Минимальный полином (линейная алгебра)

В линейной алгебре минимальный многочлен $µ A$ матрицы $n \times n$ размера $A$ над полем $F$ — это монический многочлен $P$ над $F$ наименьшей степени такой, что $P (A) = 0$ . Любой другой полином $Q$ с $Q (A) = 0$ является (полиномиальным) кратным $µ A$ .

Следующие три утверждения эквивалентны :

$λ$ — корень из $µ A$ ,
$λ$ — корень характеристического многочлена $χ A$ оператора $A$ ,
$λ$ — значение матрицы $A.$ собственное

Кратность корня $λ$ из $µ A$ — это наибольшая степень $m$ такая, что $ker((A - λI n) м)$ строго содержит $ker((A - λI n) м -1)$ . Другими словами, увеличение показателя степени до $m$ даст еще большее ядро , но дальнейшее увеличение показателя степени выше $m$ даст то же самое ядро.

Если поле $F$ не является алгебраически замкнутым , то минимальные и характеристические многочлены не обязательно факторизуются только по своим корням (в $F$ ), другими словами, они могут иметь неприводимые полиномиальные факторы степени больше $1$ . Для неприводимых многочленов $P$ имеются аналогичные эквивалентности:

$P$ делит $µ A$ ,
$P$ делит $χ A$ ,
ядро $P (A)$ имеет размерность не менее $1$ .
ядро $P (A)$ имеет размерность не менее $deg(P)$ .

Как и характеристический многочлен, минимальный многочлен не зависит от основного поля. Другими словами, рассмотрение матрицы как матрицы с коэффициентами в большем поле не меняет минимальный полином. Причина этого отличается от случая с характеристическим многочленом (где она является непосредственной из определения определителей ), а именно тем, что минимальный многочлен определяется соотношениями линейной зависимости между степенями $А$ : расширение основного поля не будет вводить новых таких отношений (и, конечно, не будет удалять существующие).

Минимальный полином часто совпадает с характеристическим полиномом, но не всегда. Например, если $A$ кратно $aI n$ единичной матрицы , то ее минимальный многочлен равен $X - a,$ поскольку ядром $aI n - A = 0$ уже является все пространство; с другой стороны, его характеристический полином равен $(X - a) н$ (единственное собственное значение — $a$ , а степень характеристического многочлена всегда равна размерности пространства). Минимальный многочлен всегда делит характеристический многочлен, что является одним из способов формулировки теоремы Кэли – Гамильтона (для случая матриц над полем).

Формальное определение [ править ]

Учитывая эндоморфизм $T$ в конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $F$ , пусть $I T$ будет множеством, определяемым как

{\mathit {I}}_{T}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid p(T)=0\},

где $F [t]$ пространство всех многочленов над полем $F.$ — $IT $ — идеал F $] [t .$ собственный Поскольку $F$ — поле, $F [t]$ — область главных идеалов порождается одним полиномом, который уникален с точностью до единицы в $F.$ , поэтому любой идеал Можно сделать конкретный выбор среди генераторов, поскольку ровно один из генераторов является monic . Таким образом, минимальный полином определяется как монический полином, который порождает $I T$ . Это монический полином наименьшей степени $IT в$ .

Приложения [ править ]

Эндоморфизм F $φ$ конечномерного векторного пространства над полем $диагонализуем$ тогда его и только тогда, когда минимальный полином полностью разлагается по $F$ на различные линейные факторы. существует только один множитель $X - λ$ Тот факт, что для каждого собственного значения $λ$ , означает, что обобщенное собственное пространство для $λ$ совпадает с собственным пространством для $λ$ : каждый жордановый блок имеет размер $1$ . В более общем смысле, если $φ$ удовлетворяет полиномиальному уравнению $P (φ) = 0$ , где $P$ разлагается на различные линейные множители над $F$ , то он будет диагонализируемым: его минимальный полином является делителем $P$ и, следовательно, также разлагается на различные линейные множители. В частности, имеется:

$Р = Х к - 1$ : эндоморфизмы конечного порядка комплексных векторных пространств диагонализуемы. Для частного случая $k = 2$ инволюций отличной это справедливо даже для эндоморфизмов векторных пространств над любым полем характеристики, от $2$ , поскольку $X 2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ является факторизацией на различные факторы по такому полю. Это часть теории представлений циклических групп .
$Р = Х 2 - X = X (X - 1)$ : эндоморфизмы, удовлетворяющие $φ 2 = φ$ называются проекциями и всегда диагонализуемы (более того, их единственные собственные значения — $0$ и $1$ ).
Напротив, если $µ φ = X к$ при $k \geq 2$ , то $φ$ ( нильпотентный эндоморфизм) не обязательно диагонализуем, поскольку $X к$ имеет повторяющийся корень $0$ .

