Спектр (функциональный анализ)

Чтобы узнать о простом спектре кольца, см. Спектр кольца .

В математике , особенно в анализе , спектр ограниченного линейного оператора (или, шире, неограниченного линейного оператора ) является обобщением множества собственных значений матрицы функциональном . В частности, комплексное число $\lambda$ говорят, что он принадлежит спектру ограниченного линейного оператора $T$ если $T-\lambda I$

• либо не имеет теоретико-множественного обратного ;
• или теоретико-множественное обратное либо неограничено, либо определено на неплотном подмножестве.

Здесь, $I$ является идентификационным оператором .

По теореме о замкнутом графике $\lambda$ находится в спектре тогда и только тогда, когда ограниченный оператор $T-\lambda I:V\to V$ небиективен на $V$.

Изучение спектров и связанных с ними свойств известно как спектральная теория , которая имеет множество приложений, в первую очередь математическую формулировку квантовой механики .

Спектр оператора в конечномерном векторном пространстве представляет собой в точности набор собственных значений. Однако оператор в бесконечномерном пространстве может иметь дополнительные элементы в своем спектре и не иметь собственных значений. Например, рассмотрим сдвига вправо оператор R в гильбертовом пространстве ℓ ² ,

$(x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots ).$

У него нет собственных значений, так как если Rx = λx , то, разложив это выражение, мы увидим, что x ₁ =0, x ₂ =0 и т. д. С другой стороны, 0 находится в спектре, поскольку, хотя оператор R − 0 (т. е . R сам по себе) обратим, обратное определяется на множестве, которое не плотно в ℓ ² . Фактически каждый ограниченный линейный оператор в комплексном банаховом пространстве должен иметь непустой спектр.

Понятие спектра распространяется на неограниченные (т.е. не обязательно ограниченные) операторы. Говорят, что комплексное число λ принадлежит спектру неограниченного оператора. $T:\,X\to X$ определено в домене $D(T)\subseteq X$ если нет ограниченного обратного $(T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)$ определяется в целом $X.$ Если T замкнуто (в том числе и случай, когда T ограничено), ограниченность $(T-\lambda I)^{-1}$ автоматически вытекает из его существования.

Пространство ограниченных линейных операторов B ( X ) в банаховом пространстве X является примером с единицей банаховой алгебры . Поскольку в определении спектра не упоминаются какие-либо свойства B ( X ), кроме тех, которыми обладает любая такая алгебра, понятие спектра можно обобщить на этот контекст, дословно используя то же определение.

Спектр ограниченного оператора

Определение

Позволять $T$ — ограниченный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве $X$ над комплексным скалярным полем $\mathbb {C}$, и $I$ быть оператором идентификации на $X$. Спектр ​ ​ $T$ это совокупность всех $\lambda \in \mathbb {C}$ для чего оператор $T-\lambda I$ не имеет обратного, являющегося ограниченным линейным оператором.

С $T-\lambda I$ — линейный оператор, обратный линейен, если он существует; и по ограниченной обратной теореме оно ограничено. Следовательно, спектр состоит именно из тех скаляров $\lambda$ для чего $T-\lambda I$ не является биективным .

Спектр данного оператора $T$ часто обозначается $\sigma (T)$, а его дополнение — резольвентное множество — обозначается $\rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)$. ( $\rho (T)$ иногда используется для обозначения спектрального радиуса $T$)

Связь с собственными значениями

Если $\lambda$ является собственным значением $T$, то оператор $T-\lambda I$ не является взаимно однозначным и, следовательно, является обратным $(T-\lambda I)^{-1}$ не определяется. Однако обратное утверждение неверно: оператор $T-\lambda I$ может не иметь обратного, даже если $\lambda$ не является собственным значением. Таким образом, спектр оператора всегда содержит все его собственные значения, но не ограничивается ими.

Например, рассмотрим гильбертово пространство $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$, состоящая из всех двубесконечных последовательностей действительных чисел

$v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )$

которые имеют конечную сумму квадратов ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$. Оператор смены двусторонней $T$ просто смещает каждый элемент последовательности на одну позицию; а именно если $u=T(v)$ затем $u_{i}=v_{i-1}$ для каждого целого числа $i$. Уравнение собственных значений $T(v)=\lambda v$ не имеет ненулевого решения в этом пространстве, поскольку из этого следует, что все значения $v_{i}$ имеют одинаковое абсолютное значение (если $\vert \lambda \vert =1$) или являются геометрической прогрессией (если $\vert \lambda \vert \neq 1$); в любом случае сумма их квадратов не будет конечной. Однако оператор $T-\lambda I$ не обратимо, если $|\lambda |=1$. Например, последовательность $u$ такой, что $u_{i}=1/(|i|+1)$ находится в $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$; но нет последовательности $v$ в $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ такой, что $(T-I)v=u$ (то есть, $v_{i-1}=u_{i}+v_{i}$ для всех $i$).

