Изменение базы

Не путать со сменой базы .

Линейная комбинация одного базиса векторов (фиолетового цвета) дает новые векторы (красные). Если они линейно независимы , они образуют новый базис. Линейные комбинации, связывающие первый базис с другим, доходят до линейного преобразования , называемого заменой базиса.

Вектор, представленный двумя разными основаниями (фиолетовая и красная стрелки).

В математике упорядоченный базис векторного пространства конечной размерности n позволяет однозначно представить любой элемент векторного пространства координатным вектором , который представляет собой последовательность скаляров n , называемых координатами . Если рассматриваются две разные базы, вектор координат, который представляет вектор v на одном базисе, как правило, отличается от вектора координат, который представляет вектор v на другом базисе. Изменение базиса состоит в преобразовании каждого утверждения, выраженного в координатах относительно одного базиса, в утверждение, выраженного в координатах относительно другого базиса.

Такое преобразование является результатом формулы изменения базиса , которая выражает координаты относительно одного базиса через координаты относительно другого базиса. Используя матрицы , эту формулу можно записать

$\mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },$

где «старый» и «новый» относятся соответственно к первому определенному базису и другому базису, $\mathbf {x} _{\mathrm {old} }$ и $\mathbf {x} _{\mathrm {new} }$ — векторы-столбцы координат одного и того же вектора по двум основаниям, а $A$ — матрица смены базиса (также называемая матрицей перехода ), которая представляет собой матрицу, столбцы которой представляют собой координаты новых базисных векторов на старом базисе.

Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.

базовой

Позволять $B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ быть базисом конечномерного векторного пространства V над полем F .

Для j = 1, ..., n можно определить вектор w _j по его координатам $a_{i,j}$ над $B_{\mathrm {old} }\colon$

$w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.$

Позволять

$A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}$

— матрица -й столбец которой , j образован координатами w _j . (Здесь и далее индекс i всегда относится к строкам A и $v_{i},$ в то время как индекс j всегда относится к столбцам A и $w_{j};$ такое соглашение полезно для избежания ошибок в явных вычислениях.)

Параметр $B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),$ у одного есть это $B_{\mathrm {new} }$ является базисом V тогда и только тогда, когда матрица A обратима ненулевой или, что то же самое, если она имеет определитель . В этом случае говорят, что A является матрицей замены базиса из базиса $B_{\mathrm {old} }$ к основе $B_{\mathrm {new} }.$

Учитывая вектор $z\in V,$ позволять $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ быть координатами $z$ над $B_{\mathrm {old} },$ и $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ его координаты над $B_{\mathrm {new} };$ то есть

$z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.$

(Можно было бы взять один и тот же индекс суммирования для двух сумм, но систематический выбор индексов i для старого базиса и j для нового делает более понятными последующие формулы и помогает избежать ошибок в доказательствах и явных вычислениях.)

Формула изменения базиса выражает координаты старого базиса через координаты нового базиса. С учетом приведенных выше обозначений это

$x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.$

В терминах матриц формула замены базиса равна

$\mathbf {x} =A\,\mathbf {y} ,$

где $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ — векторы-столбцы координат z над $B_{\mathrm {old} }$ и $B_{\mathrm {new} },$ соответственно.

Доказательство. Используя приведенное выше определение матрицы замены базиса, имеем

${\begin{aligned}z&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}$

Как $z=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},$ формула замены базиса является результатом единственности разложения вектора по базису.

Пример

Рассмотрим евклидово векторное пространство $\mathbb {R} ^{2}.$ Его стандартный базис состоит из векторов $v_{1}=(1,0)$ и $v_{2}=(0,1).$ Если повернуть их на угол t , получится новый базис, образованный $w_{1}=(\cos t,\sin t)$ и $w_{2}=(-\sin t,\cos t).$

Итак, матрица изменения базиса имеет вид ${\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.$

Формула изменения базиса утверждает, что если $y_{1},y_{2}$ — новые координаты вектора $(x_{1},x_{2}),$ тогда у человека есть

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.$

То есть,

$x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{and}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.$

Это можно проверить, написав

${\begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)v_{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)v_{2}\\&=y_{1}(\cos(t)v_{1}+\sin(t)v_{2})+y_{2}(-\sin(t)v_{1}+\cos(t)v_{2})\\&=y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}.\end{aligned}}$

С точки зрения линейных карт

Обычно матрица представляет собой линейную карту , а произведение матрицы и вектор-столбца представляет собой применение функции соответствующей линейной карты к вектору, координаты которого образуют вектор-столбец. Формула смены базиса представляет собой частный случай этого общего принципа, хотя это не сразу ясно из ее определения и доказательства.

