура и ее подразделах. Свойства, возникающие в результате внутреннего продукта, объясняются в § Метрическая структура и ее подразделы.

Прототипические примеры [ править ]

Для любого векторного пространства сложение действует свободно и транзитивно на самом векторном пространстве. Таким образом, евклидово векторное пространство можно рассматривать как евклидово пространство, которое само является ассоциированным векторным пространством.

Типичный случай евклидова векторного пространства: $\mathbb {R} ^{n}$ рассматривается как векторное пространство, снабженное скалярным произведением в качестве внутреннего продукта . Важность этого конкретного примера евклидова пространства заключается в том, что каждое евклидово пространство изоморфно ему. Точнее, для евклидова пространства $E$ размерности $n$ выбор точки, называемой началом координат , и базиса ортонормированного ${\overrightarrow {E}}$ определяет изоморфизм евклидовых пространств из $E$ в $\mathbb {R} ^{n}.$

Поскольку всякое евклидово пространство размерности $n$ изоморфно ему, евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ иногда называют стандартным евклидовым пространством размерности $n$ . ^[5]

Аффинная структура [ править ]

Некоторые основные свойства евклидовых пространств зависят только от того, что евклидово пространство является аффинным пространством . Они называются аффинными свойствами и включают в себя концепции линий, подпространств и параллелизма, которые подробно описаны в следующих подразделах.

Подпространства [ править ]

Пусть $E$ — евклидово пространство и ${\overrightarrow {E}}$ связанное с ним векторное пространство.

Плоское что евклидово подпространство или аффинное подпространство в $E$ — это подмножество $F$ в $E$ такое,

{\overrightarrow {F}}={\Bigl \{}{\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} P\in F,Q\in F{\Bigr \}}{\vphantom {\frac {(}{}}}

поскольку ассоциированное векторное пространство $F$ является линейным подпространством (векторным подпространством) ${\overrightarrow {E}}.$ Евклидово подпространство $F$ — это евклидово пространство с ${\overrightarrow {F}}$ как связанное векторное пространство. Это линейное подпространство ${\overrightarrow {F}}$ называется направлением F. $$ также

Если $P$ — точка $F$ , то

F={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {F}}{\Bigr \}}.

И наоборот, если $P$ — точка $E$ и ${\overrightarrow {V}}$ является линейным подпространством ${\overrightarrow {E}},$ затем

P+{\overrightarrow {V}}={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {V}}{\Bigr \}}

является евклидовым подпространством направления ${\overrightarrow {V}}$ . (Связанное векторное пространство этого подпространства ${\overrightarrow {V}}$ .)

Евклидово векторное пространство ${\overrightarrow {E}}$ (то есть евклидово пространство, равное ${\overrightarrow {E}}$ ) имеет два типа подпространств: евклидовы подпространства и линейные подпространства. Линейные подпространства являются евклидовыми подпространствами, а евклидово подпространство является линейным подпространством тогда и только тогда, когда оно содержит нулевой вектор.

Линии и сегменты [ править ]

В евклидовом пространстве линия — это евклидово подпространство размерности один. Поскольку векторное пространство размерности один натянуто на любой ненулевой вектор, линия представляет собой множество вида

{\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}

где $P$ и $Q$ — две различные точки евклидова пространства как часть прямой.

Отсюда следует, что существует ровно одна прямая, которая проходит через две различные точки (содержит их). Это означает, что две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Более симметричное представление линии, проходящей через $P$ и $Q$ , — это

{\Bigl \{}O+(1-\lambda ){\overrightarrow {OP}}+\lambda {\overrightarrow {OQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}

где $O$ — произвольная точка (не обязательно на прямой).

В евклидовом векторном пространстве нулевой вектор обычно выбирается для $O$ ; это позволяет упростить предыдущую формулу до

{\bigl \{}(1-\lambda )P+\lambda Q\mathrel {\big |} \lambda \in \mathbb {R} {\bigr \}}.

Стандартное соглашение позволяет использовать эту формулу в каждом евклидовом пространстве, см. Аффинное пространство § Аффинные комбинации и барицентр .

