Характеристический полином

Эта статья о характеристическом многочлене матрицы или эндоморфизма векторных пространств. Чтобы узнать о характеристическом полиноме матроида, см. Matroid . Информацию о градуированном частичном наборе см. в разделе « Градуированный частично заданный набор» .

В линейной алгебре характеристический многочлен квадратной матрицы — это многочлен , инвариантный относительно подобия матрицы и имеющий собственные значения в качестве корней . Среди его коэффициентов есть определитель и след матрицы. Характеристический полином эндоморфизма базиса конечномерного векторного пространства — это характеристический полином матрицы этого эндоморфизма по любой базе (т. е. характеристический полином не зависит от выбора ) . Характеристическое уравнение , также известное как детерминантное уравнение , — уравнение, полученное приравниванием характеристического полинома нулю.

В теории спектральных графов характеристический полином графа является характеристическим полиномом его матрицы смежности .

Мотивация

В линейной алгебре собственные значения и собственные векторы играют фундаментальную роль, поскольку при линейном преобразовании собственный вектор — это вектор, направление которого не изменяется в результате преобразования, а соответствующее собственное значение — это мера результирующего изменения величины вектора.

Точнее, если преобразование представлено квадратной матрицей $A,$ собственный вектор $\mathbf {v} ,$ и соответствующее собственное значение $\lambda$ должно удовлетворять уравнению

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$$

или, что то же самое,

$$(\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0}$$

где $I$ – единичная матрица , и $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$(хотя нулевой вектор удовлетворяет этому уравнению для каждого $\lambda ,$ он не считается собственным вектором).

Отсюда следует, что матрица $(\lambda I-A)$ должно быть в единственном числе , а его определитель

$$\det(\lambda I-A)=0$$

должно быть равно нулю.

Другими словами, собственные A являются корнями значения

$$\det(xI-A),$$

который является моническим полиномом по x степени n , если A — матрица размера n × n . Этот многочлен является многочленом A . характеристическим

Формальное определение

Рассмотрим $n\times n$ матрица $A.$ Характеристический полином $A,$ обозначается $p_{A}(t),$ – полином, определяемый формулой

$$p_{A}(t)=\det(tI-A)$$

где $I$ обозначает $n\times n$ идентификационная матрица .

Некоторые авторы определяют характеристический полином как $\det(A-tI).$ Этот многочлен отличается от определенного здесь знаком $(-1)^{n},$ поэтому это не имеет значения для таких свойств, как наличие в качестве корней собственных значений $A$; однако приведенное выше определение всегда дает монический полином , тогда как альтернативное определение является моническим только тогда, когда $n$ четный.

Примеры

Чтобы вычислить характеристический полином матрицы

$$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$$

следующего вычисляется определитель :

$$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}$$

и оказалось, что $(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,$ характеристический полином $A.$

В другом примере используются гиперболические функции от гиперболического угла φ.В качестве матрицы возьмем

$$A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.$$

Его характеристический полином

$$\det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).$$

Свойства

Характеристический полином $p_{A}(t)$ из $n\times n$ матрица является монической (ее старший коэффициент равен $1$) и его степень $n.$ Самый важный факт о характеристическом многочлене уже упоминался в мотивационном параграфе: собственные значения $A$ именно корнями являются $p_{A}(t)$ (это справедливо и для минимального многочлена $A,$ но его степень может быть меньше $n$). Все коэффициенты характеристического многочлена являются полиномиальными выражениями в элементах матрицы. В частности, его постоянный коэффициент $t^{0}$ является $\det(-A)=(-1)^{n}\det(A),$ коэффициент $t^{n}$ равен единице, а коэффициент $t^{n-1}$ есть tr(− A ) = −tr( ) , где tr( A ) — след A $A.$ (Знаки, приведенные здесь, соответствуют формальному определению, данному в предыдущем разделе; для альтернативного определения вместо этого они будут $\det(A)$ и (-1) ^{п – 1} tr( A ) соответственно. )

Для $2\times 2$ матрица $A,$ таким образом, характеристический полином определяется выражением

$$t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).$$

Используя язык внешней алгебры , характеристический многочлен $n\times n$ матрица $A$ может быть выражено как

$$p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)$$

где ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$ это след ​ $k$внешняя сила ​ $A,$ который имеет размерность ${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$ Этот след можно вычислить как сумму всех главных миноров $A$ размера $k.$ Рекурсивный алгоритм Фаддеева – Леверье вычисляет эти коэффициенты более эффективно.