Основные свойства

Спектр ограниченного оператора Т всегда является замкнутым , ограниченным и непустым подмножеством комплексной плоскости .

Если бы спектр был пуст, то резольвентная функция

$R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,$

будет определен всюду на комплексной плоскости и ограничен. Но можно показать, что резольвентная функция в своей R голоморфна области определения. Согласно векторной версии теоремы Лиувилля , эта функция постоянна, то есть везде равна нулю, поскольку она равна нулю на бесконечности. Это было бы противоречием.

Ограниченность спектра следует из разложения в ряд Неймана по λ ; спектр σ ( T ) ограничен || Т ||. Аналогичный результат показывает замкнутость спектра.

Связанный || Т || спектр можно несколько уточнить. Спектральный радиус ) r ( T T — это радиус наименьшего круга в комплексной плоскости, центр которого находится в начале координат и содержит спектр σ ( T внутри себя ), т.е.

$r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.$

Формула спектрального радиуса говорит что для любого элемента $T$ банаховой алгебры ,

$r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.$

Спектр неограниченного оператора

Определение спектра можно распространить на операторы в банаховом пространстве X. неограниченные Эти операторы больше не являются элементами банаховой алгебры B ( X ).

Определение

Пусть X — банахово пространство и $T:\,D(T)\to X$ быть линейным оператором, определенным в области $D(T)\subseteq X$. комплексное число λ Говорят, что находится в резольвентном множестве (также называемом регулярным множеством ) $T$ если оператор

$T-\lambda I:\,D(T)\to X$

имеет ограниченный всюду определенный обратный, т.е. если существует ограниченный оператор

$S:\,X\rightarrow D(T)$

такой, что

$S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.$

Тогда комплексное число λ находится в спектре , если λ не входит в резольвентное множество.

Чтобы λ находилась в резольвенте (т. е. не в спектре), как и в ограниченном случае, $T-\lambda I$ должно быть биективным, поскольку оно должно иметь двустороннюю инверсию. Как и раньше, если обратное существует, то его линейность является непосредственной, но, вообще говоря, она может быть не ограничена, поэтому это условие необходимо проверять отдельно.

По теореме о замкнутом графике ограниченность $(T-\lambda I)^{-1}$ следует непосредственно из его существования, T замкнуто когда . Тогда, как и в ограниченном случае, комплексное число λ лежит в спектре замкнутого оператора T тогда и только тогда, когда $T-\lambda I$ не является биективным. Заметим, что в класс замкнутых операторов входят все ограниченные операторы.

Основные свойства

Спектр неограниченного оператора, вообще говоря, представляет собой замкнутое, возможно, пустое подмножество комплексной плоскости.Если оператор Т незамкнут , то $\sigma (T)=\mathbb {C}$.

Классификация точек спектра

Дополнительная информация: Разложение спектра (функциональный анализ).

Ограниченный оператор T в банаховом пространстве обратим, т. е. имеет ограниченный обратный, тогда и только тогда, когда T ограничен снизу, т. е. $\|Tx\|\geq c\|x\|,$ для некоторых $c>0,$ и имеет плотный диапазон. Соответственно спектр Т можно разделить на следующие части:

1. $\lambda \in \sigma (T)$ если $T-\lambda I$ не ограничено снизу. В частности, это имеет место, если $T-\lambda I$ не инъективен, т. е. λ — собственное значение. Набор собственных значений называется точечным спектром оператора T и обозначается σ _p ( T ). Альтернативно, $T-\lambda I$ может быть взаимно однозначным, но все же не ограниченным снизу. Такой λ не является собственным значением, но все же является собственным значением T приближенным (сами собственные значения также являются приближенными собственными значениями). Набор приближенных собственных значений (который включает точечный спектр) называется точечным спектром T T и обозначается σ _ap ( приближенным ).
2. $\lambda \in \sigma (T)$ если $T-\lambda I$ не имеет плотного диапазона. Множество таких λ называется спектром сжатия T и обозначается $\sigma _{\mathrm {cp} }(T)$. Если $T-\lambda I$ не имеет плотного диапазона, но инъективен, спектре говорят, что λ находится в T , остаточном обозначаемом через $\sigma _{\mathrm {res} }(T)$.

