Ядро (линейная алгебра)

Чтобы узнать о других значениях, см. Ядро (значения) .

В математике ядро которую , ​​линейной карты также известное как нулевое пространство или нулевое пространство , представляет собой часть (или линейное подпространство ) области , карта отображает в нулевой вектор. То есть, если задано линейное отображение L : V → W между двумя векторными пространствами V и W , ядро ​​L является векторным пространством всех элементов v из V таких, что L ( v ) = 0 , где 0 обозначает нулевой вектор в В , или более символично:

$\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).$

Свойства

Ядро и образ линейного отображения L из V в W

Ядро L является линейным подпространством области V . На линейной карте $L:V\to W,$ два элемента V имеют одинаковый образ в W тогда и только тогда, когда их разница лежит в ядре L , т. е.

$$L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .$$

образ L изоморфен Отсюда следует , фактору V по что ядру:

$$\operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).$$

В случае, когда , из V конечномерно этого следует теорема о ранге-нулевости :

$$\dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).$$

где термин ранг относится к размерности изображения L , $\dim(\operatorname {im} L),$ пока нуль относится к размерности ядра L , $\dim(\ker L).$ То есть,

$$\operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),$$

так что теорему о ранге-нулевости можно переформулировать как

$$\operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).$$

Когда V — пространство внутреннего продукта , фактор $V/\ker(L)$ можно отождествить с дополнением в V ортогональным $\ker(L)$ Это обобщение линейных операторов пространства строк или кообраза матрицы.

Приложение к модулям

Основная статья: Модуль (математика)

Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмов модулей , , которые являются обобщениями векторных пространств, где скаляры являются элементами кольца а не поля . Областью отображения является модуль, ядро ​​которого представляет собой подмодуль . Здесь понятия ранга и недействительности не обязательно применимы.

В функциональном анализе

Основная статья: Топологическое векторное пространство

Если V и W — топологические векторные пространства такие, что W конечномерно, то линейный оператор L : V → W непрерывен тогда и только тогда, когда ядро ​​L является замкнутым подпространством V .

Представление в виде умножения матриц

Рассмотрим линейную карту, представленную в виде размером m × n матрицы A с коэффициентами в поле K (обычно $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$), который работает с векторами-столбцами x с n компонентами над K .Ядром этого линейного отображения является множество решений уравнения A x = 0 , где под 0 понимается нулевой вектор . Размерность ​ ядра A называется нульностью A ​ . В обозначениях построителя множеств ,

$\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.$

Матричное уравнение эквивалентно однородной системе линейных уравнений :

$A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}$

Таким образом, ядро ​​A такое же, как и набор решений приведенных выше однородных уравнений.

Свойства подпространства

Ядро размера m × n матрицы A над полем K является линейным подпространством в K ^н . То есть ядро ​​A , множество Null( A ), имеет следующие три свойства:

1. Null( A ) всегда содержит нулевой вектор , поскольку A 0 = 0 .
2. Если x ∈ Null( A ) и y ∈ Null( A ) , то x + y ∈ Null( A ) . Это следует из дистрибутивности умножения матриц над сложением.
3. Если x ∈ Null( A ) и c скаляр x c ∈ K , то c x ∈ Null( ) , поскольку A ( c x ) = c ( A A ) = c 0 = 0 .

Пространство строк матрицы

Основная статья: Теорема о ранге – недействительности

Произведение A x можно записать через скалярное произведение векторов следующим образом:

$A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.$

Здесь a ₁ , ... , am _{обозначают} строки матрицы A . Отсюда следует, что x находится в ядре A тогда и только тогда, когда x ортогонален . (или перпендикулярен) каждому из векторов-строок A (поскольку ортогональность определяется как наличие скалярного произведения, равного 0)

Пространство строк или кообраз матрицы A — это диапазон векторов-строк A. матрицы По приведенным выше рассуждениям ядро ​​A является ортогональным дополнением к пространству строк. То есть вектор x лежит в ядре A тогда и только тогда, когда он перпендикулярен каждому вектору в пространстве строк A .

