След (линейная алгебра)

В линейной алгебре след tr квадратной матрицы $A$ , обозначаемый $(A)$ , ^[1]определяется как сумма элементов на главной диагонали (из верхнего левого угла в нижний правый) $A$ . След определяется только для квадратной матрицы ( $n \times n$ ).

Можно доказать, что след матрицы представляет собой сумму ее собственных значений (считающихся с кратностью). Также можно доказать, что $tr(AB) = tr(BA)$ для любых двух матриц $A$ и $B$ подходящих размеров. Это означает, что подобные матрицы имеют один и тот же след. Как следствие, можно определить след линейного оператора , отображающего конечномерное векторное пространство в себя, поскольку все матрицы, описывающие такой оператор относительно базиса, подобны.

След связан с производной определителя ( см. формулу Якоби ).

Определение [ править ]

След n A $\times n определяется$ квадратной матрицы $размера$ как ^[1]^[2]^[3]^: 34

\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}

где

a ii

обозначает запись в

i-

й строке и

i

-м столбце

A

. Записи

A

могут быть действительными числами , комплексными числами или, в более общем смысле, поля F. элементами След не определен для неквадратных матриц.

Пример [ править ]

Пусть $A$ — матрица, причем

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}

Затем

\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1

Свойства [ править ]

Основные свойства [ править ]

След является линейным отображением . То есть, ^[1]^[2]

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}

для всех квадратных матриц

A

и

B

и всех скаляров

c

. ^[3]^: 34

Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след: ^[1]^[2]^[3]^: 34

\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).

Это следует непосредственно из того, что транспонирование квадратной матрицы не затрагивает элементы вдоль главной диагонали.

След продукта [ править ]

След квадратной матрицы, являющейся произведением двух матриц, можно переписать как сумму поэлементных произведений их элементов, т. е. как сумму всех элементов их произведения Адамара . Проще говоря, если $A$ и $B$ — две $матрицы размера m \times n$ , то:

\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.

Если рассматривать любую действительную $матрицу размера m \times n$ как вектор длины $mn$ (операция, называемая векторизацией ), то описанная выше операция над $A$ и $B$ совпадает со стандартным скалярным произведением . Согласно приведенному выше выражению, $tr(A ⊤ A)$ представляет собой сумму квадратов и, следовательно, неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда $A$ равно нулю. ^[4]^: 7 Кроме того, как отмечено в приведенной выше формуле, $tr(A ⊤ B) = tr(B ⊤ А)$ . Они демонстрируют положительную определенность и симметрию, необходимые для внутреннего продукта ; принято называть $tr(A ⊤ B)$ Фробениуса внутренний продукт $A$ и $B.$ Это естественный скалярный продукт в векторном пространстве всех действительных матриц фиксированных размеров. Норма , полученная из этого внутреннего продукта, называется нормой Фробениуса и удовлетворяет субмультипликативному свойству, что можно доказать с помощью неравенства Коши – Шварца :

0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\ ,

если

A

и

B

— вещественные положительные полуопределенные матрицы одного размера. Внутренний продукт и норма Фробениуса часто возникают в матричном исчислении и статистике .

Внутренний продукт Фробениуса можно расширить до эрмитова внутреннего продукта в комплексном векторном пространстве всех комплексных матриц фиксированного размера, заменив $B$ его комплексно-сопряженным .

Симметрию внутреннего произведения Фробениуса можно более точно сформулировать следующим образом: матрицы в следе произведения можно переключать местами без изменения результата. Если $A$ и $B$ представляют собой $действительные или комплексные матрицы m \times n$ и $n \times m$ соответственно, то ^[1]^[2]^[3]^: 34^{[примечание 1]}

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$

Это примечательно как тем фактом, что $AB$ обычно не равно $BA$ , так и тем, что след любого из них обычно не равен $tr(A)tr(B)$ . ^{[заметка 2]} Инвариантность подобия следа, означающая, что $tr(A) = tr(P -1 AP)$ для любой квадратной матрицы $A$ и любой обратимой матрицы $P$ тех же размеров является фундаментальным следствием. Это доказывается

\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).

Инвариантность подобия — это важнейшее свойство следа, позволяющее обсуждать следы линейных преобразований, как показано ниже.