Эти случаи также можно доказать напрямую, но минимальный полином дает единую точку зрения и доказательство.

Расчет [ править ]

Для ненулевого вектора $v$ в $V$ определите:

{\mathit {I}}_{T,v}=\{p\in \mathbf {F} [t]\;|\;p(T)(v)=0\}.

Это определение удовлетворяет свойствам собственного идеала. Пусть $µ T, v$ — монический полином, который его порождает.

Свойства [ править ]

Поскольку $I T, v$ содержит минимальный многочлен $µ T$ , последний делится на $µ T, v$ .
Если $d$ — наименьшее натуральное число такое, что $v, T (v), ..., T д (v)$ , линейно зависимы то существуют единственные $a 0, a 1, ..., a d -1$ в $F$ , не все нули, такие, что
$a_{0}v+a_{1}T(v)+\cdots +a_{d-1}T^{d-1}(v)+T^{d}(v)=0$
и для этих коэффициентов имеем
$\mu _{T,v}(t)=a_{0}+a_{1}t+\ldots +a_{d-1}t^{d-1}+t^{d}.$
Пусть подпространство W является образом $µ T, v (T)$ , который является $T$ -стабильным. Поскольку $µ T, v (T)$ аннулирует по крайней мере векторы $v, T (v), ..., T д -1 (v)$ , коразмерность W $d$ не $.$ меньше
Минимальный полином $µ T$ является произведением $µ T, v$ и минимального многочлена $Q$ ограничения $T$ на $W$ . В (вероятном) случае, когда $W$ имеет размерность $0,$ = $Q 1$ и, следовательно, $µ T = µ T, v$ ; достаточно рекурсивного вычисления $Q.$ для нахождения $µ T$ в противном случае

Пример [ править ]

Определим $T$ как эндоморфизм $R 3$ с матрицей, на каноническом базисе ,

{\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{pmatrix}}.

Взяв первый канонический базисный вектор $e 1$ и его повторяющиеся образы за $T,$ получим

e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad T\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}.\quad T^{2}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}}{\mbox{ and}}\quad T^{3}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}}

из которых первые три, как легко видеть, линейно независимы и, следовательно, охватывают все $R 3$ . Тогда последний обязательно представляет собой линейную комбинацию первых трех, фактически

Т 3 \cdot е 1 = -4 Т 2 \cdot е 1 - Т \cdot е 1 + е 1

,

так что:

μ Т, е 1 знак равно Икс 3 + 4X 2 + Икс - Я

.

Фактически это также минимальный многочлен $µ T$ и характеристический многочлен $χ T$ : действительно, $µ T, e 1$ делит $µ T,$ который делит $χ T$ , и поскольку первый и последний имеют степень $3$ и все являются моническими, все они должны быть одинаковый. Другая причина заключается в том, что, вообще говоря, если любой многочлен из $T$ аннулирует вектор $v$ , то он также аннулирует $T \cdot v$ (просто примените $T$ к уравнению, в котором говорится, что он аннулирует $v$ ), и, следовательно, путем итерации он аннулирует все пространство, порожденное вектором v . итерированные изображения по $T$ of $v$ ; в данном случае мы видели, что для $v = e 1$ это пространство представляет собой все пространство $R 3$ , поэтому $μ Т, е 1 (Т) знак равно 0$ . Действительно, для полной матрицы проверяется, что $T 3 + 4Т 2 + T - I 3$ – нулевая матрица :

{\begin{bmatrix}0&1&-3\\3&-13&23\\-4&19&-36\end{bmatrix}}+4{\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&4&-6\\1&-5&10\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}

См. также [ править ]

Уничтожающий полином

Ссылки [ править ]

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556