Жорданова матрица

В математической дисциплине теории матриц , йордановая матрица названная в честь Камиллы Джордана , представляет собой блочную диагональную матрицу над кольцом $R$ ( тождества которой — ноль 0 и единица 1), где каждый блок по диагонали, называемый жордановым блоком, имеет следующую форму: ${\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.$

Определение

Каждый жорданов блок определяется своей размерностью n и собственным значением. $\lambda \in R$ , и обозначается как $J λ, n$ . Это $n\times n$ матрица нулей всюду, кроме диагонали, которая заполнена $\lambda$ и для супердиагонали , состоящей из единиц.

Любая блочная диагональная матрица, блоки которой являются жордановыми блоками, называется жордановой матрицей . Эту $(n 1 + \dots + n r) \times (n 1 + \dots + n r)$ квадратную матрицу, состоящую из $r$ диагональных блоков, можно компактно обозначить как $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}$ или $\mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)$ , где i -й жордановский блок — это $J λ i, n i$ .

Например, матрица $J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]$ представляет собой $йордановую матрицу 10 \times 10$ с $блоком 3 \times 3$ с собственным значением $0$ , двумя $блоками 2 \times 2$ с собственным значением мнимой единицы $i$ и $блоком 3 \times 3$ с собственным значением 7. Ее структура жордановых блоков записывается как либо $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$ или $diag(J 0,3, J i,2, J i,2, J 7,3)$ .

Линейная алгебра

Любая $n \times n$ квадратная матрица $A$ , элементы которой находятся в алгебраически замкнутом поле $K,$ аналогична размера жордановой матрице $J$ , также в $\mathbb {M} _{n}(K)$ , который уникален с точностью до перестановки самих его диагональных блоков. $J$ называется жордановой нормальной формой и $A$ соответствует обобщению процедуры диагонализации. ^[1]^[2]^[3] фактически Диагонализуемая матрица аналогична частному случаю жордановой матрицы: матрице, все блоки которой имеют $размер 1 \times 1$ . ^[4]^[5]^[6]

В более общем смысле, учитывая йорданову матрицу $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$ , то есть чей $k-й$ диагональный блок, $1\leq k\leq N$ , является жордановым блоком $J λ k, m k$ , диагональные элементы которого $\lambda _{k}$ не все могут быть различны, множественность геометрическая $\lambda \in K$ для матрицы $J$ , обозначенной как $\operatorname {gmul} _{J}\lambda$ , соответствует количеству жордановых блоков, собственное значение которых равно $λ$ . Тогда как индекс собственного значения $\lambda$ для $J$ , обозначенного как $\operatorname {idx} _{J}\lambda$ , определяется как размерность наибольшего жорданового блока, связанного с этим собственным значением.

То же самое касается всех матриц $A,$ подобных $J$ , поэтому $\operatorname {idx} _{A}\lambda$ может быть определено соответственно относительно жордановой нормальной формы A $для$ любого из его собственных значений $\lambda \in \operatorname {spec} A$ . В этом случае можно проверить, что индекс $\lambda$ для $A$ равна его кратности как минимального многочлена A ( $A$ тогда как по определению его алгебраическая кратность для $корня$ , $\operatorname {mul} _{A}\lambda$ – его кратность как корень характеристического многочлена A $;$ , то есть, $\det(A-xI)\in K[x]$ ). Эквивалентное необходимое и достаточное условие для того, чтобы $A$ было диагонализируемым в $K,$ состоит в том, что все его собственные значения имеют индекс, равный $1$ ; то есть его минимальный полином имеет только простые корни.

Обратите внимание, что знание спектра матрицы со всеми ее алгебраическими/геометрическими кратностями и индексами не всегда позволяет вычислить ее жордановую нормальную форму (это может быть достаточным условием только для спектрально простых, обычно малоразмерных матриц). Действительно, определение жордановой нормальной формы обычно представляет собой сложную вычислительную задачу. С точки зрения векторного пространства , жордановая нормальная форма эквивалентна нахождению ортогонального разложения (то есть через прямые суммы собственных пространств, представленных жордановыми блоками) области, соответствующие обобщенные собственные векторы основу которой составляют .

Функции матриц

Позволять $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ (то есть $комплексная матрица размера n \times n$ ) и $C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ — замена базисной матрицы на жорданову нормальную форму $A$ ; то есть $А = С -1 Джей Си$ . Теперь пусть $f (z)$ — голоморфная функция на открытом множестве . $\Omega$ такой, что $\mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C}$ ; то есть спектр матрицы содержится внутри голоморфности f $области$ . Позволять $f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}$ быть в степенной ряд разложением $f$ вокруг $z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A$ предполагается равным 0 , которое в дальнейшем для простоты . Матрица $f (A)$ затем определяется через следующий формальный степенной ряд $f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}$ и абсолютно сходится относительно евклидовой нормы $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ . Другими словами, $f (A)$ сходится абсолютно для каждой квадратной матрицы, спектральный радиус которой меньше радиуса сходимости f $0$ вокруг $,$ и сходится равномерно на любых компактных подмножествах $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ удовлетворяющее этому свойству в матричной топологии группы Ли .