Кроме того, для реальных векторов-столбцов $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ , след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту:

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b}$

Циклическое свойство [ править ]

В более общем смысле, трасса инвариантна относительно круговых сдвигов , то есть

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).$

Это известно как циклическое свойство .

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).

Однако если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),

где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что это неверно в целом для более чем трех факторов.

Кронекера След продукта

След кронекеровского произведения двух матриц есть произведение их следов:

\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).

Характеристика следа [ править ]

Следующие три свойства:

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}

охарактеризовать след с точностью до скалярного кратного в следующем смысле: Если

f

— линейный функционал в пространстве квадратных матриц, удовлетворяющий условию

f(xy)=f(yx),

затем

f

и

\operatorname {tr}

пропорциональны. ^{[заметка 3]}

Для $n\times n$ матрицы, налагая нормировку $f(\mathbf {I} )=n$ делает $f$ равен следу.

Трассировка как сумма собственных значений [ править ]

Для любой $размера n \times n$ матрицы $A$ существует

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$

где $λ 1, ..., λ n$ — собственные значения оператора $A,$ подсчитанные с кратностью. Это справедливо, даже если $A$ — действительная матрица и некоторые (или все) собственные значения являются комплексными числами. Это можно рассматривать как следствие существования жордановой канонической формы вместе с обсуждавшейся выше подобием-инвариантностью следа.

След коммутатора [ править ]

Когда оба $A$ и $B$ являются $матрицами размера n \times n$ , след (теоретического кольца) коммутатора B исчезает $:$ A и $tr$ ( $[A, B]) = 0$ , потому что $tr(AB) = tr(BA)$ и $tr$ является линейным. Это можно сформулировать так: «след представляет собой отображение алгебр Ли $gl n \to k$ от операторов к скалярам», поскольку коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли ). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор какой-либо пары матриц.

И наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. ^{[примечание 4]} Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

Следы особых видов матриц [ править ]

След $n \times n$ единичной матрицы размера — это размерность пространства, а именно $n$ .
$\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n$
Это приводит к обобщению размерности с использованием трассировки .
След эрмитовой матрицы веществен, потому что элементы на диагонали вещественны.
След матрицы перестановок — это количество неподвижных точек соответствующей перестановки, поскольку диагональный член $a ii$ равен 1, если $i-$ я точка фиксирована, и 0 в противном случае.
След матрицы проекции — это размерность целевого пространства. ${\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}$ Матрица $P X$ идемпотентна.
В более общем смысле, след любой идемпотентной матрицы , т.е. матрицы с $A 2 = A$ , равен своему рангу .
След нильпотентной матрицы равен нулю.

Когда характеристика базового поля равна нулю, справедливо и обратное: если $tr(A к) = 0$ для всех $k$ , то $A$ нильпотентна.

Когда характеристика $n > 0$ положительна, тождество в $n$ измерениях является контрпримером, как $\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0$ , но тождество не нильпотентно.

характеристическим полиномом Связь с

След $n\times n$ матрица $A$ коэффициент $t^{n-1}$ в характеристическом многочлене возможно изменение знака в соответствии с соглашением в определении характеристического многочлена.

с значениями Связь собственными

Если $A$ — линейный оператор, представленный квадратной матрицей с действительными или комплексными элементами, и если $λ 1, ..., λ n$ — собственные значения оператора $A$ (перечислены в соответствии с их алгебраическими кратностями ), то

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}$

Это следует из того, что $A$ всегда подобна своей жордановой форме — верхней треугольной матрице , имеющей $λ 1, ..., λ n$ на главной диагонали. Напротив, является произведением $определитель A$ его собственных значений; то есть,

\det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.

Все изложенное в настоящем параграфе применимо и к любой квадратной матрице с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле .

отношения Производные

Если $ΔA$ — квадратная матрица с небольшими элементами, а $I$ обозначает единичную матрицу , то мы имеем приблизительно

\det(\mathbf {I} +\mathbf {\Delta A} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {\Delta A} ).

что след является производной определяющей Именно это означает , функции в единичной матрице. Формула Якоби

d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}

является более общим и описывает дифференциал определителя произвольной квадратной матрицы в терминах следа и сопряженного числа матрицы.

Отсюда (или из связи следа с собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, матричной показательной функцией и определителем:

\det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).