Обратите внимание, что приблизительный точечный спектр и остаточный спектр не обязательно не пересекаются. (однако точечный спектр и остаточный спектр есть).

В следующих подразделах представлена ​​более подробная информация о трех частях σ ( T ), изображенных выше.

Спектр точек

Если оператор не инъективен (поэтому существует некоторый ненулевой x с T ( x ) = 0), то он явно не обратим. Таким образом, если λ является собственным значением , T обязательно имеет место λ ∈ σ ( T ). Набор собственных значений T также называется точечным спектром T и обозначается σ _p ( T ). Некоторые авторы называют замыкание точечного спектра чистым точечным спектром. $\sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}$ в то время как другие просто рассматривают $\sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).$

Приблизительный точечный спектр

В более общем смысле, согласно ограниченной обратной теореме , T не является обратимым, если он не ограничен снизу; то есть, если не существует c > 0 такого, что || Передача || ≥ с || х || для x ∈ X. всех Таким образом, спектр включает в себя набор приближенных собственных значений , которые представляют собой такие λ , что T - λI не ограничено снизу; эквивалентно, это набор λ , для которого существует последовательность единичных векторов x ₁ , x ₂ , ... для которых

$\lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0$.

Набор приближенных собственных значений известен как приближенный точечный спектр , обозначаемый $\sigma _{\mathrm {ap} }(T)$.

Легко видеть, что собственные значения лежат в приближенном точечном спектре.

Например, рассмотрим правый сдвиг R на $l^{2}(\mathbb {Z} )$ определяется

$R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,$

где ${\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }$ стандартный ортонормированный базис в $l^{2}(\mathbb {Z} )$. Прямой расчет показывает, что R не имеет собственных значений, но каждый λ с | λ | = 1 — приближенное собственное значение; пусть x _n будет вектором

${\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )$

видно, что || х _н || = 1 для всех n , но

$\|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.$

Поскольку R — унитарный оператор, его спектр лежит на единичной окружности. Следовательно, приближенный точечный спектр R — это весь его спектр.

Этот вывод справедлив и для более общего класса операторов.Унитарный оператор является нормальным . По спектральной теореме ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H нормален тогда и только тогда, когда он эквивалентен (после отождествления H с $L^{2}$ пробел) в оператор умножения . Можно показать, что приближенный точечный спектр ограниченного оператора умножения равен его спектру.

Дискретный спектр

Дискретный спектр определяется как набор нормальных собственных значений или, что то же самое, как набор изолированных точек спектра таких, что соответствующий проектор Рисса имеет конечный ранг. По сути, дискретный спектр представляет собой строгое подмножество точечного спектра, т. е. $\sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).$

Непрерывный спектр

Множество всех λ, для которых $T-\lambda I$ инъективен и имеет плотный диапазон, но не сюръективен, называется непрерывным спектром T и обозначается $\sigma _{\mathbb {c} }(T)$. Таким образом, непрерывный спектр состоит из тех приближенных собственных значений, которые не являются собственными значениями и не лежат в остаточном спектре. То есть,

$\sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))$.

Например, $A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $e_{j}\mapsto e_{j}/j$, $j\in \mathbb {N}$, является инъективным и имеет плотный диапазон, но $\mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )$.Действительно, если ${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$ с $c_{j}\in \mathbb {C}$ такой, что ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$, не обязательно иметь ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$, а потом ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$.

Спектр сжатия

Набор $\lambda \in \mathbb {C}$ для чего $T-\lambda I$ известен как спектр сжатия T не имеет плотного диапазона , и обозначается $\sigma _{\mathrm {cp} }(T)$.

Остаточный спектр

Набор $\lambda \in \mathbb {C}$ для чего $T-\lambda I$ инъективен, но не имеет плотного диапазона, известен как спектр T остаточный и обозначается $\sigma _{\mathrm {r} }(T)$:

$\sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).$

Оператор может быть инъективным, даже ограниченным снизу, но все же необратимым. Правильная смена на $l^{2}(\mathbb {N} )$, $R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N}$, вот такой пример. Этот оператор сдвига является изометрией и поэтому ограничен снизу единицей. Но он не обратим, поскольку не сюръективен ( $e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)$), и более того $\mathrm {Ran} (R)$ не плотный в $l^{2}(\mathbb {N} )$( $e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}$).

Периферийный спектр

Периферийный спектр оператора определяется как совокупность точек его спектра, модуль которых равен его спектральному радиусу.

Основной спектр

Существует пять подобных определений существенного спектра замкнутого плотно определенного линейного оператора. $A:\,X\to X$ которые удовлетворяют

$\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).$

Все эти спектры $\sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5$, совпадают в случае самосопряженных операторов.

1. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)$ определяется как множество точек $\lambda$ спектра такой, что $A-\lambda I$ не является полуфредгольмовым . (Оператор является полуфредгольмовым, если его образ замкнут и либо его ядро, либо коядро (или и то, и другое) конечномерны.)
   Пример 1: $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)$ для оператора $A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N}$ (поскольку диапазон этого оператора не замкнут: диапазон включает не все $l^{2}(\mathbb {N} )$ хотя его закрытие делает).
   Пример 2: $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)$ для $N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $N:\,v\mapsto 0$ для любого $v\in l^{2}(\mathbb {N} )$ (поскольку и ядро, и коядро этого оператора бесконечномерны).
2. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)$ определяется как множество точек $\lambda$ спектра такой, что оператор либо $A-\lambda I$ имеет бесконечномерное ядро ​​или имеет незамкнутый диапазон. Его также можно охарактеризовать с помощью критерия Вейля : существует последовательность $(x_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ в пространстве X такое, что $\Vert x_{j}\Vert =1$, ${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$ и такое, что $(x_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ не содержит сходящейся подпоследовательности . Такая последовательность называется сингулярной последовательностью (или сингулярной последовательностью Вейля ).
   Пример: $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)$ для оператора $B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}$ если j четный и $e_{j}\mapsto 0$ когда j нечетно (ядро бесконечномерно, коядро нульмерно). Обратите внимание, что $\lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)$.
3. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)$ определяется как множество точек $\lambda$ спектра такой, что $A-\lambda I$ это не Фредхольм . (Оператор является фредгольмовым , если его образ замкнут и его ядро ​​и коядро конечномерны.)
   Пример: $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)$ для оператора $J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}$ (ядро нульмерное, коядро бесконечномерное). Обратите внимание, что $\lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)$.
4. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)$ определяется как множество точек $\lambda$ спектра такой, что $A-\lambda I$ не является Фредгольмом нулевого индекса. Его также можно было бы охарактеризовать как большую часть спектра A , сохранившуюся компактными возмущениями. Другими словами, ${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$; здесь $B_{0}(X)$ обозначает множество всех компактных операторов на X .
   Пример: $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)$ где $R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$ это правый оператор сдвига, $R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}$ для $j\in \mathbb {N}$ (его ядро ​​нулевое, коядро одномерное). Обратите внимание, что $\lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)$.
5. Основной спектр $\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)$ это союз $\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)$ со всеми компонентами $\mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)$ не пересекающиеся с резольвентным множеством $\mathbb {C} \setminus \sigma (A)$. Его также можно охарактеризовать как $\sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)$.
   Пример: рассмотрим оператор $T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )$, $T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}$ для $j\neq 0$, $T:\,e_{0}\mapsto 0$. С $\Vert T\Vert =1$, у одного есть $\sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}$. Для любого $z\in \mathbb {C}$ с $|z|=1$, диапазон $T-zI$ плотен, но не замкнут, следовательно, граница единичного круга относится к первому типу существенного спектра: $\partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)$. Для любого $z\in \mathbb {C}$ с $|z|<1$, $T-zI$ имеет замкнутый диапазон, одномерное ядро ​​и одномерное коядро, поэтому $z\in \sigma (T)$ хотя $z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)$ для $1\leq k\leq 4$; таким образом, $\sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}$ для $1\leq k\leq 4$. Есть две составляющие $\mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)$: $\{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}$ и $\{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}$. Компонент $\{|z|<1\}$ не имеет пересечения с резольвентным множеством; по определению, $\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}$.

Пример: атом водорода

Атом водорода представляет собой пример различных типов спектров. Оператор Гамильтона атома водорода $H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}$, $Z>0$, с доменом $D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})$ имеет дискретный набор собственных значений (дискретный спектр $\sigma _{\mathrm {d} }(H)$, что в данном случае совпадает с точечным спектром $\sigma _{\mathrm {p} }(H)$ поскольку в непрерывный спектр нет собственных значений), которые можно вычислить по формуле Ридберга . Соответствующие им собственные функции называются собственными состояниями или связанными состояниями . Результат процесса ионизации описывается непрерывной частью спектра (энергия столкновения/ионизации не «квантуется»), представленной выражением $\sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )$ (он также совпадает с существенным спектром, $\sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )$).

Спектр сопряженного оператора

Пусть X — банахово пространство и $T:\,X\to X$ замкнутый линейный оператор с плотной областью определения $D(T)\subset X$.Если X* — пространство, двойственное к X , и $T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}$ является эрмитовым сопряженным T , то

$\sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.$

Теорема . Для ограниченного (или, в более общем смысле, замкнутого и плотно определенного) оператора T ,

$\sigma _{\mathrm {cp} }(T)={\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}$.

