Сопряженное транспонирование

«Сопряженная матрица» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о транспонировании кофактора, см. Матрицу адъюгатов .

В математике сопряженное транспонирование , также известное как эрмитово транспонирование , $m\times n$ комплексная матрица $\mathbf {A}$ это $n\times m$ матрица, полученная транспонированием $\mathbf {A}$ и применяя комплексное сопряжение к каждой записи (комплексное сопряжение $a+ib$ существование $a-ib$, для действительных чисел $a$ и $b$). Существует несколько обозначений, например $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ или $\mathbf {A} ^{*}$, $\mathbf {A} '$, или (часто в физике) $\mathbf {A} ^{\dagger }$.

Для реальных матриц сопряженное транспонирование — это просто транспонирование, $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$.

Определение

Сопряженное транспонирование $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$ формально определяется

$\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}$ ( Уравнение 1 )

где индекс $ij$ обозначает $(i,j)$-я запись, для $1\leq i\leq n$ и $1\leq j\leq m$, а черта сверху обозначает скалярное комплексное сопряжение.

Это определение также можно записать как

$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}$

где $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ обозначает транспонирование и ${\overline {\mathbf {A} }}$ обозначает матрицу с комплексно-сопряженными элементами.

Другие названия сопряженного транспонирования матрицы — эрмитово сопряжение , сопряженная матрица или трансъюгат . Сопряженное транспонирование матрицы $\mathbf {A}$ может быть обозначен любым из этих символов:

• $\mathbf {A} ^{*}$, обычно используемый в линейной алгебре
• $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$, обычно используемый в линейной алгебре
• $\mathbf {A} ^{\dagger }$ (иногда произносится как кинжал . ), обычно используется в квантовой механике
• $\mathbf {A} ^{+}$, хотя этот символ чаще используется для псевдообратной задачи Мура – ​​Пенроуза.

В некоторых контекстах $\mathbf {A} ^{*}$ обозначает матрицу только с комплексно сопряженными элементами и без транспозиции.

Пример

Предположим, мы хотим вычислить сопряженное транспонирование следующей матрицы $\mathbf {A}$.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}$

Сначала транспонируем матрицу:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}$

Затем мы сопрягаем каждую запись матрицы:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}$

Основные замечания

Квадратная матрица $\mathbf {A}$ с записями $a_{ij}$ называется

• Эрмитово или самосопряженное, если $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$; то есть, $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$.
• Скосите эрмитово или антиэрмитово, если $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$; то есть, $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$.
• Нормально , если $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$.
• Унитарный , если $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}$, эквивалентно $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}$, эквивалентно $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}$.

Даже если $\mathbf {A}$ не квадратная, две матрицы $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A}$ и $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ являются одновременно эрмитовыми и фактически положительными полуопределенными матрицами .

Сопряженная транспонированная «сопряженная» матрица $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ не следует путать с придающим , $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$, который еще иногда называют присоединенным .

Сопряженное транспонирование матрицы $\mathbf {A}$ с реальными к транспонированию записями сводится $\mathbf {A}$, поскольку сопряженное действительному числу является самим числом.

Сопряженное транспонирование можно мотивировать, отметив, что комплексные числа можно с пользой представить в виде $2\times 2$ действительные матрицы, подчиняющиеся матричному сложению и умножению:

$a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$

То есть, обозначая каждое комплексное число $z$ по- настоящему $2\times 2$ матрица линейного преобразования на диаграмме Аргана (рассматриваемая как действительное векторное пространство $\mathbb {R} ^{2}$), под воздействием комплекса $z$-умножение на $\mathbb {C}$.

Таким образом, $m\times n$ матрица комплексных чисел может быть хорошо представлена ​​в виде $2m\times 2n$ матрица действительных чисел. Таким образом, сопряженное транспонирование возникает очень естественно как результат простого транспонирования такой матрицы, если снова рассматривать ее как $n\times m$ матрица, состоящая из комплексных чисел.

Для объяснения используемых здесь обозначений мы начнем с представления комплексных чисел. $e^{i\theta }$ как матрица вращения, то есть

$e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

С $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$мы приходим к матричным представлениям чисел единиц в виде

$1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$Общее комплексное число $z=x+iy$ тогда представляется как

$z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.$Операция комплексного сопряжения, где i→−i, рассматривается как просто транспонирование матрицы.

Свойства сопряженного транспонирования

• $(\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }$ для любых двух матриц $\mathbf {A}$ и ${\boldsymbol {B}}$ тех же размеров.
• $(z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ для любого комплексного числа $z$ и любой $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$.
• $(\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ для любого $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$ и любой $n\times p$ матрица ${\boldsymbol {B}}$. Обратите внимание, что порядок факторов обратный.
• $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A}$ для любого $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$, т.е. эрмитова транспозиция является инволюцией .
• Если $\mathbf {A}$ квадратная матрица, то $\det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}$ где $\operatorname {det} (A)$ обозначает определитель ​ $\mathbf {A}$ .
• Если $\mathbf {A}$ квадратная матрица, то $\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}$ где $\operatorname {tr} (A)$ обозначает след ​ $\mathbf {A}$.
• $\mathbf {A}$ обратима когда тогда и только тогда, $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ обратимо, и в этом случае $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }$.
• Собственные значения ​ $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ являются комплексно-сопряженными собственными значениями $\mathbf {A}$.
• $\left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}$ для любого $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$, любой вектор в $x\in \mathbb {C} ^{n}$ и любой вектор $y\in \mathbb {C} ^{m}$. Здесь, $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}$ обозначает стандартный комплексный скалярный продукт на $\mathbb {C} ^{m}$, и аналогично для $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}$.

Обобщения

Последнее свойство, приведенное выше, показывает, что если просмотреть $\mathbf {A}$ как линейное преобразование гильбертова пространства $\mathbb {C} ^{n}$ к $\mathbb {C} ^{m},$ тогда матрица $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ соответствует оператору сопряженному $\mathbf {A}$. Таким образом, концепцию сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц относительно ортонормированного базиса.

Доступно еще одно обобщение: предположим, $A$ представляет собой линейное отображение комплексного векторного пространства $V$ другому, $W$, то определены комплексное сопряженное линейное отображение , а также транспонированное линейное отображение , и, таким образом, мы можем взять сопряженное транспонирование $A$ быть комплексно-сопряженным транспонированным $A$. отображает сопряженное двойственное Он $W$ к сопряженному двойственному $V$.

См. также

• Комплексное скалярное произведение
• Эрмитовский сопряженный
• Адъюгатная матрица

Внешние ссылки

• «Сопряженная матрица» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]