Соответствующая характеристика следа применима к линейным векторным полям . Учитывая матрицу $A$ , определите векторное поле $F$ на $R н$ F $) (Икс = Ах$ . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками $A$ ). Его дивергенция $div F$ является постоянной функцией, значение которой равно $tr(A)$ .

По теореме о дивергенции это можно интерпретировать в терминах потоков: если $F (x)$ представляет скорость жидкости в месте $x$ , а $U$ — область в $R н$ , чистый поток жидкости из $U$ определяется выражением $(A) \cdot vol(U)$ , где $vol(U)$ — объём U $tr$ .

След является линейным оператором, следовательно, он коммутирует с производной:

d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).

След линейного оператора [ править ]

В общем случае, учитывая некоторое линейное отображение $f : V \to V$ (где $V$ — конечномерное векторное пространство рассматривая след матричного представления f $), мы можем определить след этого отображения ,$ , то есть выбирая базис для $V$ и описываем $f$ как матрицу относительно этого базиса и берем след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку разные базисы будут давать одинаковые матрицы , что обеспечивает возможность независимого от базиса определения следа линейного отображения.

Такое определение можно дать, используя изоморфизм между пространством $End(V)$ линейных отображений на $V$ и $V \otimes V *$ , где $V *$ — пространство, двойственное к $V.$ канонический Пусть $v$ находится в $V$ , и пусть $g$ находится в $V *$ . Тогда след неразложимого элемента $v \otimes g$ определяется как $g (v)$ ; след общего элемента определяется линейностью. След линейного отображения $f : V \to V$ тогда можно определить как след в указанном выше смысле элемента из $V \otimes V *,$ соответствующего f при упомянутом выше каноническом изоморфизме. Используя явный базис для $V$ и соответствующий двойственный базис для $V *$ , можно показать, что это дает то же определение следа, что и данное выше.

Численные алгоритмы [ править ]

Стохастическая оценка [ править ]

След можно объективно оценить с помощью «трюка Хатчинсона»: ^[5]

Учитывая любую матрицу $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ и любое случайное $u\in \mathbb {R} ^{n}$ с $E[uu^{T}]=I$ , у нас есть $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ . (Доказательство: непосредственно расширить ожидание.)

Обычно случайный вектор выбирается из $N(0,I)$ (нормальное распределение) или $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ ( Распределение Радемахера ).

Были разработаны более сложные стохастические оценки следа. ^[6]

Приложения [ править ]

Если действительная матрица 2 x 2 имеет нулевой след, ее квадрат является диагональной матрицей .

След комплексной матрицы 2×2 используется для классификации преобразований Мёбиуса . Сначала матрица нормализуется, чтобы ее определитель стал равен единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование является параболическим . Если квадрат находится в интервале [0,4) , он эллиптический . Наконец, если квадрат больше 4, преобразование является локсодромным . См. классификацию преобразований Мёбиуса .

Трассировка используется для определения символов представлений групп . Два представления $A, B : G \to GL (V)$ группы $G$ эквивалентны (с точностью до замены базиса на $)$ , если $tr(A (g)) = tr(B (g))$ для всех $g \in G.$ V

След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм .

Алгебра лжи [ править ]

След представляет собой отображение алгебр Ли. $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ из алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ линейных операторов в $n$ -мерном пространстве ( $матрицы n \times n$ с элементами в $K$ ) к алгебре Ли $K$ скаляров; поскольку $K$ абелев (скобка Ли исчезает), тот факт, что это отображение алгебр Ли, является в точности утверждением об исчезновении следа скобки:

\operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.

ядром этого отображения является матрица, след которой равен нулю . Часто говорят, что бесследный или следы свободны , и эти матрицы образуют простую алгебру Ли ${\mathfrak {sl}}_{n}$ , которая является алгеброй Ли специальной линейной группы матриц с определителем 1. Специальная линейная группа состоит из матриц, которые не меняют объема, а специальная линейная алгебра Ли - это матрицы, которые не меняют объем бесконечно малых множеств.

Фактически существует внутреннее в прямую сумму разложение ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ операторов/матриц на бесследовые операторы/матрицы и скалярные операторы/матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена через след, а именно:

\mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .

