Альтернатива Фредгольма

В математике альтернатива Фредгольма , названная в честь Ивара Фредгольма , является одной из теорем Фредгольма и результатом теории Фредгольма . Ее можно выразить несколькими способами: как теорему линейной алгебры , теорему об интегральных уравнениях или как теорему об операторах Фредгольма . Часть результата утверждает, что ненулевое комплексное число в спектре компактного оператора является собственным значением.

Линейная алгебра

Если V — n -мерное векторное пространство и $T:V\to V$ является линейным преобразованием , то выполняется ровно одно из следующих условий:

1. Для каждого вектора v из V существует вектор u из V такой, что $T(u)=v$. Другими словами: T сюръективен (а значит, и биективен, поскольку V конечномерен).
2. $\dim(\ker(T))>0.$

Более элементарная формулировка в терминах матриц выглядит следующим образом. Учитывая размера m × n матрицу A и размера m × 1 вектор-столбец b , должно выполняться ровно одно из следующих условий:

1. Либо: A x = b имеет решение x
2. Или: А ^Т y = 0 имеет решение y с y ^Т б ≠ 0.

Другими словами, A x = b имеет решение $(\mathbf {b} \in \operatorname {Im} (A))$ тогда и только тогда, когда для любого y такого, что A ^Т y = 0, отсюда следует, что y ^Т б = 0 $(i.e.,\mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot })$.

Интегральные уравнения

Позволять $K(x,y)$ быть интегральным ядром , и рассмотрим однородное уравнение , интегральное уравнение Фредгольма ,

$\lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=0$

и неоднородное уравнение

$\lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=f(x).$

Альтернатива Фредгольма — это утверждение, что для каждого ненулевого фиксированного комплексного числа $\lambda \in \mathbb {C} ,$ либо первое уравнение имеет нетривиальное решение, либо второе уравнение имеет решение для всех $f(x)$.

Достаточным условием справедливости этого утверждения является $K(x,y)$ быть интегрируемым с квадратом на прямоугольнике $[a,b]\times [a,b]$ (где a и/или b могут быть минус или плюс бесконечность). Интегральный оператор, определяемый таким K, называется интегральным оператором Гильберта–Шмидта .

Функциональный анализ

Результаты об операторах Фредгольма обобщают эти результаты на полные нормированные векторные пространства бесконечных измерений; то есть банаховы пространства .

Интегральное уравнение можно переформулировать в операторных обозначениях следующим образом. Напишите (несколько неофициально) $$T=\lambda -K$$означать $$T(x,y)=\lambda \;\delta (x-y)-K(x,y)$$с $\delta (x-y)$ дельта- функция Дирака , рассматриваемая как распределение или обобщенная функция двух переменных. путем свертки Затем $T$ индуцирует линейный оператор, действующий в банаховом пространстве $V$ функций $\varphi (x)$$$V\to V$$данный $$\varphi \mapsto \psi$$с $\psi$ данный $$\psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\varphi (y)\,dy=\lambda \;\varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy.$$

На этом языке альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений аналогична альтернативе Фредгольма для конечномерной линейной алгебры.

Оператор $K$ задано сверткой с $L^{2}$ ядро, как указано выше, известно как интегральный оператор Гильберта–Шмидта .Такие операторы всегда компактны . В более общем смысле альтернатива Фредгольма справедлива, когда $K$ — любой компактный оператор. Альтернативу Фредгольма можно переформулировать в следующей форме: ненулевое $\lambda$ либо является собственным значением $K,$ или лежит в области резольвенты $$R(\lambda ;K)=(K-\lambda \operatorname {Id} )^{-1}.$$

Эллиптические уравнения в частных производных

Альтернатива Фредгольма может быть применена к решению линейных эллиптических краевых задач . Основной результат таков: если уравнение и соответствующие банаховы пространства составлены правильно, то либо

(1) однородное уравнение имеет нетривиальное решение, или

(2) Неоднородное уравнение может быть решено однозначно для каждого выбора данных.