Отрезок прямой или просто сегмент , соединяющий точки $P$ и $Q$ , представляет собой подмножество точек таких, что $0 \leq 𝜆 \leq 1$ в предыдущих формулах. Его обозначают $PQ$ или $QP$ ; то есть

PQ=QP={\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1{\Bigr \}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}

Параллелизм [ править ]

Два подпространства $S$ и $T$ одной и той же размерности в евклидовом пространстве параллельны , если они имеют одно и то же направление (т. е. одно и то же связанное векторное пространство). ^[а] Эквивалентно, они параллельны, если существует вектор перевода $v$ , который отображает один в другой:

T=S+v.

Учитывая точку $P$ и подпространство $S$ , существует ровно одно подпространство, содержащее $P$ и параллельное $S$ , то есть $P+{\overrightarrow {S}}.$ В случае, когда $S$ — линия (подпространство размерности один), это свойство является аксиомой Плейфэра .

Отсюда следует, что на евклидовой плоскости две прямые либо встречаются в одной точке, либо параллельны.

Понятие параллельных подпространств было распространено на подпространства разных размерностей: два подпространства параллельны, если направление одного из них содержится в направлении к другому.

Метрическая структура [ править ]

Векторное пространство ${\overrightarrow {E}}$ связанное с евклидовым пространством $E,$ является пространством внутреннего продукта . Отсюда следует симметричная билинейная форма

{\begin{aligned}{\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {E}}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto \langle x,y\rangle \end{aligned}}

положительно определен (т. $\langle x,x\rangle$ всегда положителен при $x \neq 0$ ).

Внутренний продукт евклидова пространства часто называют скалярным произведением и обозначают $x \cdot y$ . Это особенно актуально, когда декартова система координат была выбрана , поскольку в этом случае скалярное произведение двух векторов является скалярным произведением их координатных векторов . По этой причине, а также по историческим причинам, точечная запись используется чаще, чем скобочная запись для внутреннего произведения евклидовых пространств. Эта статья будет следовать этому использованию; то есть $\langle x,y\rangle$ будет обозначаться $x \cdot y$ в оставшейся части статьи .

Евклидова норма вектора $x$ равна

\|x\|={\sqrt {x\cdot x}}.

Внутренний продукт и норма позволяют выразить и доказать метрические и топологические свойства евклидовой геометрии . В следующем подразделе описаны наиболее фундаментальные из них. В этих подразделах $E$ обозначает произвольное евклидово пространство, а ${\overrightarrow {E}}$ обозначает его векторное пространство переводов.

Расстояние и длина [ править ]

Расстояние евклидово (точнее, расстояние ) между двумя точками евклидова пространства — это норма вектора перевода, который отображает одну точку в другую; то есть

d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\Bigr \|}.{\vphantom {\frac {(}{}}}

Длина отрезка PQ это $—$ расстояние $d (P, Q)$ концами P и Q. между его Его часто обозначают $|PQ|$ .

Расстояние является метрикой , поскольку оно положительно определено, симметрично и удовлетворяет неравенству треугольника.

d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).

При этом равенство истинно тогда и только тогда, когда точка $R$ принадлежит отрезку $PQ$ . Это неравенство означает, что длина любого ребра треугольника меньше суммы длин остальных ребер. Отсюда и возник термин « неравенство треугольника» .

Благодаря евклидову расстоянию каждое евклидово пространство является полным метрическим пространством .

Ортогональность [ править ]

Два ненулевых вектора $u$ и $v$ из ${\overrightarrow {E}}$ (ассоциированное векторное пространство евклидова пространства $E$ ) перпендикулярны или ортогональны , если их внутренний продукт равен нулю:

u\cdot v=0

Два линейных подпространства ${\overrightarrow {E}}$ ортогональны, если каждый ненулевой вектор первого перпендикулярен каждому ненулевому вектору второго. Это означает, что пересечение линейных подпространств сводится к нулевому вектору.

Две линии и, в более общем смысле, два евклидовых подпространства (линию можно рассматривать как одно евклидово подпространство) ортогональны, если их направления (соответствующие векторные пространства евклидовых подпространств) ортогональны. Две пересекающиеся ортогональные прямые называются перпендикулярными .