) можно составить Формально трассу (карту единиц из карты единиц. $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ «включения скаляров » для получения карты ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ отображение на скаляры и умножение на $n$ . Деление на $n$ делает это проекцией, давая формулу, приведенную выше.

В терминах коротких точных последовательностей имеем

0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0

что аналогично

1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1

(где

K^{*}=K\setminus \{0\}

) для групп Ли . Однако след естественным образом распадается (через

1/n

умножить скаляры), так что

{\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K

, но расщепление определителя будет как

скаляры n-

го корня, умноженные на скаляры, и это, как правило, не определяет функцию, поэтому определитель не расщепляется и общая линейная группа не разлагается:

\operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.

Билинейные формы [ править ]

Билинейная форма (где $X$ , $Y$ — квадратные матрицы)

B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X}

называется формой Киллинга , которая используется для классификации алгебр Ли.

Трассировка определяет билинейную форму:

(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).

Форма симметричная, невырожденная. ^{[примечание 5]} и ассоциативны в том смысле, что:

\operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).

Для сложной простой алгебры Ли (например, ${\mathfrak {sl}}$ ), каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме Киллинга ^{[ нужна цитата ]}.

Две матрицы $X$ и $Y$ называются ортогональными по следу, если

\operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.

Существует обобщение общего представления $(\rho ,{\mathfrak {g}},V)$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , такой, что $\rho$ является гомоморфизмом алгебр Ли $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).$ Форма следа ${\text{tr}}_{V}$ на ${\text{End}}(V)$ определяется, как указано выше. Билинейная форма

\phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))

симметричен и инвариантен вследствие цикличности.

Обобщения [ править ]

Понятие следа матрицы обобщается на ядерный класс компактных операторов в гильбертовых пространствах , а аналог нормы Фробениуса называется нормой Гильберта–Шмидта .

Если $K$ — ядерный оператор, то для любого ортонормированного базиса $(e_{n})_{n}$ , след определяется выражением

\operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,

и конечен и не зависит от ортонормированного базиса. ^[7]

Частичный след — это еще одно обобщение операторного следа. След линейного оператора $Z$ , живущего в пространстве-произведении $A \otimes B$ , равен частичным следам над $A$ и $B$ :

\operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).

Дополнительные свойства и обобщение частичного следа см. в разделе « Отслеживаемые моноидальные категории» .

Если $A$ — общая ассоциативная алгебра над полем $k$ , то след на $A$ часто определяется как любое отображение $tr: A \mapsto k$ , которое обращается в нуль на коммутаторах; $tr([, b]) = 0$ для всех $a, b \in A.$ a Такой след не определен однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на ненулевой скаляр.

Суперслед — это обобщение следа на случай супералгебр .

Операция сжатия тензора обобщает след на произвольные тензоры.

Следы на языке тензорных произведений [ править ]

Для векторного пространства $V$ существует естественное билинейное отображение $V \times V * \to F$ , заданный путем перевода $(v, φ)$ в скаляр $φ(v)$ . Универсальное свойство тензорного произведения $V \otimes V *$ автоматически следует, что это билинейное отображение индуцировано линейным функционалом на $V \otimes V *$ . ^[8]

Аналогично существует естественное билинейное отображение $V \times V * \to Hom(V, V)$ , заданный отправкой $(v, φ)$ в линейное отображение $w \mapsto φ(w) v$ . Универсальное свойство тензорного произведения, как оно использовалось ранее, говорит о том, что это билинейное отображение индуцируется линейным отображением $V \otimes V * \to Хом(V, V)$ . Если $V$ конечномерно, то это линейное отображение является линейным изоморфизмом . ^[8]Этот фундаментальный факт является прямым следствием существования (конечного) базиса $V$ , и его также можно сформулировать как утверждение, что любое линейное отображение $V \to V$ может быть записано как сумма (конечного числа) линейных карт ранга один. Составление обратного изоморфизма с полученным выше линейным функционалом приводит к линейному функционалу на $Hom(V, V)$ . Этот линейный функционал точно такой же, как и след.

