Скалярное умножение

Не путать со скалярным произведением .

Скалярное умножение вектора в 3 раза растягивает вектор.

Скалярные умножения − a и 2 a вектора a

В математике скалярное умножение — одна из основных операций, определяющих векторное пространство в линейной алгебре. (или, в более общем смысле, модуль абстрактной алгебры ). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение действительного евклидова вектора на положительное действительное число умножает величину вектора без изменения его направления. Скалярное умножение — это умножение вектора на скаляр (где произведение является вектором), и его следует отличать от внутреннего произведения двух векторов (где произведение — скаляр).

Определение

В общем, если — поле , а V — векторное пространство над K , то скалярное умножение — это функция от K × V до V. K Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается k v .

Свойства

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор выделен жирным шрифтом ) :

• Аддитивность в скаляре: ( c + d ) v = c v + d v ;
• Аддитивность в векторе: c ( v + w ) = c v + c w ;
• Совместимость произведения скаляров со скалярным умножением: ( cd ) v = c ( d v );
• Умножение на 1 не меняет вектор: 1 v = v ;
• Умножение на 0 дает нулевой вектор : 0 v = 0 ;
• Умножение на -1 дает аддитивную обратную величину : (-1) v = - v .

Здесь + — сложение либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от обстоятельств; и 0 — аддитивная идентичность в любом из них. Сопоставление указывает либо на скалярное умножение, либо на операцию умножения в поле.

Интерпретация

Пространство векторов можно рассматривать как координатное пространство , где элементы связаны со списком элементов из K . Единицы группу поля образуют K ^× а умножение скалярного вектора является групповым действием в координатном пространстве на K ^× . Нуль поля действует на координатное пространство, сжимая его до нулевого вектора.

Когда K — поле действительных чисел, существует геометрическая интерпретация скалярного умножения: оно растягивает или сжимает векторы на постоянный коэффициент. В результате он создает вектор в том же или противоположном направлении от исходного вектора, но другой длины.

В частном случае V можно принять за сам K , а скалярное умножение тогда можно считать просто умножением в поле.

Когда V равно K ^н , скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Та же идея применима, если — коммутативное кольцо , а V — модуль над K. K K может быть даже буровой установкой , но тогда не будет аддитивного обратного. Если K не является коммутативным различные операции левого скалярного умножения c v и правого скалярного умножения v c , могут быть определены .

Скалярное умножение матриц

Основная статья: Матрица (математика)

Левое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ дает другую матрицу того же размера, что и A . Он обозначается λ A , элементы которого λ A определяются формулой

$(\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,$

явно:

$\lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.$

Точно так же, хотя не существует общепринятого определения, правое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ можно определить как

$(\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,$

явно:

$\mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.$

Когда элементы матрицы и скаляры взяты из одного и того же коммутативного поля, например, поля действительных чисел или поля комплексных чисел, эти два умножения одинаковы и их можно просто назвать скалярным умножением . Для матриц над более общим полем , которое не является коммутативным, они могут не быть равными.

Для реального скаляра и матрицы:

$\lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

$2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.$

Для кватернионных скаляров и матриц:

$\lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}$

$i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,$

где i , j , k — единицы кватернионов. Некоммутативность умножения кватернионов предотвращает переход замены ij = + k на ji = − k .

См. также

• Скалярное произведение
• Умножение матрицы
• Умножение векторов
• Продукт (математика)