Аргументация заключается в следующем. Типичный простой для понимания эллиптический оператор L — это лапласиан плюс некоторые члены более низкого порядка. В сочетании с подходящими граничными условиями и выраженный в подходящем банаховом пространстве X (которое кодирует как граничные условия, так и желаемую регулярность решения), L становится неограниченным оператором из X в себя, и можно попытаться решить

$Lu=f,\qquad u\in \operatorname {dom} (L)\subseteq X,$

где f ∈ X — некоторая функция, служащая данными, для которой мы хотим найти решение. Альтернатива Фредгольма вместе с теорией эллиптических уравнений позволит нам организовать решения этого уравнения.

Конкретным примером может служить эллиптическая краевая задача типа

$(*)\qquad Lu:=-\Delta u+h(x)u=f\qquad {\text{in }}\Omega ,$

дополненное граничным условием

$(**)\qquad u=0\qquad {\text{on }}\partial \Omega ,$

где Ω ⊆ R ^н — ограниченное открытое множество с гладкой границей, а h ( x ) — функция с фиксированным коэффициентом (потенциал в случае оператора Шрёдингера). Функция f ∈ X — это переменные данные, для которых мы хотим решить уравнение. Здесь можно было бы принять X за пространство L ² (Ω) всех интегрируемых с квадратом функций на Ω, и dom( L ) тогда является пространством Соболева W ^2,2 (Ом) ∩ W ^1,2
₀ (Ω), который представляет собой набор всех интегрируемых с квадратом функций на Ω, слабые первые и вторые производные которых существуют и интегрируются с квадратом, и которые удовлетворяют нулевому граничному условию на ∂Ω.

Если X выбран правильно (как в этом примере), то при µ ₀ >> 0 оператор L + µ ₀ положителен , а затем, используя эллиптические оценки , можно доказать, что L + µ ₀ : dom( L ) → X — биекция, а ее обратный — компактный, всюду определенный оператор K из X в X с образом, равным dom( L ). Мы зафиксируем один такой µ ₀ , но его значение не важно, поскольку это всего лишь инструмент.

Тогда мы можем преобразовать сформулированную выше альтернативу Фредгольма для компактных операторов в утверждение о разрешимости краевой задачи (*)–(**). Альтернатива Фредгольма, как указано выше, утверждает:

• Для каждого λ ∈ R либо λ является собственным значением K , либо оператор K − λ является биективным из X в себя.

Давайте исследуем две альтернативы, поскольку они реализуются для краевой задачи. Предположим, λ ≠ 0. Тогда либо

(A) λ — собственное значение оператора K ⇔ существует решение h ∈ dom( L ) уравнения ( L + µ ₀ ) h = λ ⁻¹ ч ⇔– м ₀ + л ⁻¹ является собственным значением L .

(B) Оператор K − λ : X → X является биекцией ⇔ ( K − λ ) ( L + µ ₀ ) = Id − λ ( L + µ ₀ ) : dom( L ) → X является биекцией ⇔ L + μ ₀ − λ ⁻¹ : dom( L ) → X является биекцией.

Замена - µ ₀ + λ ⁻¹ на λ и рассматривая случай λ = − µ ₀ отдельно, это дает следующую альтернативу Фредгольма для эллиптической краевой задачи:

• Для каждого λ ∈ R либо однородное уравнение ( L − λ ) u = 0 имеет нетривиальное решение, либо неоднородное уравнение ( L − λ ) u = f имеет единственное решение u ∈ dom( L ) для каждой заданной величины f € Икс .

Последняя функция u решает введенную выше краевую задачу (*)–(**). Это дихотомия, о которой говорилось в пунктах (1)–(2) выше. По спектральной теореме для компактных операторов также получается, что множество λ , для которого не существует разрешимости, является дискретным подмножеством R (собственными значениями L ). Связанные с собственными функциями собственные функции можно рассматривать как «резонансы», которые блокируют разрешимость уравнения.

См. также

• Спектральная теория компактных операторов
• Лемма Вольфа

Ссылки

• Фредхольм, Э.И. (1903). «Об одном классе функциональных уравнений» . Акта математика . 27 : 365–390. дои : 10.1007/bf02421317 .
• А. Г. Рамм, « Простое доказательство альтернативы Фредгольма и характеристика операторов Фредгольма », American Mathematical Monthly , 108 (2001) стр. 855.
• Хведелидзе, Б.В. (2001) [1994], «Теоремы Фредгольма» , Энциклопедия математики , EMS Press
• «Альтернатива Фредгольма» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]