Два отрезка $AB$ и $AC$ , имеющие общий конец $A$ или , перпендикулярны образуют прямой угол , если векторы ${\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {)}{}}}$ и ${\overrightarrow {AC}}{\vphantom {\frac {)}{}}}$ ортогональны.

Если $AB$ и $AC$ образуют прямой угол, то

|BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.

Это теорема Пифагора . В этом контексте его доказательство легко, так как, выражая это через внутренний продукт, используя билинейность и симметрию внутреннего продукта, получим:

{\begin{aligned}|BC|^{2}&={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}{\vphantom {\frac {(}{}}}\\[2mu]&={\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\\[4mu]&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}

Здесь, ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0{\vphantom {\frac {(}{}}}$ используется, поскольку эти два вектора ортогональны.

Угол [ править ]

(Неориентированный) угол $θ$ между двумя ненулевыми векторами $x$ и $y$ в ${\overrightarrow {E}}$ является

\theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}\right)

где $arccos$ — главное значение функции арккосинус . По неравенству Коши–Шварца аргумент арккосинуса находится в интервале $[-1, 1]$ . Следовательно, $θ$ вещественно, и $0 \leq θ \leq π$ (или $0 \leq θ \leq 180$ , если углы измеряются в градусах).

Углы бесполезны в евклидовой прямой, поскольку они могут быть только 0 или $π$ .

В ориентированной евклидовой плоскости можно определить ориентированный угол двух векторов. Угол ориентации двух векторов $x$ и $y$ тогда противоположен углу ориентации $y$ и $x$ . В этом случае угол двух векторов может иметь любое значение по модулю целого числа, кратного $2 π$ . В частности, рефлекторный угол $π < θ < 2 π$ равен отрицательному углу $- π < θ - 2 π < 0$ .

Угол двух векторов не изменится, если их умножить на положительные числа. Точнее, если $x$ и $y$ — два вектора, а $λ$ и $μ$ — действительные числа, то

\operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{if }}\lambda {\text{ and }}\mu {\text{ have the same sign}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{otherwise}}.\end{cases}}

Если $A$ , $B$ и $C$ — три точки евклидова пространства, угол отрезков $AB$ и $AC$ — это угол векторов ${\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {(}{}}}$ и ${\overrightarrow {AC}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}$ Поскольку умножение векторов на положительные числа не меняет угол, можно определить угол двух полупрямых с начальной точкой $А$ : это угол отрезков $AB$ и $AC$ , где $B$ и $C$ — произвольные точки, одна на каждая полулиния. Хотя это используется реже, аналогичным образом можно определить угол сегментов или полупрямых, которые не имеют общей начальной точки.

Угол двух линий определяется следующим образом. Если $θ$ — угол двух сегментов, по одному на каждой прямой, угол любых двух других сегментов, по одному на каждой прямой, равен либо $θ$ , либо $π - θ$ . Один из этих углов находится в интервале $[0, π /2]$ , а другой — в $[π /2, π]$ . Неориентированный угол двух линий находится в интервале $[0, π /2]$ . В ориентированной евклидовой плоскости ориентированный угол двух прямых принадлежит интервалу $[- π /2, π /2]$ .

Декартовы координаты [ править ]

Каждое евклидово векторное пространство имеет ортонормированный базис (фактически их бесконечно много в размерности выше единицы и два в размерности один), то есть базис $(e_{1},\dots ,e_{n})$ единичных векторов ( $\|e_{i}\|=1$ ), попарно ортогональных ( $e_{i}\cdot e_{j}=0$ для $я \neq j$ ). Точнее, при любом основании $(b_{1},\dots ,b_{n}),$ процесс Грама – Шмидта вычисляет ортонормированный базис такой, что для $i$ линейные промежутки каждого $(e_{1},\dots ,e_{i})$ и $(b_{1},\dots ,b_{i})$ равны. ^[7]

Для евклидова пространства $E$ декартова система координат представляет собой набор данных, состоящий из ортонормированного базиса ${\overrightarrow {E}},$ и точка $E$ , называемая началом координат и часто $O.$ обозначаемая Декартова рамка $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ позволяет определять декартовы координаты как для $E$ , так и для ${\overrightarrow {E}}$ следующим образом.

