Эрмитовский сопряженный

В математике , особенно в теории операторов , каждый линейный оператор $A$ в пространстве внутреннего продукта определяет эрмитовский сопряженный (или сопряженный ) оператор $A^{*}$ на этом месте согласно правилу

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является внутренним произведением векторного пространства .

Сопряженное можно также назвать эрмитовым сопряжением или просто эрмитовым сопряжением. ^[1]после Чарльза Эрмита . Его часто обозначают буквой $А. †$ в таких областях, как физика , особенно когда используется в сочетании с обозначениями брекета в квантовой механике . В конечных размерностях , где операторы могут быть представлены матрицами , эрмитово сопряженное задается сопряженным транспонированием (также известным как эрмитово транспонирование).

Приведенное выше определение сопряженного оператора дословно распространяется на ограниченные линейные операторы в гильбертовых пространствах. $H$ . Определение было расширено и теперь включает неограниченные плотно определенные операторы, область определения которых топологически плотна , но не обязательно равна: $H.$

Неофициальное определение [ править ]

Рассмотрим линейное отображение $A:H_{1}\to H_{2}$ между гильбертовыми пространствами . Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что сопряженный оператор — это (в большинстве случаев однозначно определенный) линейный оператор. $A^{*}:H_{2}\to H_{1}$ выполнение

\left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}$ является внутренним произведением в гильбертовом пространстве $H_{i}$ , линейное по первой координате и сопряженное линейное по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и $A$ является оператором в этом гильбертовом пространстве.

Когда кто-то обменивает внутренний продукт на двойную пару , можно определить сопряженный оператор, также называемый . транспонированием $A:E\to F$ , где $E,F$ являются банаховыми пространствами с соответствующими нормами $\|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}$ . Здесь (опять же без учета каких-либо технических деталей) его сопряженный оператор определяется как $A^{*}:F^{*}\to E^{*}$ с

A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),

то есть $\left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)$ для $f\in F^{*},u\in E$ .

Приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто применением случая банахового пространства, когда кто-то отождествляет гильбертово пространство с его двойственным. Тогда вполне естественно, что мы можем получить и сопряженный оператор $A:H\to E$ , где $H$ является гильбертовым пространством и $E$ является банаховым пространством. Тогда двойственность определяется как $A^{*}:E^{*}\to H$ с $A^{*}f=h_{f}$ такой, что

\langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).

Определение неограниченных операторов пространствами банаховыми между

Позволять $\left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)$ быть банаховыми пространствами . Предполагать $A:D(A)\to F$ и $D(A)\subset E$ и предположим, что $A$ является (возможно, неограниченным) линейным оператором, который плотно определен (т. е. $D(A)$ плотный в $E$ ). Тогда его сопряженный оператор $A^{*}$ определяется следующим образом. Домен

D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.

Теперь о произвольных, но фиксированных $g\in D(A^{*})$ мы устанавливаем $f:D(A)\to \mathbb {R}$ с $f(u)=g(Au)$ . По выбору $g$ и определение $D(A^{*})$ , f (равномерно) непрерывна на $D(A)$ как $|f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}$ . Тогда по теореме Хана-Банаха или, альтернативно, посредством расширения по непрерывности, это дает расширение $f$ , называется ${\hat {f}}$ , определенный на всех $E$ . Эта техническая информация необходима для последующего получения $A^{*}$ в качестве оператора $D\left(A^{*}\right)\to E^{*}$ вместо $D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.$ Заметим также, что это не означает, что $A$ можно распространить на все $E$ но расширение работало только для определенных элементов $g\in D\left(A^{*}\right)$ .

Теперь мы можем определить сопряжение $A$ как

{\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}

Таким образом, фундаментальная определяющая идентичность

g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)

для

u\in D(A).

Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами [ править ]

Предположим, $H$ — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ . Рассмотрим непрерывный линейный оператор $A : H \to H$ (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченности оператора ). Тогда сопряженным к $A$ является непрерывный линейный оператор $A * : H \to H$ , удовлетворяющий

\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.

