Косо-эрмитова матрица

В линейной алгебре с квадратная матрица комплексными элементами называется косоэрмитовой или антиэрмитовой, если ее сопряженное транспонирование является отрицательным по отношению к исходной матрице. То есть матрица $A$ является косоэрмитовым, если оно удовлетворяет соотношению

$A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad A^{\mathsf {H}}=-A$

где $A^{\textsf {H}}$ обозначает сопряженное транспонирование матрицы $A$. В компонентной форме это означает, что

$A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$

для всех индексов $i$ и $j$, где $a_{ij}$ это элемент в $i$-й ряд и $j$-й столбец $A$, а черта сверху означает комплексное сопряжение .

Косоэрмитовые матрицы можно понимать как комплексные версии действительных кососимметричных матриц или как матричный аналог чисто мнимых чисел. Набор всех косо-эрмитовых $n\times n$ матрицы образуют $u(n)$ Алгебра Ли , которая соответствует группе Ли U( n ) . Эту концепцию можно обобщить, включив в нее линейные преобразования любого комплексного векторного пространства с полуторалинейной нормой .

Обратите внимание, что сопряженный оператор зависит от скалярного произведения, рассматриваемого на $n$ многомерный комплекс или реальное пространство $K^{n}$. Если $(\cdot \mid \cdot )$ обозначает скалярное произведение на $K^{n}$, затем говоря $A$ является кососопряженным, означает, что для всех $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}$ у одного есть $(A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )$.

Мнимые числа можно рассматривать как кососопряженные (поскольку они подобны $1\times 1$ матрицы), тогда как действительные числа соответствуют самосопряженным операторам.

Пример

Например, следующая матрица является косоэрмитовой $$A={\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}$$потому что $$-A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}$$

Характеристики

• Все собственные значения косоэрмитовой матрицы являются чисто мнимыми (и, возможно, равными нулю). Более того, косоэрмитовые матрицы являются нормальными . Следовательно, они диагонализуемы, и их собственные векторы для различных собственных значений должны быть ортогональны.
• Все элементы на главной диагонали косоэрмитовой матрицы должны быть чисто мнимыми ; т. е. на мнимой оси (число ноль также считается чисто мнимым).
• Если $A$ и $B$ являются косоэрмитовыми, то ⁠ $aA+bB$⁠ является косоэрмитовым для всех действительных скаляров. $a$ и $b$.
• $A$ является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда $iA$ (или, что то же самое, $-iA$) является эрмитовым .
• $A$ является косоэрмитовой тогда и только тогда, когда действительная часть $\Re {(A)}$ кососимметрична , а мнимая часть $\Im {(A)}$ является симметричным .
• Если $A$ является косоэрмитовым, то $A^{k}$ является эрмитовым, если $k$ является четным целым числом и косоэрмитовым, если $k$ является нечетным целым числом.
• $A$ является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда $\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}$ для всех векторов $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$.
• Если $A$ является косоэрмитовой, то матричная экспонента $e^{A}$ является унитарным .
• Пространство косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли $u(n)$ Лия группы $U(n)$.

Разложение на эрмитово и косоэрмитово

• Сумма квадратной матрицы и сопряженного ей транспонирования $\left(A+A^{\mathsf {H}}\right)$ является эрмитовым.
• Разница квадратной матрицы и сопряженной ей транспонированной $\left(A-A^{\mathsf {H}}\right)$ является косоэрмитовым. Отсюда следует, что коммутатор двух эрмитовых матриц является косоэрмитовым.
• Произвольная квадратная матрица $C$ можно записать как сумму эрмитовой матрицы $A$ и косоэрмитова матрица $B$: $$C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)$$

См. также

• Бивектор (комплекс)
• Эрмитова матрица
• Нормальная матрица
• Кососимметричная матрица
• Унитарная матрица

Ссылки

• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-38632-6 .
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN  978-0-89871-454-8 .