Матрица перехода состояний

В теории управления матрица перехода состояний — это матрица, произведение которой с вектором состояния $x$ в начальный момент времени $t_{0}$ дает $x$ в более позднее время $t$. Матрицу перехода состояний можно использовать для получения общего решения линейных динамических систем.

Линейные системные решения

Матрица перехода состояний используется для поиска решения общего в пространстве состояний представления линейной системы в следующей форме

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$,

где $\mathbf {x} (t)$ состояния системы, $\mathbf {u} (t)$ входной сигнал, $\mathbf {A} (t)$ и $\mathbf {B} (t)$ являются матричными функциями , а $\mathbf {x} _{0}$ является начальным состоянием при $t_{0}$. Использование матрицы перехода состояний $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, решение дается следующим образом:

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau$

Первый член известен как реакция при нулевом входе и показывает, как будет развиваться состояние системы при отсутствии каких-либо входных данных. Второй термин известен как реакция нулевого состояния и определяет, как входные данные влияют на систему.

Серия Пеано – Бейкера

Наиболее общая матрица перехода задается интегралом произведения , называемым рядом Пеано-Бейкера.

${\begin{aligned}\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} &+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}\\&+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}\\&+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}\\&+\cdots \end{aligned}}$

где $\mathbf {I}$ является единичной матрицей . Эта матрица сходится равномерно и абсолютно к существующему и единственному решению. Ряд имеет формальную сумму, которую можно записать как

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\exp {\mathcal {T}}\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma )\,d\sigma$

где ${\mathcal {T}}$ — оператор временного порядка , используемый для обеспечения повторяющегося интеграла произведения правильного порядка . Расширение Magnus предоставляет возможность оценить этот продукт.

Другие объекты недвижимости

Матрица перехода состояний $\mathbf {\Phi }$ удовлетворяет следующим соотношениям. Эти отношения являются общими для интеграла продукта .

1. Оно непрерывно и имеет непрерывные производные.

2. Оно никогда не бывает единственным; фактически $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)$ и $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I$, где $I$ является единичной матрицей.

3. $\mathbf {\Phi } (t,t)=I$ для всех $t$ .

4. $\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})$ для всех $t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}$.

5. Он удовлетворяет дифференциальному уравнению ${\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ с начальными условиями $\mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I$.

6. Матрица перехода состояний $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, заданный

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )$

где $n\times n$ матрица $\mathbf {U} (t)$ - матрица фундаментального решения, удовлетворяющая условию

${\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)$ с начальным состоянием $\mathbf {U} (t_{0})=I$.

7. Учитывая состояние $\mathbf {x} (\tau )$ в любое время $\tau$, состояние в любое другое время $t$ задается отображением

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )$

Оценка матрицы перехода состояний

В стационарном случае мы можем определить $\mathbf {\Phi }$, используя матричную экспоненту , как $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}$.

В нестационарном случае матрица перехода состояний $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ можно оценить из решений дифференциального уравнения ${\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)$ с начальными условиями $\mathbf {u} (t_{0})$ данный $[1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, $[0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, ..., $[0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}$. Соответствующие решения обеспечивают $n$ столбцы матрицы $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$. Теперь из свойства 4, $\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}$ для всех $t_{0}\leq \tau \leq t$. Прежде чем продолжить анализ изменяющегося во времени решения, необходимо определить матрицу перехода состояний.

См. также

• Расширение Магнуса
• Формула Лиувилля

Дальнейшее чтение

• Бааке, М.; Шлегель, У. (2011). «Серия Пеано-пекаря». Известия Математического института им. Стеклова . 275 : 155–159. дои : 10.1134/S0081543811080098 . S2CID   119133539 .
• Броган, WL (1991). Современная теория управления . Прентис Холл. ISBN  0-13-589763-7 .