Размерность пространства строк A называется рангом A A. ядра A называется нульностью а размерность , Эти величины связаны теоремой о ранге – недействительности

$\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.$

Левое пустое пространство

Левое нулевое пространство , или коядро , матрицы A состоит из всех векторов-столбцов x таких, что x ^Т А = 0 ^Т , где T обозначает транспонирование матрицы. Левое нулевое пространство A совпадает с ядром A. ^Т . Левое нулевое пространство A является ортогональным дополнением к пространству столбцов A и двойственно к коядру соответствующего линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов и левое нулевое пространство A — это четыре фундаментальных подпространства, с матрицей A. связанных

Неоднородные системы линейных уравнений

Ядро также играет роль при решении неоднородной системы линейных уравнений:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

Если u и v — два возможных решения приведенного выше уравнения, то

$A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} \,$

Таким образом, разность любых двух решений уравнения A x = b лежит в ядре A .

Отсюда следует, что любое решение уравнения A x = b можно выразить как сумму фиксированного решения v и произвольного элемента ядра. То есть решение уравнения A x = b равно

$\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},$

Геометрически это говорит о том, что решение, заданное для A x = b, представляет собой сдвиг ядра A на вектор v . См. также альтернативу Фредгольма и плоскую (геометрию) .

Иллюстрация

Ниже приводится простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (см. § Вычисление методом исключения Гаусса ниже, где описаны методы, лучше подходящие для более сложных вычислений). Иллюстрация также затрагивает пространство строк и его связь с ядром.

Рассмотрим матрицу

$A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.$

Ядро этой матрицы состоит из всех векторов ( x , y , z ) ∈ R ³ для чего

${\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},$

которую можно выразить как однородную систему линейных уравнений, включающую x , y и z :

${\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}$

Те же линейные уравнения можно записать и в матричной форме:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].$

Путем исключения Гаусса–Жордана матрицу можно свести к:

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].$

Переписав матрицу в форме уравнения, получим:

${\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}$

Элементы ядра могут быть дополнительно выражены в параметрической векторной форме следующим образом:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )$

Поскольку c — свободная переменная, охватывающая все действительные числа, это можно одинаково хорошо выразить следующим образом:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.$

Ядро A - это в точности набор решений этих уравнений (в данном случае линия , проходящая через начало координат в R ³ ). Здесь, поскольку вектор (−1,−26,16) ^Т составляет основу ядра A . Нульность A равна 1.

Следующие скалярные произведения равны нулю:

${\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,}$

который иллюстрирует, что векторы в ядре A ортогональны каждому из векторов-строок A .

Эти два (линейно независимых) вектора-строки охватывают пространство строк A — плоскость, ортогональную вектору (−1,−26,16). ^Т .

С рангом 2 A , нульностью 1 A и размерностью 3 A мы имеем иллюстрацию теоремы о недействительности ранга.

Примеры

• Если Л : Р ^м → Р ^н , то ядро ​​L является множеством решений однородной системы линейных уравнений . Как на рисунке выше, если L — оператор:
  $$L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})$$
  то ядро ​​L — это множество решений уравнений
  $${\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}$$
• Обозначим через C [0,1] векторное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на интервале [0,1] и определим L : C [0,1] → R по правилу
  $$L(f)=f(0.3).$$
  Тогда ядро ​​L состоит из всех функций f ∈ C [0,1] , для которых f (0.3) = 0 .
• Пусть С ^∞ ( R ) — векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций R → R , и пусть D : C ^∞ ( р ) → С ^∞ ( R ) — оператор дифференцирования :
  $$D(f)={\frac {df}{dx}}.$$
  Тогда ядро ​​D состоит из всех функций из C ^∞ ( R ), чьи производные равны нулю, т.е. набор всех постоянных функций .
• Пусть Р ^∞ будет прямым произведением бесконечного числа копий R , и пусть s : R ^∞ → Р ^∞ быть оператором смены
  $$s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).$$
  Тогда ядром s является одномерное подпространство, состоящее из всех векторов ( x ₁ , 0, 0, 0, ...) .
• Если V — пространство внутреннего произведения , а W — подпространство, ядро ​​ортогональной проекции V → W является ортогональным дополнением к W в V .

методом

Базис ядра матрицы может быть вычислен методом исключения Гаусса .

Для этого по размера m × n матрице A сначала строим дополненную по строкам матрицу ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},$ где I — n × n единичная матрица размера .