вектора $v$ Декартовы координаты ${\overrightarrow {E}}$ - коэффициенты при $v$ на ортонормированном базисе $e_{1},\dots ,e_{n}.$ Например, декартовы координаты вектора $v$ на ортонормированной основе $(e_{1},e_{2},e_{3})$ (это можно назвать $(x,y,z)$ по соглашению) в трехмерном евклидовом пространстве есть $(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})$ если $v=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\alpha _{3}e_{3}$ . Поскольку базис ортонормирован, $i$ -й коэффициент $\alpha _{i}$ равно скалярному произведению $v\cdot e_{i}.$

Декартовы координаты точки $P$ точки $E$ являются декартовыми координатами вектора ${\overrightarrow {OP}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}$

Другие координаты [ править ]

Поскольку евклидово пространство является аффинным пространством , на нем можно рассмотреть аффинный фрейм , который аналогичен евклидову фрейму, за исключением того, что базис не обязан быть ортонормированным. Это определяет аффинные координаты , иногда называемые косыми координатами, чтобы подчеркнуть, что базисные векторы не попарно ортогональны.

Аффинным базисом евклидова пространства размерности $n$ называется множество из $n + 1$ точек, не содержащихся в гиперплоскости. Аффинный базис определяет барицентрические координаты для каждой точки.

Многие другие системы координат могут быть определены в евклидовом пространстве $E$ размерности $n$ следующим образом. Пусть $f$ — гомеоморфизм (или, чаще, диффеоморфизм ) плотного открытого подмножества E $в$ открытое подмножество E. $\mathbb {R} ^{n}.$ Координаты точки x $)$ из $E$ компонентами $f (x .$ являются координат ( размер 3 ) . Таким образом определяются полярная система координат (размер 2), а также сферическая и цилиндрическая системы

Для точек, находящихся вне области определения $f$ , координаты иногда могут определяться как предел координат соседних точек, но эти координаты могут не определяться однозначно и не могут быть непрерывными в окрестности точки. Например, для сферической системы координат долгота не определена на полюсе, а на антимеридиане долгота проходит скачком от –180° до +180°.

Этот способ определения координат легко распространяется на другие математические структуры, в частности на многообразия .

Изометрии [ править ]

Изометрия сохраняющая между двумя метрическими пространствами - это биекция, расстояние, ^[б] то есть

d(f(x),f(y))=d(x,y).

В случае евклидова векторного пространства изометрия, отображающая начало координат в начало координат, сохраняет норму

\|f(x)\|=\|x\|,

поскольку нормой вектора является его расстояние от нулевого вектора. Он также сохраняет внутренний продукт

f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,

с

x\cdot y={\tfrac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).

Изометрия евклидовых векторных пространств — это линейный изоморфизм . ^[с]^[8]

Изометрия $f\colon E\to F$ евклидовых пространств определяет изометрию ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ связанных евклидовых векторных пространств. Это означает, что два изометрических евклидовых пространства имеют одинаковую размерность. Обратно, если $E$ и $F$ — евклидовы пространства, $O \in E$ , $O' \in F$ и ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ является изометрией, то отображение $f\colon E\to F$ определяется

f(P)=O'+{\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}{\vphantom {\frac {(}{}}}

является изометрией евклидовых пространств.

Из предыдущих результатов следует, что изометрия евклидовых пространств отображает линии в линии и, в более общем смысле, евклидовы подпространства в евклидовы подпространства той же размерности, и что ограничением изометрии на эти подпространства являются изометрии этих подпространств.

Изометрия с прототипными примерами [ править ]

Если $E$ — евклидово пространство, связанное с ним векторное пространство ${\overrightarrow {E}}$ можно рассматривать как евклидово пространство. Каждая точка $O \in E$ определяет изометрию евклидовых пространств

P\mapsto {\overrightarrow {OP}},{\vphantom {\frac {(}{}}}

который отображает $O$ в нулевой вектор и имеет идентичность связанной линейной карты. Обратная изометрия - это карта

v\mapsto O+v.

