Мнимая единица

Мнимая единица или единичное мнимое число ( $i$ ) является решением квадратного уравнения $x 2 + 1 = 0.$ не существует Хотя вещественного числа с этим свойством $, i$ можно использовать для расширения действительных чисел до так называемых комплексных чисел , используя сложение и умножение . Простой пример использования $i$ в комплексном числе: $2 + 3 i .$

Мнимые числа — важное математическое понятие; они расширяют действительную систему счисления $\mathbb {R}$ в комплексную систему счисления $\mathbb {C} ,$ хотя бы один корень для каждого непостоянного многочлена в котором существует (см. Алгебраическое замыкание и Основная теорема алгебры ). Здесь используется термин «мнимый», поскольку не существует действительного числа, имеющего отрицательный квадрат .

Существует два комплексных квадратных корня из $-1:$ $i$ и $- i$ , точно так же, как есть два комплексных квадратных корня из каждого действительного числа, отличного от нуля (которое имеет один двойной квадратный корень ).

В контекстах, в которых использование буквы $i$ буква $j$ неоднозначно или проблематично, вместо нее иногда используется . Например, в электротехнике и системах управления мнимая единица обычно обозначается $j$ вместо $i$ , потому что $i$ обычно используется для обозначения электрического тока . ^[1]

Терминология [ править ]

Квадратные корни отрицательных чисел называются мнимыми , потому что в ранней современной математике только те числа, которые сейчас называются действительными числами числами вообще считались , которые можно получить с помощью физических измерений или базовой арифметики – даже к отрицательным числам относились со скептицизмом – поэтому квадратные корни из отрицательных чисел называются мнимыми. корень отрицательного числа ранее считался неопределенным или бессмысленным. имя Воображаемое обычно приписывают Рене Декарту , а Исаак Ньютон использовал этот термин еще в 1670 году. ^[2]^[3] Обозначение $i$ было введено Леонардом Эйлером . ^[4]

Единица — это неделимое целое, а единица или номер единицы — это цифра один ( $1$ ).

Определение [ править ]

Силы $я$ цикличны:
$\ \vdots$
$\ i^{-4}={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ i^{-3}={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{6}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{7}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \vdots$

Мнимая единица $i$ определяется исключительно тем свойством, что ее квадрат равен −1:

i^{2}=-1.

Если $i$ непосредственно следует, определено таким образом, из алгебры являются $квадратными$ корнями $из что i и -i$ −1.

Хотя конструкция называется «мнимой» и хотя понятие мнимого числа может быть интуитивно более трудным для понимания, чем понятие действительного числа, конструкция действительна с математической точки зрения. Операции с действительными числами можно распространить на мнимые и комплексные числа, рассматривая $i$ как неизвестную величину при манипулировании выражением (и используя определение для замены любого вхождения $i 2$ с $-1$ ). высшие целые степени $i$ Таким образом, равны

{\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}

и так далее, циклически перебирая четыре значения

1

,

i

,

-1

и

- i

. Как и любое ненулевое действительное число,

я 0 = 1.

Как комплексное число, $i$ можно представить в прямоугольной форме как $0 + 1 i$ с нулевой действительной составляющей и единичной мнимой составляющей. В полярной форме i $можно$ представить как $1 \times e πi /2$ (или просто $е πi /2$ ), с абсолютным значением (или величиной) 1 и аргументом (или углом) ${\tfrac {\pi }{2}}$ радианы . (Добавление к этому углу любого целого числа, кратного $2 π,$ также работает.) В комплексной плоскости , которая является специальной интерпретацией декартовой плоскости , $i$ — это точка, расположенная на одну единицу от начала координат вдоль мнимой оси (которая ортогональна реальная ось ).

я против - я [ править ]

Будучи квадратным многочленом без кратного корня , определяющее уравнение $x 2 = -1$ имеет два различных решения, которые одинаково действительны и являются аддитивными и мультипликативными обратными друг другу. Хотя эти два решения представляют собой разные числа, их свойства неразличимы; не существует собственности, которой обладает один, которой нет у другого. Одно из этих двух решений помечено $+ i$ (или просто $i$ ), а другое помечено $- i$ , хотя это по своей сути неоднозначно.

Единственные различия между $+ i$ и $- i$ возникают из-за этой маркировки. Например, по соглашению $i имеет$ считается, что аргумент + $+{\tfrac {\pi }{2}}$ и $— говорят, что я$ имею аргумент $-{\tfrac {\pi }{2}},$ связано с соглашением об ориентации маркировки в декартовой плоскости относительно положительной $оси x$ с положительными углами, поворачивающимися против часовой стрелки в направлении положительной $оси y$ . Несмотря на написанные ими знаки, ни $+ i,$ ни $- i$ по своей сути не являются положительными или отрицательными в том смысле, в каком они являются действительными числами. ^[5]

Более формальное выражение этой неотличимости $+ i$ и $- i$ что, хотя комплексное поле уникально заключается в том , (как расширение действительных чисел) с точностью до изоморфизма , оно не уникально с точностью до уникального изоморфизма. То есть существуют два полевых автоморфизма комплексных чисел $\mathbb {C}$ которые сохраняют каждое действительное число фиксированным, а именно тождество и комплексное сопряжение . Подробнее об этом общем явлении см. в группе Галуа .