Существование и единственность этого оператора следует из теоремы о представлении Рисса . ^[2]

Это можно рассматривать как обобщение присоединенной матрицы к квадратной матрице, которая обладает аналогичным свойством и включает стандартный комплексный скалярный продукт.

Свойства [ править ]

следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора : Непосредственно очевидны ^[2]

Инволютивность : $А ** = А$
Если $A$ обратимо, то обратимо и $A. *$ , с ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
Сопряженная линейность :
- $(А + Б) * = А * + Б *$
- $(λА) * = λ А *$ , где $λ$ обозначает комплексно число -сопряженное $λ$
« Антидистрибутивность »: $(AB) * = Б * А *$

Если мы определим операторную норму $A$ как

\|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}

затем

\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.

^[2]

Более того,

\left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.

^[2]

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшая величина», экстраполируя случай самосопряженных операторов.

Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве $H$ вместе с присоединенной операцией и операторной нормой образуют прототип C*-алгебры .

Сопряженный к плотно определенным неограниченным операторам между гильбертовыми пространствами [ править ]

Определение [ править ]

Пусть внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ быть линейным по первому аргументу. A Плотно определенный оператор $из$ комплексного гильбертова пространства $H$ в себя — это линейный оператор, область определения D (A) которого $плотным линейным подпространством H$ и чьи значения $является$ лежат $H.$ в ^[3] По определению область $D (A *)$ его сопряженного $A *$ — это множество всех $y \in H$ , для которых существует элемент $z \in H$ , удовлетворяющий условиям

\langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).

Благодаря плотности $D(A)$ и теорема о представлении Рисса , $z$ определяется однозначно и по определению $A^{*}y=z.$ ^[4]

Свойства 1.–5. придерживайтесь соответствующих положений о доменах и кодоменах . ^{[ нужны разъяснения ]} Например, последнее свойство теперь гласит, что $(AB) *$ является расширением $B * А *$ если $A$ , $B$ и $AB$ — плотно определенные операторы. ^[5]

кер А ^*=(я А) ^⊥[ редактировать ]

Для каждого $y\in \ker A^{*},$ линейный функционал $x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ тождественно равен нулю, и, следовательно, $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.$

И наоборот, предположение о том, что $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }$ вызывает функциональную $x\mapsto \langle Ax,y\rangle$ быть тождественно нулю. Поскольку функционал очевидно ограничен, определение $A^{*}$ уверяет, что $y\in D(A^{*}).$ Тот факт, что для каждого $x\in D(A),$ $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0$ показывает, что $A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},$ при условии $D(A)$ плотный.

Это свойство показывает, что $\operatorname {ker} A^{*}$ является топологически замкнутым подпространством, даже если $D(A^{*})$ не является.

Геометрическая интерпретация

Если $H_{1}$ и $H_{2}$ являются гильбертовыми пространствами, то $H_{1}\oplus H_{2}$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением

{\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},

где $a,c\in H_{1}$ и $b,d\in H_{2}.$

Позволять $J\colon H\oplus H\to H\oplus H$ — симплектическое отображение , т.е. $J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).$ Тогда график

G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H

из $A^{*}$ является дополнением ортогональным $JG(A):$

G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.

Утверждение следует из эквивалентностей

{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,

и

{\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.

Следствия [ править ]

А ^* закрыто [ править ]

Оператор $A$ замкнут , если граф $G(A)$ топологически замкнут в $H\oplus H.$ График $G(A^{*})$ сопряженного оператора $A^{*}$ является ортогональным дополнением подпространства и, следовательно, замкнуто.