Евклидова рамка $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ позволяет определить карту

{\begin{aligned}E&\to \mathbb {R} ^{n}\\P&\mapsto {\Bigl (}e_{1}\cdot {\overrightarrow {OP}},\dots ,e_{n}\cdot {\overrightarrow {OP}}{\Bigr )},{\vphantom {\frac {(}{}}}\end{aligned}}

которое является изометрией евклидовых пространств. Обратная изометрия – это

{\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to E\\(x_{1}\dots ,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end{aligned}}

Это означает, что с точностью до изоморфизма существует ровно одно евклидово пространство данной размерности.

Это подтверждает то, что многие авторы говорят о $\mathbb {R} ^{n}$ как евклидово пространство размерности $n$ .

Евклидова группа [ править ]

Изометрия евклидова пространства на себя называется евклидовой изометрией , евклидовым преобразованием или жестким преобразованием . Жесткие преобразования евклидова пространства образуют группу (при композиции ), называемую евклидовой группой и часто обозначаемую $E(n)$ из $ISO(n)$ .

Простейшие евклидовы преобразования — это переводы.

P\to P+v.

Они находятся в биективном соответствии с векторами. По этой причине пространством переводов называют векторное пространство, связанное с евклидовым пространством. Переводы образуют нормальную подгруппу евклидовой группы.

Евклидова изометрия $f$ евклидова пространства $E$ определяет линейную изометрию ${\overrightarrow {f}}$ ассоциированного векторного пространства (под линейной изометрией понимают изометрию, которая также является линейным отображением ) следующим образом: обозначив через $Q - P$ вектор ${\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {(}{}}}$ если $O$ — произвольная точка $E$ , то имеем

{\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}

Непосредственно доказывается, что это линейное отображение, не зависящее от выбора $O.$

Карта $f\to {\overrightarrow {f}}$ является групповым гомоморфизмом евклидовой группы на группу линейных изометрий, называемую ортогональной группой . Ядром этого гомоморфизма является группа трансляции, что показывает, что это нормальная подгруппа евклидовой группы.

Изометрии, фиксирующие данную точку $P,$ образуют подгруппу стабилизатора евклидовой группы относительно $P$ . Ограничение на этот стабилизатор вышеуказанного группового гомоморфизма является изоморфизмом. Таким образом, изометрии, фиксирующие данную точку, образуют группу, изоморфную ортогональной группе.

Пусть $P$ — точка, $f —$ изометрия, а $t —$ сдвиг, который отображает $P$ в $f (P)$ . Изометрия $g=t^{-1}\circ f$ исправляет $П.$ Так $f=t\circ g,$ а евклидова группа является полупрямым произведением группы трансляции и ортогональной группы.

Специальная ортогональная группа — это нормальная подгруппа ортогональной группы, сохраняющая направленность . Это подгруппа индекса два ортогональной группы. Его прообраз посредством гомоморфизма группы $f\to {\overrightarrow {f}}$ — нормальная подгруппа индекса два евклидовой группы, которая называется специальной евклидовой группой или группой смещения . Его элементы называются жесткими движениями или перемещениями .

К жестким движениям относятся тождество , перемещения, вращения (жесткие движения, фиксирующие хотя бы точку), а также винтовые движения .

Типичными примерами жестких преобразований, которые не являются жесткими движениями, являются отражения , которые представляют собой жесткие преобразования, фиксирующие гиперплоскость и не являющиеся тождественными. Это также преобразования, заключающиеся в изменении знака одной координаты в некоторой евклидовой системе отсчёта.

Поскольку специальная евклидова группа является подгруппой индекса два евклидовой группы с учетом отражения $r$ , каждое жесткое преобразование, которое не является жестким движением, является продуктом $r$ и жесткого движения. Отражение скольжения — это пример жесткой трансформации, которая не является жестким движением или отражением.

Все группы, рассмотренные в этом разделе, являются группами Ли и алгебраическими группами .

Топология [ править ]

Евклидово расстояние делает евклидово пространство метрическим пространством и, следовательно, топологическим пространством . Эта топология называется евклидовой топологией . В случае $\mathbb {R} ^{n},$ эта топология также является топологией продукта .

Открытые множества — это подмножества, которые содержат открытый шар вокруг каждой из своих точек. Другими словами, открытые шары составляют основу топологии .