Вычислив ее форму эшелона столбцов методом исключения Гаусса (или любым другим подходящим методом), мы получим матрицу ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.$ Базис ядра A состоит из ненулевых столбцов C, таких, что соответствующий столбец B является нулевым столбцом .

Фактически, вычисление может быть остановлено, как только верхняя матрица примет форму эшелона столбцов: оставшаяся часть вычислений состоит в изменении базиса векторного пространства, порожденного столбцами, верхняя часть которых равна нулю.

Например, предположим, что

$A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Затем

${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Помещение верхней части в форму эшелона столбцов с помощью операций со столбцами на всей матрице дает

${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Последние три столбца B являются нулевыми столбцами. Следовательно, три последних вектора C ,

$\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]$

являются основой ядра A .

Доказательство того, что метод вычисляет ядро: поскольку операции со столбцами соответствуют послеумножению на обратимые матрицы, тот факт, что ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}$ сводится к ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}$ означает, что существует обратимая матрица $P$ такой, что ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},$ с $B$ в форме эшелона столбцов. Таким образом $AP=B,$ $IP=C,$ и $AC=B.$ Вектор-столбец $\mathbf {v}$ принадлежит ядру $A$ (то есть $A\mathbf {v} =\mathbf {0}$) тогда и только тогда, когда $B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,$ где $\mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} .$ Как $B$ находится в форме эшелона столбцов, $B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,$ тогда и только тогда, когда ненулевые записи $\mathbf {w}$ соответствуют нулевым столбцам $B.$ Умножив на $C$, можно заключить, что это так тогда и только тогда, когда $\mathbf {v} =C\mathbf {w}$ представляет собой линейную комбинацию соответствующих столбцов $C.$

Численные вычисления

Задача вычисления ядра на компьютере зависит от природы коэффициентов.

Точные коэффициенты

Если коэффициенты матрицы представляют собой точно заданные числа, ступенчатая форма столбцов матрицы может быть вычислена с помощью алгоритма Барейсса более эффективно, чем с помощью исключения Гаусса. Еще эффективнее использовать модульную арифметику и китайскую теорему об остатках , которая сводит задачу к нескольким аналогичным над конечными полями (это позволяет избежать накладных расходов, вызванных нелинейностью вычислительной сложности целочисленного умножения).

Для коэффициентов в конечном поле хорошо работает метод исключения Гаусса, но для больших матриц, которые встречаются в криптографии и вычислениях по базису Грёбнера , известны лучшие алгоритмы, которые имеют примерно ту же вычислительную сложность , но работают быстрее и лучше ведут себя с современным компьютерным оборудованием .

Вычисление с плавающей запятой

Для матриц, элементами которых являются числа с плавающей запятой , проблема вычисления ядра имеет смысл только для матриц, у которых количество строк равно их рангу: из-за ошибок округления матрица с плавающей запятой почти всегда имеет полный ранг. , даже если это аппроксимация матрицы гораздо меньшего ранга. Даже для полноранговой матрицы можно вычислить ее ядро ​​только в том случае, если она хорошо обусловлена , т. е. имеет низкое число обусловленности .

Даже для хорошо обусловленной матрицы полного ранга метод исключения Гаусса работает неправильно: он вносит ошибки округления, которые слишком велики для получения значимого результата. Поскольку вычисление ядра матрицы является частным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро ​​может быть вычислено с помощью любого из различных алгоритмов, предназначенных для решения однородных систем. Современным программным обеспечением для этой цели является библиотека Lapack .

См. также

• Ядро (алгебра)
• Нулевой набор
• Система линейных уравнений
• Пространства строк и столбцов
• Сокращение строк
• Четыре фундаментальных подпространства
• Векторное пространство
• Линейное подпространство
• Линейный оператор
• Функциональное пространство
• Альтернатива Фредгольма

Библиография

См. Также: Линейная алгебра § Дополнительная литература

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0 .
• Лэй, Дэвид К. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7 .
• Мейер, Карл Д. (2001), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN  0-534-99845-3 .
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International.
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл.
• Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Спрингер. ISBN  9780387964126 .
• Трефетен, Ллойд Н.; Бау, Дэвид III (1997), Численная линейная алгебра , SIAM, ISBN  978-0-89871-361-9 .

Внешние ссылки

• «Ядро матрицы» , Энциклопедия Математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Академия Хана , Введение в нулевое пространство матрицы