Используя определение следа как суммы диагональных элементов, матричную формулу $tr(AB) = tr(BA)$ доказать несложно, и она была приведена выше. В настоящей перспективе мы рассматриваем линейные карты $S$ и $T$ и рассматриваем их как суммы карт ранга один, так что существуют линейные функционалы $φ i$ и $ψ j$ и ненулевые векторы $v i$ и $w j$ такие, что $S (u) знак равно Σ φ я (ты) v я$ и $Т (ты) знак равно Σ ψ j (ты) ш j$ для любого $ты$ в $V$ . Затем

(S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}

для любого $u$ в $V$ . Линейное отображение ранга один $u \mapsto ψ j (u) φ i (w j) v i$ имеет след $ψ j (v i) φ i (w j)$ , и поэтому

\operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).

Следуя той же процедуре с $обратными S$ и $T$ , можно найти точно такую же формулу, доказывая, что $tr(S \circ T)$ равно $tr(T \circ S)$ .

Приведенное выше доказательство можно рассматривать как основанное на тензорном произведении, учитывая, что фундаментальное тождество $End(V)$ с $V \otimes V *$ эквивалентно выразимости любого линейного отображения как суммы линейных отображений первого ранга. Таким образом, доказательство можно записать в обозначениях тензорных произведений. Тогда можно рассмотреть полилинейное отображение $V \times V * \times V \times V * \to V \otimes V *$ задаётся отправкой $(v, φ, w, ψ)$ в $φ (w) v \otimes ψ$ . Дальнейшая композиция с картой трасс приводит к $φ (w) ψ (v)$ , и это не изменится, если вместо этого начать с $(w, ψ, v, φ)$ . Можно также рассмотреть билинейное отображение $End(V) \times End(V) \to End(V)$ , заданное отправкой $(f, g)$ в композицию $f \circ g$ , которая затем индуцируется линейным отображением $End(V) \otimes End (V) \to Конец(V)$ . Видно, что это совпадает с линейным отображением $V \otimes V * \otimes V \otimes V * \to V \otimes V *$ . Установленная симметрия при композиции с картой трасс затем устанавливает равенство двух трасс. ^[8]

Для любого конечномерного векторного пространства $V$ существует естественное линейное отображение $F \to V \otimes V'$ ; на языке линейных карт он присваивает скаляру $c$ линейное отображение $c \cdotid V$ . Иногда это называется картой кооценки , а след $V \otimes V' \to F$ называется картой оценки . ^[8] Эти структуры могут быть аксиоматизированы для определения категориальных следов в абстрактной теории категорий .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Это следует из определения матричного произведения : $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).$
^ Например, если $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},$ тогда продукт $\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$ и следы: $tr(AB) = 1 \neq 0 \cdot 0 знак равно tr(A)tr(B)$ .
^ Доказательство: Пусть $e_{ij}$ стандартную основу и обратите внимание, что $f\left(e_{ij}\right)=0$ если и только если $i\neq j$ и $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ $f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ Более абстрактно это соответствует разложению ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,$ как $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ (эквивалентно, $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ) определяет трассировку на ${\mathfrak {sl}}_{n},$ которое дополняет скалярные матрицы и оставляет одну степень свободы: любое такое отображение определяется его значением на скалярах, которые являются одним скалярным параметром и, следовательно, все они кратны следу, такой карте ненулевой.
^ Доказательство: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ является полупростой алгеброй Ли , и, следовательно, каждый элемент в ней представляет собой линейную комбинацию коммутаторов некоторых пар элементов, в противном случае производная алгебра была бы собственным идеалом.
^ Это следует из того, что $tr(A * A) = 0$ тогда и только тогда, когда $A = 0$ .

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это «Ранг, след, определитель, транспонирование и обращение матриц» . fourier.eng.hmc.edu . Проверено 9 сентября 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вайсштейн, Эрик В. (2003). «След (матрица)» . В Вайсштейне, Эрик В. (ред.). CRC Краткая энциклопедия математики (второе издание оригинального издания 1999 г.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall . дои : 10.1201/9781420035223 . ISBN 1-58488-347-2 . МР 1944431 . Збл 1079.00009 . Проверено 9 сентября 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . МакГроу-Хилл. ISBN 9780070605022 .
^ Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402 .
^ Хатчинсон, МФ (январь 1989 г.). «Стохастическая оценка следа матрицы влияния для сглаживающих сплайнов Лапласа» . Коммуникации в статистике – моделирование и вычисления . 18 (3): 1059–1076. дои : 10.1080/03610918908812806 . ISSN 0361-0918 .
^ Аврон, Хаим; Толедо, Сиван (11 апреля 2011 г.). «Рандомизированные алгоритмы оценки следа неявной симметричной положительной полуопределенной матрицы» . Журнал АКМ . 58 (2): 8:1–8:34. дои : 10.1145/1944345.1944349 . ISSN 0004-5411 . S2CID 5827717 .
^ Тешль, Г. (30 октября 2014 г.). Математические методы в квантовой механике . Аспирантура по математике. Том. 157 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-1470417048 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кассель, Кристиан (1995). Квантовые группы . Тексты для аспирантов по математике . Том. 155. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0783-2 . ISBN 0-387-94370-6 . МР 1321145 . Збл 0808.17003 .