Когда кто-то говорит, что матрица представляет собой линейное отображение, он неявно ссылается на базисы неявных векторных пространств и на тот факт, что выбор базиса индуцирует изоморфизм между векторным пространством и F. ^н , где F — поле скаляров. Когда для каждого векторного пространства рассматривается только один базис, стоит оставить этот изоморфизм неявным и перейти к изоморфизму. Поскольку здесь рассматриваются несколько базисов одного и того же векторного пространства, требуется более точная формулировка.

Пусть F — , поле множество $F^{n}$ -кортежей n -векторным пространством , является F сложение и скалярное умножение которого определяются покомпонентно. Его стандартным базисом является базис, i -м элементом которого является кортеж, все компоненты которого равны 0, кроме i- го элемента, равного 1 .

Основа $B=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ -векторного F пространства V определяет линейный изоморфизм $\phi \colon F^{n}\to V$ к

$\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.$

И наоборот, такой линейный изоморфизм определяет базис, которым является образ по $\phi$ стандартной основе $F^{n}.$

Позволять $B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ быть «старой основой» изменения основы, и $\phi _{\mathrm {old} }$ соответствующий изоморфизм. Учитывая матрицу замены базиса A , ее можно было бы считать матрицей эндоморфизма $\psi _{A}$ из $F^{n}.$ Наконец, определите

$\phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}$

(где $\circ$ обозначает композицию функций ), а

$B_{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {new} }(\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })).$

Непосредственная проверка показывает, что это определение $B_{\mathrm {new} }$ аналогичен предыдущему разделу.

Теперь, составив уравнение $\phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}$ с $\phi _{\mathrm {old} }^{-1}$ слева и $\phi _{\mathrm {new} }^{-1}$ справа, получается

$\phi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \phi _{\mathrm {new} }^{-1}.$

Отсюда следует, что для $v\in V,$ у одного есть

$\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}(\phi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)),$

это формула изменения базиса, выраженная в виде линейных карт вместо координат.

Функция, определенная в векторном пространстве

Функция , которой является векторное пространство, областью определения обычно определяется как многомерная функция , переменные которой являются координатами некоторого вектора, к которому применяется функция .

При изменении базиса меняется выражение функции. Это изменение можно вычислить, заменив «старые» координаты их выражениями в «новых» координатах. Точнее, если f ( x ) является выражением функции в терминах старых координат, и если x = A y является формулой замены базы, то f ( A y ) является выражением той же функции в условиях новых координат.

Тот факт, что формула смены базиса выражает старые координаты через новые, может показаться неестественным, но оказывается полезным, поскольку никакого обращения матрицы здесь не требуется .

Поскольку формула смены базиса включает только линейные функции , многие свойства функции сохраняются при смене базиса. Это позволяет определить эти свойства как свойства функций вектора переменной, не связанные с каким-либо конкретным базисом. Итак, функция, областью определения которой является векторное пространство или его подмножество, называется

• линейная функция,
• полиномиальная функция ,
• функция непрерывная ,
• функция дифференцируемая ,
• функция плавная ,
• функция аналитическая ,

если многомерная функция, которая представляет его на каком-то базисе (и, следовательно, на каждом базисе), обладает тем же свойством.

Это особенно полезно в теории многообразий , поскольку позволяет распространить понятия непрерывных, дифференцируемых, гладких и аналитических функций на функции, определенные на многообразии.