Когда характеристика поля ​ коэффициентов $0,$ каждая такая трасса альтернативно может быть вычислена как единственный определитель, т.е. $k\times k$ матрица,

$$\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.$$

Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что замена $t$ к $A$ в характеристическом полиноме (интерпретируя полученные степени как степени матрицы, а постоянный член $c$ как $c$ умноженное на единичную матрицу) дает нулевую матрицу. Неформально говоря, каждая матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Это утверждение эквивалентно утверждению, что минимальный многочлен от $A$ делит характеристический полином $A.$

Две подобные матрицы имеют одинаковый характеристический полином. Однако обратное, вообще говоря, неверно: две матрицы с одинаковым характеристическим полиномом не обязательно должны быть похожими.

Матрица $A$ и его транспонирование имеют один и тот же характеристический полином. $A$ подобна треугольной матрице тогда и только тогда, когда ее характеристический полином можно полностью разложить на линейные множители по $K$ (то же самое относится и к минимальному полиному вместо характеристического полинома). В этом случае $A$ аналогична матрице в жордановой нормальной форме .

Характеристический полином произведения двух матриц

Если $A$ и $B$ два квадратных $n\times n$ матрицы, то характеристические полиномы $AB$ и $BA$ совпадают:

$$p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,$$

Когда $A$ неособа , этот результат следует из того, что $AB$ и $BA$ похожи ​ :

$$BA=A^{-1}(AB)A.$$

Для случая, когда оба $A$ и $B$ сингулярны, искомое тождество есть равенство многочленов от $t$ и коэффициенты матриц. Таким образом, для доказательства этого равенства достаточно доказать, что оно проверено на непустом открытом подмножестве (для обычной топологии или, более общо, для топологии Зарисского ) пространства всех коэффициентов. Поскольку неособые матрицы образуют такое открытое подмножество пространства всех матриц, это доказывает результат.

В более общем смысле, если $A$ это матрица порядка $m\times n$ и $B$ это матрица порядка $n\times m,$ затем $AB$ является $m\times m$ и $BA$ является $n\times n$ матрица, и один имеет

$$p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,$$

Чтобы доказать это, можно предположить $n>m,$ путем обмена, при необходимости, $A$ и $B.$ Затем, гранича $A$ внизу у $n-m$ ряды нулей и $B$ справа, мимо, $n-m$ столбцы нулей, получается два $n\times n$ матрицы $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ такой, что $B^{\prime }A^{\prime }=BA$ и $A^{\prime }B^{\prime }$ равно $AB$ граничит с $n-m$ строки и столбцы нулей. Результат следует из случая квадратных матриц путем сравнения характеристических многочленов $A^{\prime }B^{\prime }$ и $AB.$

Характеристический полином A ^к

Если $\lambda$ является собственным значением квадратной матрицы $A$ с собственным вектором $\mathbf {v} ,$ затем $\lambda ^{k}$ является собственным значением $A^{k}$ потому что

$$A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.$$

Можно показать, что кратности также согласуются, и это обобщается на любой полином вместо $x^{k}$:

Теорема — Пусть $A$ быть квадратом $n\times n$ матрица и пусть $f(t)$ быть полиномом. Если характеристический полином $A$ имеет факторизацию

$$p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})$$

то характеристический полином матрицы $f(A)$ дается

$$p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).$$

То есть алгебраическая кратность $\lambda$ в $f(A)$ равна сумме алгебраических кратностей $\lambda '$ в $A$ над $\lambda '$ такой, что $f(\lambda ')=\lambda .$ В частности, $\operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})$ и $\operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).$ Здесь полином $f(t)=t^{3}+1,$ например, оценивается по матрице $A$ просто как $f(A)=A^{3}+I.$

Теорема применима к матрицам и многочленам над любым полем или коммутативным кольцом . Однако предположение о том, что $p_{A}(t)$ имеет факторизацию на линейные факторы, это не всегда верно, если только матрица не находится над алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа.