Жорданова нормальная форма позволяет вычислять функции матриц без явного вычисления бесконечного ряда , что является одним из главных достижений жордановых матриц. Используя тот факт, что $k-$ я степень ( $k\in \mathbb {N} _{0}$ ) диагональной блочной матрицы – это диагональная блочная матрица, блоки которой являются $k$ -ми степенями соответствующих блоков; то есть, $\left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots$ , и что $А к = С -1 Дж к C$ , приведенный выше матричный степенной ряд становится

$f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C$

где последний ряд не обязательно вычислять явно через степенной ряд каждого жорданового блока. Фактически, если $\lambda \in \Omega$ , любая голоморфная функция жордана блока $f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)$ имеет конечный степенной ряд вокруг $\lambda I$ потому что $Z^{n}=0$ . Здесь, $Z$ является нильпотентной частью $J$ и $Z^{k}$ имеет все 0, кроме 1, вдоль $k^{\text{th}}$ супердиагональный. Таким образом, это следующая верхняя треугольная матрица : $f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.$

Как следствие этого, вычисление любой функции матрицы является простым, если известны ее жорданова нормальная форма и матрица замены базиса. Например, используя $f(z)=1/z$ , инверсия $J_{\lambda ,n}$ является: $J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.$

Кроме того, $spec f (A) = f (spec A)$ ; то есть каждое собственное значение $\lambda \in \mathrm {spec} A$ соответствует собственному значению $f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)$ , но имеет, вообще говоря, разные алгебраическую кратность , геометрическую кратность и индекс. Однако алгебраическую кратность можно вычислить следующим образом: ${\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .$

Функция $f (T)$ T линейного преобразования $между$ векторными пространствами может быть определена аналогичным образом в соответствии с голоморфным функциональным исчислением , где теории банахового пространства и римановой поверхности играют фундаментальную роль. В случае конечномерных пространств обе теории прекрасно совпадают.

Динамические системы

Теперь предположим, что (сложная) динамическая система просто определяется уравнением ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}$

где $\mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}$ - ( $n$ -мерная) кривая параметризация орбиты на римановой поверхности ${\mathcal {R}}$ динамической системы, тогда как $A (c)$ представляет собой $комплексную матрицу размера n \times n$ , элементы которой являются комплексными функциями d $-мерного$ параметра $\mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}$ .

Даже если $A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)$ (т. е. $A$ непрерывно зависит от параметра $c$ ) жорданова нормальная форма матрицы непрерывно деформируется почти всюду на $\mathbb {C} ^{d}$ но, вообще говоря, не везде: существует некоторое критическое подмногообразие $\mathbb {C} ^{d}$ на которой жордановая форма резко меняет свою структуру всякий раз, когда параметр пересекает ее или просто «путешествует» вокруг нее ( монодромия ). Такие изменения означают, что несколько жордановых блоков (принадлежащих либо разным собственным значениям, либо нет) объединяются в уникальный жордановый блок, или наоборот (т. е. один жордановый блок распадается на два или более разных). Многие аспекты теории бифуркаций как для непрерывных, так и для дискретных динамических систем можно интерпретировать с помощью анализа функциональных йордановых матриц.

С точки зрения динамики касательного пространства динамической системы это означает, что ортогональная декомпозиция фазового пространства изменяется и, например, различные орбиты приобретают периодичность, теряют ее или переходят от одного вида периодичности к другому (например, удвоению периода , см. логистическую карту ).

Одним словом, качественное поведение такой динамической системы может существенно измениться при версальной деформации жордановой нормальной формы $A (c)$ .

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения

Простейшим примером динамической системы является система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; то есть пусть $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ и $\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ : ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}$ чье прямое решение в замкнутой форме включает вычисление матричной экспоненты : $\mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.$

Другой способ, при условии, что решение ограничено локальным пространством Лебега . $n$ -мерных векторных полей $\mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}$ , заключается в использовании преобразования Лапласа $\mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)$ . В этом случае $\mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.$

Матричная функция $(A - sI) -1$ называется резольвентной матрицей дифференциального оператора ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$ . Он мероморфен по комплексному параметру $s\in \mathbb {C}$ поскольку его матричные элементы являются рациональными функциями, знаменатель которых для всех равен $det(A - sI)$ . Его полярные особенности — это собственные значения оператора $A$ , порядок которых равен для него их индексу; то есть, $\mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda$ .

См. также

Примечания

^ Борегар и Фрели (1973 , стр. 310–316)
^ Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 317)
^ Неринг (1970 , стр. 118–127)
^ Борегар и Фрели (1973 , стр. 270–274)
^ Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 316)
^ Неринг (1970 , стр. 113–118)

Ссылки

Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-Х
Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса , ISBN 0-8018-5414-8
Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN 76091646

[1] Борегар и Фрели (1973 , стр. 310–316)

[2] Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 317)

[3] Неринг (1970 , стр. 118–127)

[4] Борегар и Фрели (1973 , стр. 270–274)

[5] Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 316)

[6] Неринг (1970 , стр. 113–118)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]