Линейные карты

Рассмотрим линейное отображение T : W → V векторного пространства W размерности n в векторное пространство V размерности m . На «старых» базисах V и W он представлен матрицей m × n M размером . Смена базисов определяется матрицей m × m смены базиса размера P для V и n × n матрицей смены базы размера Q для W .

На «новых» базисах матрица T равна

$P^{-1}MQ.$

Это прямое следствие формулы изменения базиса.

Эндоморфизмы

Эндоморфизмы — это линейные отображения векторного пространства V в себя. Для смены основы применяется формула предыдущего раздела с одинаковой матрицей смены основы с обеих сторон формулы. То есть, если M — квадратная матрица эндоморфизма V на «старом» базисе, а P — матрица смены базиса, то матрица эндоморфизма на «новом» базисе равна

$P^{-1}MP.$

Поскольку каждую обратимую матрицу можно использовать в качестве матрицы смены базиса, это означает, что две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же эндоморфизм на двух разных базисах.

Билинейные формы

Билинейная форма в векторном пространстве V над полем F — это функция V × V → F по , линейная обоим аргументам. То есть B : V × V → F билинейно, если отображения $v\mapsto B(v,w)$и $v\mapsto B(w,v)$линейны для каждого фиксированного $w\in V.$

Матрица B билинейной формы B на базисе $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ («старый» базис в дальнейшем) — это матрица, элемент i -й строки и j -го столбца которой равен $B(v_{i},v_{j})$. Отсюда следует, что если v и w — векторы-столбцы координат двух векторов v и w , то

$B(v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \mathbf {w} ,$

где $\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}$ обозначает транспонирование матрицы v .

Если P — замена базисной матрицы, то прямое вычисление показывает, что матрица билинейной формы на новом базисе равна

$P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P.$

Симметричная билинейная форма — это билинейная форма B такая, что $B(v,w)=B(w,v)$ для каждого v и w в V . Отсюда следует, что матрица B на любом базисе симметрична . Это означает, что свойство симметричной матрицы должно сохраняться в приведенной выше формуле смены базы. Это также можно проверить, заметив, что транспонирование матричного произведения — это произведение транспонирований, вычисленных в обратном порядке. В частности,

$(P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}P,$

и два члена этого уравнения равны $P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P$ если матрица B симметрична.

Если характеристика основного поля F не равна двум, то для каждой симметричной билинейной формы существует базис, для которого матрица диагональна . При этом результирующие ненулевые элементы на диагонали определяются с точностью до умножения на квадрат. Итак, если основное поле является полем $\mathbb {R}$ из действительных чисел эти ненулевые элементы могут быть выбраны равными 1 или –1 . Закон инерции Сильвестра — это теорема, утверждающая, что числа 1 и –1 зависят только от билинейной формы, а не от смены базиса.

Симметричные билинейные формы над вещественными числами часто встречаются в геометрии и физике , обычно при изучении квадрик и инерции твердого тела . В этих случаях ортонормированные базы особенно полезны ; это означает, что обычно предпочитают ограничивать изменения базиса теми, которые имеют ортогональную матрицу замены базиса, то есть такую ​​матрицу, что $P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.$ Такие матрицы обладают фундаментальным свойством: формула замены базы одинакова для симметричной билинейной формы и эндоморфизма, представленного одной и той же симметричной матрицей. Спектральная теорема утверждает, что для такой симметричной матрицы существует ортогональная замена базиса, так что результирующая матрица (как билинейной формы, так и эндоморфизма) представляет собой диагональную матрицу с собственными значениями исходной матрицы на диагонали. Отсюда следует, что над вещественными числами, если матрица эндоморфизма симметрична, то она диагонализуема .

См. также

• Активная и пассивная трансформация
• Ковариантность и контравариантность векторов
• Интегральное преобразование , непрерывный аналог изменения базиса.
• Веса Чиргвина-Коулсона — применение в вычислительной химии

Библиография

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-84819-0
• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN  0-395-14017-Х
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN   76091646

Внешние ссылки

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института об изменении базиса , от MIT OpenCourseWare
• Лекция Академии Хана об изменении основы от Академии Хана