Доказательство

Это доказательство применимо только к матрицам и многочленам над комплексными числами (или любым алгебраически замкнутым полем).В этом случае характеристический полином любой квадратной матрицы всегда можно факторизовать как

$$p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)$$

где $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ являются собственными значениями $A,$ возможно, повторяется. Более того, теорема Жордана о разложении гарантирует, что любая квадратная матрица $A$ можно разложить как $A=S^{-1}US,$ где $S$ является обратимой матрицей и $U$ имеет верхнюю треугольную форму с $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ по диагонали (каждое собственное значение повторяется в соответствии со своей алгебраической кратностью).(Нормальная форма Жордана обладает более сильными свойствами, но и этого достаточно; в качестве альтернативы можно использовать разложение Шура , которое менее популярно, но несколько легче доказуемо).

Позволять ${\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}$ Затем

$$f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.$$

Для верхнетреугольной матрицы $U$ с диагональю $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},$ матрица $U^{i}$ имеет верхний треугольник с диагональю $\lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}$ в $U^{i},$ и, следовательно, $f(U)$ имеет верхний треугольник с диагональю $f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).$ Следовательно, собственные значения $f(U)$ являются $f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).$ С $f(A)=S^{-1}f(U)S$ похоже ​ на $f(U),$ он имеет те же собственные значения и те же алгебраические кратности.

функция и

Светская функция

Термин вековая функция использовался для обозначения того, что сейчас называется характеристическим полиномом (в некоторой литературе термин вековая функция все еще используется). Этот термин происходит от того факта, что характеристический полином использовался для расчета вековых возмущений (во временном масштабе столетия, то есть медленных по сравнению с годовым движением) планетных орбит, согласно . теории колебаний Лагранжа

Светское

Светское уравнение может иметь несколько значений.

• В линейной алгебре его иногда используют вместо характеристического уравнения.
• В астрономии это алгебраическое или числовое выражение величины неравенств в движении планеты, которые остаются после того, как были учтены неравенства короткого периода.

• В молекулярных орбитальных расчетах, касающихся энергии электрона и его волновой функции, оно также используется вместо характеристического уравнения.

Для общих ассоциативных алгебр

Приведенное выше определение характеристического многочлена матрицы $A\in M_{n}(F)$ с записями в поле $F$ обобщает без каких-либо изменений на случай, когда $F$ это просто коммутативное кольцо . Гарибальди (2004) определяет характеристический полином для элементов произвольной конечномерной ( ассоциативной , но не обязательно коммутативной) алгебры над полем. $F$ и доказывает стандартные свойства характеристического многочлена в этой общности.

См. также

• Характеристическое уравнение (значения)
• Инварианты тензоров
• Сопутствующая матрица
• Алгоритм Фаддеева – Леверье
• Теорема Кэли – Гамильтона
• Алгоритм Самуэльсона – Берковица

Ссылки

• Т. С. Блит и Э. Ф. Робертсон (1998) Основная линейная алгебра , стр. 149, Springer ISBN   3-540-76122-5 .
• Джон Б. Фрэли и Раймонд А. Борегар (1990) Линейная алгебра, 2-е издание, стр. 246, Аддисон-Уэсли ISBN   0-201-11949-8 .
• Гарибальди, Скип (2004), «Характеристический полином и определитель не являются специальными конструкциями», American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math/0203276 , doi : 10.2307/4145188 , JSTOR   4145188 , MR   2104048
• Вернер Греуб (1974) Линейная алгебра, 4-е издание, стр. 120–5, Springer, ISBN   0-387-90110-8 .
• Пол К. Шилдс (1980) Элементарная линейная алгебра, 3-е издание, стр. 274, Worth Publishers ISBN   0-87901-121-1 .
• Гилберт Стрэнг (1988) Линейная алгебра и ее приложения , 3-е издание, стр. 246, Брукс/Коул ISBN   0-15-551005-3 .