А ^* плотно определен ⇔ A замыкаемо [ править ]

Оператор $A$ замыкается , если топологическое замыкание $G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H$ графика $G(A)$ это график функции. С $G^{\text{cl}}(A)$ является (замкнутым) линейным подпространством, слово «функция» можно заменить на «линейный оператор». По той же причине, $A$ замыкается тогда и только тогда, когда $(0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)$ пока не $v=0.$

Сопряженный $A^{*}$ плотно определено тогда и только тогда, когда $A$ является закрывающимся. Это следует из того, что для каждого $v\in H,$

v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),

что, в свою очередь, доказывается следующей цепочкой эквивалентностей:

{\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}

А ^** = А ^кл[ редактировать ]

Закрытие $A^{\text{cl}}$ оператора $A$ – оператор, график которого $G^{\text{cl}}(A)$ если этот график представляет собой функцию. Как и выше, слово «функция» может быть заменено на «оператор». Более того, $A^{**}=A^{\text{cl}},$ означающий, что $G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).$

Чтобы доказать это, заметим, что $J^{*}=-J,$ то есть $\langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},$ для каждого $x,y\in H\oplus H.$ Действительно,

{\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}

В частности, для каждого $y\in H\oplus H$ и каждое подпространство $V\subseteq H\oplus H,$ $y\in (JV)^{\perp }$ если и только если $Jy\in V^{\perp }.$ Таким образом, $J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }$ и $[J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.$ Замена $V=G(A),$ получать $G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).$

А ^* = (А ^кл) ^*[ редактировать ]

Для закрывающегося оператора $A,$ $A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},$ означающий, что $G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).$ Действительно,

G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).

Контрпример, когда сопряженное не определено плотно [ править ]

Позволять $H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),$ где $l$ является линейной мерой. Выберите измеримую ограниченную нетождественно нулевую функцию. $f\notin L^{2},$ и выбрать $\varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.$ Определять

A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.

Следует, что $D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.$ Подпространство $D(A)$ содержит все $L^{2}$ функции с компактной поддержкой. С $\mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,$ $A$ плотно определен. Для каждого $\varphi \in D(A)$ и $\psi \in D(A^{*}),$

\langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .

Таким образом, $A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.$ Определение сопряженного оператора требует, чтобы $\mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.$ С $f\notin L^{2},$ это возможно только если $\langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.$ По этой причине, $D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.$ Следовательно, $A^{*}$ не является плотно определённым и тождественно равен нулю на $D(A^{*}).$ Как результат, $A$ не замыкается и не имеет второго сопряженного $A^{**}.$

Эрмитовы операторы [ править ]

A Ограниченный оператор $: H \to H называется$ эрмитовым или самосопряженным , если

A=A^{*}

что эквивалентно

\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.

^[6]

В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (будучи равными своему «комплексно-сопряжённому») и образуют вещественное векторное пространство . Они служат моделью вещественных наблюдаемых в квантовой механике . см. в статье о самосопряженных операторах Подробное описание .

Сопряженные к сопряженно-линейным операторам [ править ]

Для сопряженно-линейного оператора определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженным оператором сопряженно-линейному оператору $A$ в комплексном гильбертовом пространстве $H$ является сопряженно-линейный оператор $A * : H \to H$ со свойством:

\langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.

Другие дополнения [ править ]

Уравнение

\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle

формально аналогично определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , и именно отсюда сопряженные функторы получили свое название.

См. также [ править ]

Математические концепции
Физические приложения
- Оператор (физика)
- †-алгебра

Ссылки [ править ]

^ Миллер, Дэвид AB (2008). Квантовая механика для ученых и инженеров . Издательство Кембриджского университета. стр. 262, 280.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рид и Саймон 2003 , с. 186–187; Рудин 1991 , §12.9
^ см . в разделе «Неограниченный оператор» . Подробности
^ Рид и Саймон 2003 , с. 252; Рудин 1991 , §13.1
^ Рудин 1991 , Thm 13.2.
^ Рид и Саймон 2003 , с. 187; Рудин 1991 , §12.11

Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0 .
Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8 .
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .

[1] Миллер, Дэвид AB (2008). Квантовая механика для ученых и инженеров . Издательство Кембриджского университета. стр. 262, 280.

[rs186-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рид и Саймон 2003 , с. 186–187; Рудин 1991 , §12.9

[3] см . в разделе «Неограниченный оператор» . Подробности

[4] Рид и Саймон 2003 , с. 252; Рудин 1991 , §13.1

[5] Рудин 1991 , Thm 13.2.

[6] Рид и Саймон 2003 , с. 187; Рудин 1991 , §12.11

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т Это гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F