Топологическая размерность евклидова пространства равна его размерности. Отсюда следует, что евклидовы пространства различных размерностей не гомеоморфны . Более того, теорема инвариантности области утверждает, что подмножество евклидова пространства открыто (для топологии подпространства ) тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно открытому подмножеству евклидова пространства той же размерности.

Евклидовы пространства полны и локально компактны . То есть замкнутое подмножество евклидова пространства компактно, если оно ограничено (т. е. содержится в шаре). В частности, закрытые шары компактны.

Аксиоматические определения [ править ]

Определение евклидовых пространств, описанное в этой статье, принципиально отличается от . определения Евклида В действительности Евклид не давал формального определения пространства, поскольку оно мыслилось как описание физического мира, существующего независимо от человеческого разума. Необходимость формального определения появилась только в конце 19 века, с введением неевклидовой геометрии .

Были использованы два разных подхода. Феликс Кляйн предложил определять геометрию через ее симметрию . Представление евклидовых пространств, данное в этой статье, по существу взято из его программы Эрлангена с упором на группы сдвигов и изометрий.

С другой стороны, Давид Гильберт предложил набор аксиом , вдохновленный постулатами Евклида . Они принадлежат синтетической геометрии , так как не предполагают какого-либо определения действительных чисел . Позже Г. Д. Биркгоф и Альфред Тарский предложили более простые наборы аксиом, в которых используются действительные числа (см. Аксиомы Биркгофа и Аксиомы Тарского ).

В «Геометрической алгебре» Эмиль Артин доказал, что все эти определения евклидова пространства эквивалентны. ^[9]Довольно легко доказать, что все определения евклидовых пространств удовлетворяют аксиомам Гильберта и что определения, включающие действительные числа (включая данное выше определение), эквивалентны. Трудная часть доказательства Артина состоит в следующем. В аксиомах Гильберта конгруэнтность — это отношение эквивалентности на отрезках. Таким образом, можно определить длину отрезка как его класс эквивалентности. Таким образом, необходимо доказать, что эта длина удовлетворяет свойствам, характеризующим неотрицательные действительные числа. Артин доказал это с помощью аксиом, эквивалентных аксиомам Гильберта.

Использование [ править ]

Со времен древних греков евклидово пространство использовалось для моделирования форм физического мира. Таким образом, он используется во многих науках , таких как физика , механика и астрономия . Он также широко используется во всех технических областях, связанных с формами, фигурами, местоположением и положением, таких как архитектура , геодезия , топография , навигация , промышленный дизайн или технический рисунок .

Пространство измерений выше трех встречается в нескольких современных теориях физики; см. Высшее измерение . Они встречаются также в конфигурационных пространствах физических систем .

Помимо евклидовой геометрии , евклидовы пространства также широко используются в других областях математики. Касательные пространства дифференцируемых многообразий являются евклидовыми векторными пространствами. В более общем смысле многообразие — это пространство, локально аппроксимируемое евклидовыми пространствами. Большинство неевклидовых геометрий можно смоделировать с помощью многообразия и внедрить в евклидово пространство более высокой размерности. Например, эллиптическое пространство можно смоделировать эллипсоидом . В евклидовом пространстве принято представлять математические объекты, априори не имеющие геометрической природы. Примером среди многих является обычное представление графов .

Другие геометрические пространства [ править ]

С момента появления в конце XIX века неевклидовых геометрий было рассмотрено множество видов пространств, о которых можно делать геометрические рассуждения так же, как и о евклидовых пространствах. В целом они имеют некоторые общие свойства с евклидовыми пространствами, но могут также иметь свойства, которые могут показаться довольно странными. Некоторые из этих пространств используют для своего определения евклидову геометрию или могут быть смоделированы как подпространства евклидова пространства более высокой размерности. Когда такое пространство определяется геометрическими аксиомами , вложение пространства в евклидово пространство является стандартным способом доказательства непротиворечивости его определения или, точнее, доказательства непротиворечивости его теории, если евклидова геометрия непротиворечива (что невозможно доказать). ).

Аффинное пространство [ править ]

Евклидово пространство — это аффинное пространство, снабженное метрикой . Аффинные пространства имеют множество других применений в математике. В частности, поскольку они определены для любого поля , они позволяют выполнять геометрию в других контекстах.

