Формула Лиувилля

В математике определитель формула Лиувилля , также известная как тождество Абеля-Якоби-Лиувилля , представляет собой уравнение, которое выражает квадратно - матричного решения системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка через сумму диагональных коэффициентов. системы. Формула названа в честь французского математика Жозефа Лиувилля . Формула Якоби дает другое представление того же математического соотношения.

Формула Лиувилля является обобщением тождества Абеля и может быть использована для его доказательства. Поскольку формула Лиувилля связывает различные линейно независимые решения системы дифференциальных уравнений, она может помочь найти одно решение из другого (других), см. пример применения ниже.

Формулировка формулы Лиувилля

Рассмотрим n -мерное линейное дифференциальное уравнение первого порядка

$y'=A(t)y$

на интервале I вещественной прямой , где A ( t ) для t ∈ I обозначает квадратную матрицу размерности n с вещественными или комплексными элементами. Пусть Φ обозначает матричное решение на I , что означает, что Φ( t ) является так называемой фундаментальной матрицей , квадратной матрицей размерности n с действительными или комплексными элементами, а производная удовлетворяет условию

$\Phi '(t)=A(t)\Phi (t),\qquad t\in I.$

Позволять

$\operatorname {tr} A(s)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}(s),\qquad s\in I,$

обозначим след a A ( s ) = ( i _{, j (} s ) ) _{i , j ∈ {1,..., n }} , суммы его диагональных элементов. Если след A является непрерывной функцией , то определитель Φ удовлетворяет условию

$\det \Phi (t)=\det \Phi (t_{0})\,\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\operatorname {tr} A(s)\,{\textrm {d}}s\right)$

для всех t и t ₀ в I .

Пример приложения

Этот пример иллюстрирует, как формула Лиувилля может помочь найти общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Учитывать

$y'=\underbrace {\begin{pmatrix}1&-1/x\\1+x&-1\end{pmatrix}} _{=\,A(x)}y$

на открытом интервале I = (0, ∞) . Предположим, что простое решение

$y(x)={\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix}},\qquad x\in I,$

уже найден. Позволять

$y(x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\y_{2}(x)\end{pmatrix}}$

обозначим другое решение, тогда

$\Phi (x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)&1\\y_{2}(x)&x\end{pmatrix}},\qquad x\in I,$

является решением приведенного выше дифференциального уравнения с квадратной матрицей. Поскольку след A ( x ) равен нулю для всех x ∈ I , из формулы Лиувилля следует, что определитель

$c_{1}:=\det \Phi (x)=x\,y_{1}(x)-y_{2}(x),\qquad x\in I,$ ( 1 )

на самом деле является константой, не зависящей от x . Записав первую компоненту дифференциального уравнения для y , получим с помощью ( 1 ) что

$y'_{1}(x)=y_{1}(x)-{\frac {y_{2}(x)}{x}}={\frac {x\,y_{1}(x)-y_{2}(x)}{x}}={\frac {c_{1}}{x}},\qquad x\in I.$

Следовательно, интегрируя, мы видим, что

$y_{1}(x)=c_{1}\ln x+c_{2},\qquad x\in I,$

включая натуральный логарифм и константу интегрирования c ₂ . Решение уравнения ( 1 ) для y ₂ ( x ) и замена y ₁ ( x ) дает

$y_{2}(x)=x\,y_{1}(x)-c_{1}=\,c_{1}x\ln x+c_{2}x-c_{1},\qquad x\in I,$

что является общим решением для y . Специальным выбором c ₁ = 0 и c ₂ = 1 мы восстанавливаем простое решение, с которого начали, выбор c ₁ = 1 и c ₂ = 0 дает линейно независимое решение. Поэтому,

$\Phi (x)={\begin{pmatrix}\ln x&1\\x\ln x-1&x\end{pmatrix}},\qquad x\in I,$

является так называемым фундаментальным решением системы.

Доказательство формулы Лиувилля.

Мы опускаем аргумент x для краткости. По формуле Лейбница для определителей производная определителя Φ = (Φ _{i , j} ) _{i , j ∈ {0,..., n }} может быть вычислена путем дифференцирования одной строки за раз и взятия суммы, т.е.

$(\det \Phi )'=\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}\Phi _{1,1}&\Phi _{1,2}&\cdots &\Phi _{1,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi '_{i,1}&\Phi '_{i,2}&\cdots &\Phi '_{i,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi _{n,1}&\Phi _{n,2}&\cdots &\Phi _{n,n}\end{pmatrix}}.$ ( 2 )

Поскольку матричное решение Φ удовлетворяет уравнению Φ' = A Φ , мы имеем для каждого элемента матрицы Φ'

$\Phi '_{i,k}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}\Phi _{j,k}\,,\qquad i,k\in \{1,\ldots ,n\},$

или для всей строки

$(\Phi '_{i,1},\dots ,\Phi '_{i,n})=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(\Phi _{j,1},\ldots ,\Phi _{j,n}),\qquad i\in \{1,\ldots ,n\}.$

Когда мы вычитаем из i -й строки линейную комбинацию

$\sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n}a_{i,j}(\Phi _{j,1},\ldots ,\Phi _{j,n}),$

всех остальных строк, то значение определителя остается неизменным, следовательно,

$\det {\begin{pmatrix}\Phi _{1,1}&\Phi _{1,2}&\cdots &\Phi _{1,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi '_{i,1}&\Phi '_{i,2}&\cdots &\Phi '_{i,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi _{n,1}&\Phi _{n,2}&\cdots &\Phi _{n,n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\Phi _{1,1}&\Phi _{1,2}&\cdots &\Phi _{1,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{i,i}\Phi _{i,1}&a_{i,i}\Phi _{i,2}&\cdots &a_{i,i}\Phi _{i,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\Phi _{n,1}&\Phi _{n,2}&\cdots &\Phi _{n,n}\end{pmatrix}}=a_{i,i}\det \Phi$

для каждого i ∈ {1, . . . , n } линейностью определителя по каждой строке. Следовательно

$(\det \Phi )'=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}\det \Phi =\mathrm {tr} \,A\,\det \Phi$ ( 3 )

по ( 2 ) и определению следа. Осталось показать, что из этого представления производной следует формула Лиувилля.

Исправить Икс ₀ ∈ Я . Поскольку предполагается, что след A является непрерывной функцией на I , он ограничен на каждом замкнутом и ограниченном подинтервале I и, следовательно, интегрируем, следовательно,

$g(x):=\det \Phi (x)\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}\mathrm {tr} \,A(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right),\qquad x\in I,$

является четко определенной функцией. Дифференцируя обе части, используя правило произведения, правило цепочки , производную показательной функции и основную теорему исчисления , получаем

$g'(x)={\bigl (}(\det \Phi (x))'-\det \Phi (x)\,\mathrm {tr} \,A(x){\bigr )}\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}\operatorname {tr} \,A(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right)=0,\qquad x\in I,$

из-за производной в ( 3 ). Следовательно, g должна быть постоянной на I , потому что в противном случае мы получили бы противоречие с теоремой о среднем значении (примененной отдельно к действительной и мнимой части в комплексном случае). Поскольку g ( x ₀ ) = det Φ( x ₀ ) , формула Лиувилля следует из решения определения g для det Φ( x ) .

Ссылки

• Чиконе, Кармен (2006), Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 152–153, ISBN  978-0-387-30769-5 , МР   2224508 , Збл   1120.34001
• Тешл, Джеральд (2012), Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы , Провиденс : Американское математическое общество , MR   2961944 , Zbl   1263.34002