В частности, $\sigma _{\mathrm {r} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T)$.

Доказательство

Предположим, что $\mathrm {Ran} (T-\lambda I)$ не плотно в X . По теореме Хана–Банаха существует ненулевая $\varphi \in X^{*}$ который исчезает на $\mathrm {Ran} (T-\lambda I)$. Для всех x ∈ X ,

$\langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =0.$

Поэтому, $(T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0\in X^{*}$ и ${\bar {\lambda }}$ является собственным значением T* .

Обратно, предположим, что ${\bar {\lambda }}$ является собственным значением T* . Тогда существует ненулевое $\varphi \in X^{*}$ такой, что $(T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0$, то есть

$\forall x\in X,\;\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =\langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =0.$

Если $\mathrm {Ran} (T-\lambda I)$ плотно в X , то φ должен быть нулевым функционалом, противоречие. Утверждение доказано.

Мы также получаем $\sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}$ по следующему аргументу: X изометрически вкладывается в X** . Следовательно, для каждого ненулевого элемента ядра $T-\lambda I$ существует ненулевой элемент в X**, который обращается в нуль при $\mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)$. Таким образом $\mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)$ не может быть плотным.

Более того, если X рефлексивно, мы имеем ${\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)$.

Спектры отдельных классов операторов

Компактные операторы

Если T — компактный оператор или, в более общем смысле, несущественный оператор , то можно показать, что спектр счетен, что ноль — единственная возможная точка накопления и что любой ненулевой λ в спектре является собственным значением.

Квазинильпотентные операторы

Ограниченный оператор $A:\,X\to X$ является квазинильпотентным, если $\lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0$ как $n\to \infty$ (другими словами, если спектральный радиус A равен нулю). Такие операторы эквивалентно могут быть охарактеризованы условием

$\sigma (A)=\{0\}.$

Примером такого оператора является $A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}$ для $j\in \mathbb {N}$.

Самосопряженные операторы

Если X — гильбертово пространство , а T — самосопряженный оператор (или, в более общем смысле, нормальный оператор ), то замечательный результат, известный как спектральная теорема, дает аналог теоремы о диагонализации для нормальных конечномерных операторов (эрмитовых матриц , например).

Для самосопряженных операторов можно использовать спектральные меры , чтобы определить разложение спектра на абсолютно непрерывные, чисто точечные и сингулярные части.

Спектр реального оператора

Определения резольвенты и спектра можно распространить на любой непрерывный линейный оператор. $T$ действуя в банаховом пространстве $X$ над реальным полем $\mathbb {R}$ (вместо комплексного поля $\mathbb {C}$) через его комплексификацию $T_{\mathbb {C} }$. В этом случае мы определяем резольвентное множество $\rho (T)$ как совокупность всех $\lambda \in \mathbb {C}$ такой, что $T_{\mathbb {C} }-\lambda I$ обратим как оператор, действующий в комплексифицированном пространстве $X_{\mathbb {C} }$; тогда мы определяем $\sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)$.

Реальный спектр

непрерывного Действительный спектр линейного оператора $T$ действуя в реальном банаховом пространстве $X$, обозначенный $\sigma _{\mathbb {R} }(T)$, определяется как совокупность всех $\lambda \in \mathbb {R}$ для чего $T-\lambda I$ не обратима в вещественной алгебре ограниченных линейных операторов, действующих на $X$. В этом случае мы имеем $\sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)$. Обратите внимание, что реальный спектр может совпадать или не совпадать с комплексным спектром. В частности, реальный спектр может быть пустым.

Спектр единичной банаховой алгебры

Пусть B — комплексная банахова алгебра, содержащая единицу e . Затем мы определяем спектр σ ( x ) (или, более подробно, ( _σB x ) ) элемента x из B как набор тех комплексных чисел λ, которых λe − x не обратимо в B. для Это расширяет определение ограниченных линейных операторов B ( X ) в банаховом пространстве X , поскольку B ( X ) — банахова алгебра с единицей.

См. также

• Основной спектр
• Дискретный спектр (математика)
• Самосопряженный оператор
• Псевдоспектр
• Резольвентный набор

Ссылки

• Дейлс и др., Введение в банаховые алгебры, операторы и гармонический анализ , ISBN   0-521-53584-0
• «Спектр оператора» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3446-6 . МР   2105088 .
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN  978-1-4704-1704-8 .