При рассмотрении нелинейных вопросов обычно полезно рассматривать аффинные пространства над комплексными числами как расширение евклидовых пространств. Например, окружность и линия всегда имеют две точки пересечения (возможно, не разные) в комплексном аффинном пространстве. Поэтому большая часть алгебраической геометрии построена в комплексных аффинных пространствах и аффинных пространствах над алгебраически замкнутыми полями . Поэтому формы, изучаемые в алгебраической геометрии в этих аффинных пространствах, называются аффинными алгебраическими многообразиями .

Аффинные пространства над рациональными числами и, в более общем плане, над полями алгебраических чисел обеспечивают связь между (алгебраической) геометрией и теорией чисел . Например, Великую теорему Ферма можно сформулировать: « Кривая Ферма степени выше двух не имеет точки в аффинной плоскости над рациональными числами».

Геометрия в аффинных пространствах над конечными полями также широко изучается. Например, эллиптические кривые широко используются в криптографии над конечными полями .

Проективное пространство [ править ]

Первоначально проективные пространства были введены путем добавления « бесконечных точек » к евклидовым пространствам и, в более общем плане, к аффинным пространствам, чтобы сделать утверждение «две компланарные прямые пересекаются ровно в одной точке». Проективное пространство разделяет с евклидовым и аффинным пространствами свойство изотропности , то есть у пространства нет свойства, позволяющего различать две точки или две прямые. Поэтому обычно используется более изотропное определение, которое заключается в определении проективного пространства как набора векторных линий в векторном пространстве размерности на единицу больше.

Что касается аффинных пространств, проективные пространства определены над любым полем и являются фундаментальными пространствами алгебраической геометрии .

Неевклидовы геометрии [ править ]

Неевклидова геометрия обычно относится к геометрическим пространствам, в которых постулат о параллельности неверен. К ним относятся эллиптическая геометрия , где сумма углов треугольника больше 180°, и гиперболическая геометрия , где эта сумма меньше 180°. Их введение во второй половине XIX века и доказательство непротиворечивости их теории ( если евклидова геометрия не противоречива) представляет собой один из парадоксов, лежащих в основе фундаментального кризиса математики начала XX века. мотивировал систематизацию аксиоматических теорий в математике.

Искривленные пространства [ править ]

Многообразие — это пространство , которое в окрестности каждой точки напоминает евклидово пространство. Говоря техническим языком, многообразие — это топологическое пространство , в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную евклидова открытому подмножеству пространства. Многообразия можно классифицировать по возрастанию степени этого «сходства» на топологические многообразия , дифференцируемые многообразия , гладкие многообразия и аналитические многообразия . Однако ни один из этих типов «сходства» не учитывает расстояния и углы, даже приблизительно.

Расстояния и углы могут быть определены на гладком многообразии, предоставив плавно меняющуюся евклидову метрику на касательных пространствах в точках многообразия (таким образом, эти касательные пространства являются евклидовыми векторными пространствами). В результате получается риманово многообразие . Вообще говоря, в римановом многообразии прямых линий не существует, но их роль играют геодезические , которые представляют собой «кратчайшие пути» между двумя точками. Это позволяет определить расстояния, измеряемые вдоль геодезических, и углы между геодезическими, которые представляют собой углы их касательных в касательном пространстве при их пересечении. Итак, римановы многообразия локально ведут себя как изогнутое евклидово пространство.

Евклидовы пространства являются тривиально римановыми многообразиями. Примером, хорошо иллюстрирующим это, является поверхность сферы . В данном случае геодезические представляют собой дуги большого круга называются ортодромами , которые в контексте навигации . В более общем смысле пространства неевклидовой геометрии можно реализовать как римановы многообразия.

Псевдоевклидово пространство [ править ]

Внутренний продукт вещественного векторного пространства представляет собой положительно определенную билинейную форму и поэтому характеризуется положительно определенной квадратичной формой . Псевдоевклидово пространство — это аффинное пространство с соответствующим вещественным векторным пространством, снабженным невырожденной квадратичной формой (которая может быть неопределенной ).