Гантмахер, Франция (1959). Теория матриц. Том. 1, 2 . Перевод К. А. Гирша . Нью-Йорк: Издательская компания Челси . МР 0107649 .
Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (второе издание оригинальной редакции 1985 г.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-54823-6 . МР 2978290 .
Стрэнг, Гилберт (2004). Линейная алгебра и ее приложения (четвертое издание, оригинальная редакция 1976 г.). Cengage Обучение . ISBN 978-0030105678 .

Внешние ссылки [ править ]

«След квадратной матрицы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[5] Это следует из определения матричного произведения : $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).$

[6] Например, если $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},$ тогда продукт $\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$ и следы: $tr(AB) = 1 \neq 0 \cdot 0 знак равно tr(A)tr(B)$ .

[7] Доказательство: Пусть $e_{ij}$ стандартную основу и обратите внимание, что $f\left(e_{ij}\right)=0$ если и только если $i\neq j$ и $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ $f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ Более абстрактно это соответствует разложению ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,$ как $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ (эквивалентно, $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ) определяет трассировку на ${\mathfrak {sl}}_{n},$ которое дополняет скалярные матрицы и оставляет одну степень свободы: любое такое отображение определяется его значением на скалярах, которые являются одним скалярным параметром и, следовательно, все они кратны следу, такой карте ненулевой.

[8] Доказательство: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ является полупростой алгеброй Ли , и, следовательно, каждый элемент в ней представляет собой линейную комбинацию коммутаторов некоторых пар элементов, в противном случае производная алгебра была бы собственным идеалом.

[11] Это следует из того, что $tr(A * A) = 0$ тогда и только тогда, когда $A = 0$ .

[:1-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это «Ранг, след, определитель, транспонирование и обращение матриц» . fourier.eng.hmc.edu . Проверено 9 сентября 2020 г.

[:2-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вайсштейн, Эрик В. (2003). «След (матрица)» . В Вайсштейне, Эрик В. (ред.). CRC Краткая энциклопедия математики (второе издание оригинального издания 1999 г.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall . дои : 10.1201/9781420035223 . ISBN 1-58488-347-2 . МР 1944431 . Збл 1079.00009 . Проверено 9 сентября 2020 г.

[LipschutzLipson-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . МакГроу-Хилл. ISBN 9780070605022 .

[HornJohnson-4] Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402 .

[9] Хатчинсон, МФ (январь 1989 г.). «Стохастическая оценка следа матрицы влияния для сглаживающих сплайнов Лапласа» . Коммуникации в статистике – моделирование и вычисления . 18 (3): 1059–1076. дои : 10.1080/03610918908812806 . ISSN 0361-0918 .

[10] Аврон, Хаим; Толедо, Сиван (11 апреля 2011 г.). «Рандомизированные алгоритмы оценки следа неявной симметричной положительной полуопределенной матрицы» . Журнал АКМ . 58 (2): 8:1–8:34. дои : 10.1145/1944345.1944349 . ISSN 0004-5411 . S2CID 5827717 .

[12] Тешль, Г. (30 октября 2014 г.). Математические методы в квантовой механике . Аспирантура по математике. Том. 157 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-1470417048 .

[kassel-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кассель, Кристиан (1995). Квантовые группы . Тексты для аспирантов по математике . Том. 155. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0783-2 . ISBN 0-387-94370-6 . МР 1321145 . Збл 0808.17003 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[примечание 1]

[заметка 2]

[заметка 3]

[примечание 4]

[5]

[6]

[примечание 5]

[7]

[8]