Фундаментальным примером такого пространства является пространство Минковского , которое является пространством-временем теории Эйнштейна специальной относительности . Это четырехмерное пространство, метрика которого определяется квадратичной формой

x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},

где последняя координата ( t ) является временной, а остальные три ( x , y , z ) — пространственными.

Чтобы принять гравитацию во внимание , общая теория относительности использует псевдориманово многообразие, пространство которого имеет пространства Минковского касательное . Кривизна этого многообразия в точке является функцией величины гравитационного поля в этой точке.

См. также [ править ]

Гильбертово пространство , обобщение на бесконечную размерность , используемое в функциональном анализе.
Позиционное пространство , приложение в физике.

Сноски [ править ]

^ От контекста или автора может зависеть, параллельно ли подпространство самому себе.
^ Если условие биекции удалено, функция, сохраняющая расстояние, обязательно будет инъективной и является изометрией своей области определения своего образа.
^ Доказательство: нужно доказать, что $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ . Для этого достаточно доказать, что квадрат нормы левой части равен нулю. Используя билинейность внутреннего продукта, этот квадрат нормы можно разложить в линейную комбинацию $\|f(x)\|^{2},$ $\|f(y)\|^{2},$ и $f(x)\cdot f(y).$ Поскольку $f$ является изометрией, это дает линейную комбинацию $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ и $x\cdot y,$ что упрощается до нуля.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Solomentsev 2001 .
^ Болл 1960 , стр. 50–62.
^ Бергер 1987 .
^ Коксетер 1973 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бергер 1987 , раздел 9.1.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бергер 1987 , Глава 9.
^ Антон (1987 , стр. 209–215)
^ Бергер 1987 , Предложение 9.1.3.
^ Артин 1988 .

Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Артин, Эмиль (1988) [1957], Геометрическая алгебра , Библиотека классиков Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. 107–111. x + 214, doi : 10.1002/9781118164518 , ISBN 0-471-60839-4 , МР 1009557
Болл, В. В. Роуз (1960) [1908]. Краткий обзор истории математики (4-е изд.). Дуврские публикации. ISBN 0-486-20630-0 .
Бергер, Марсель (1987), Геометрия I , Берлин: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. Шлефли... открыл их до 1853 года — в то время, когда Кэли, Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо осознавали возможность геометрии более чем в трёх измерениях.
Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Евклидово пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[7] От контекста или автора может зависеть, параллельно ли подпространство самому себе.

[9] Если условие биекции удалено, функция, сохраняющая расстояние, обязательно будет инъективной и является изометрией своей области определения своего образа.

[10] Доказательство: нужно доказать, что $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ . Для этого достаточно доказать, что квадрат нормы левой части равен нулю. Используя билинейность внутреннего продукта, этот квадрат нормы можно разложить в линейную комбинацию $\|f(x)\|^{2},$ $\|f(y)\|^{2},$ и $f(x)\cdot f(y).$ Поскольку $f$ является изометрией, это дает линейную комбинацию $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ и $x\cdot y,$ что упрощается до нуля.

[FOOTNOTESolomentsev2001-1] Перейти обратно: ^а ^б Solomentsev 2001 .

[FOOTNOTEBall196050–62-2] Болл 1960 , стр. 50–62.

[FOOTNOTEBerger1987-3] Бергер 1987 .

[FOOTNOTECoxeter1973-4] Коксетер 1973 .

[FOOTNOTEBerger1987Section_9.1-5] Перейти обратно: ^а ^б Бергер 1987 , раздел 9.1.

[FOOTNOTEBerger1987Chapter_9-6] Перейти обратно: ^а ^б Бергер 1987 , Глава 9.

[8] Антон (1987 , стр. 209–215)

[FOOTNOTEBerger1987Proposition_9.1.3-11] Бергер 1987 , Предложение 9.1.3.

[FOOTNOTEArtin1988-12] Артин 1988 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[а]

[7]

[б]

[с]

[8]

[9]

v т Это Измерение
Габаритные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое разнообразие Пространство-время
Другие размеры	Крулл Лебеговое покрытие Индуктивный Хаусдорф Минковский фрактал Степени свободы
Многогранники и фигуры	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Гиперсфера Кросс-многогранник Симплекс Гиперпирамида
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь n -размеры
Смотрите также	Гиперпространство Коразмерность
Категория