Матрицы [ править ]

Используя понятия матриц и умножения матриц , комплексные числа можно представить в линейной алгебре. Реальная единица $1$ и мнимая единица $i$ могут быть представлены любой парой матриц $I$ и $J$ , удовлетворяющих $I 2 = I,$ $IJ = JI = J и$ $J 2 = - Я .$ Тогда комплексное число $a + bi$ можно представить матрицей $aI + bJ,$ и все обычные правила комплексной арифметики можно вывести из правил матричной арифметики.

Наиболее распространенный выбор — представить $1$ и $i$ единичной $размера 2 \times 2$ матрицей $I$ и матрицей $J$ ,

I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.

Тогда произвольное комплексное число $a + bi$ можно представить следующим образом:

aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.

любая вещественная $размером 2 \times 2$ матрица со следом равным нулю, и определителем , равным единице в квадрате до $-I,$ может быть выбрана $В более общем смысле, в качестве J$ . Также можно использовать матрицы большего размера, например, $1$ может быть представлена $единичной матрицей 4 \times 4$ , а $i$ может быть представлена любой из матриц Дирака для пространственных измерений.

Корень $х 2 + 1$ [ править ]

Полиномы (взвешенные суммы степеней переменной) — основной инструмент алгебры. Многочлены, коэффициенты которых являются действительными числами, образуют кольцо , обозначаемое $\mathbb {R} [x],$ алгебраическая структура со сложением и умножением, имеющая множество общих свойств с кольцом целых чисел .

Полином $x^{2}+1$ действительных чисел не имеет корней из , но имеет множество всех многочленов с действительными коэффициентами, делящихся на $x^{2}+1$ образует идеал , и поэтому существует факторкольцо $\mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .$ Это факторкольцо изоморфно комплексным числам, а переменная $x$ выражает мнимую единицу.

Графическое представление [ править ]

Комплексные числа можно представить графически, нарисовав линию действительных чисел как горизонтальную ось, а мнимые числа как вертикальную ось декартовой плоскости , называемой комплексной плоскостью . В этом представлении числа $1$ и $i$ находятся на одинаковом расстоянии от $0$ , с прямым углом между ними. Сложение на комплексное число соответствует перемещению в плоскости, а умножение на комплексное число единичной величины соответствует вращению вокруг начала координат. Каждое преобразование подобия плоскости можно представить комплексно-линейной функцией $z\mapsto az+b.$

Геометрическая алгебра [ править ]

В геометрической алгебре евклидовой плоскости геометрическое произведение или частное двух произвольных векторов представляет собой сумму скалярной (действительной) части и бивекторной части. (Скаляр — это величина без ориентации, вектор — это величина, ориентированная как линия, а бивектор — это величина, ориентированная как плоскость.) Квадрат любого вектора является положительным скаляром, представляющим квадрат его длины, а квадрат любого бивектора является отрицательным скаляром.

Фактор вектора с самим собой является скаляром $1 = u / u$ , и при умножении на любой вектор оставляет его неизменным ( тождественное преобразование ). Частное любых двух перпендикулярных векторов одинаковой величины, $J = u / v$ , которое при умножении поворачивает делитель на четверть и превращается в делимое, $Jv = u$ , представляет собой единичный бивектор, который приводится в квадрат к $-1$ , и поэтому его можно взять как представитель воображаемой единицы. Любую сумму скаляра и бивектора можно умножить на вектор, чтобы масштабировать и повернуть его, и алгебра таких сумм изоморфна алгебре комплексных чисел. В этой интерпретации точки, векторы и суммы скаляров и бивекторов представляют собой отдельные типы геометрических объектов. ^[6]

В более общем смысле, в геометрической алгебре любого многомерного евклидова пространства единичный бивектор любых произвольных плоских ориентационных квадратов до $-1$ может быть взят для представления мнимой единицы $i$ .

Правильное использование [ править ]

Мнимая единица была исторически записана ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ и до сих пор присутствует в некоторых современных произведениях. , необходимо соблюдать большую осторожность Однако при работе с формулами, включающими радикалы . Радикальное знаковое обозначение ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ зарезервировано либо для функции главного квадратного корня, которая определена только для действительного $x \geq 0,$ либо для главной ветви функции комплексного квадратного корня. Попытка применить правила расчета основной (действительной) функции квадратного корня для манипулирования основной ветвью функции комплексного квадратного корня может привести к ложным результатам: ^[7]

-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(incorrect).}}

В целом правила расчета ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$ и ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x/y}}}$ гарантированно действительны только для реальных положительных значений $x$ и $y$ . ^[8]^[9]^[10]

Когда $x$ или $y$ действительны, но отрицательны, этих проблем можно избежать, написав и манипулируя такими выражениями, как ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$ , скорее, чем ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$ . Более подробное обсуждение см. в разделе « Квадратный корень и точка ветвления» .

Свойства [ править ]

Как комплексное число, мнимая единица подчиняется всем правилам комплексной арифметики .

Мнимые целые и мнимые числа [ править ]

Когда мнимая единица многократно добавляется или вычитается, результатом является некоторое целое число , умноженное на мнимую единицу, мнимое целое число ; любые такие числа можно сложить, и результат также будет мнимым целым числом:

ai+bi=(a+b)i.

Таким образом, мнимая единица является генератором складывающейся группы , а именно бесконечной циклической группы .

Мнимую единицу также можно умножить на любое произвольное действительное число , чтобы получить мнимое число . Эти числа можно изобразить на числовой прямой , воображаемой оси , которая как часть комплексной плоскости обычно рисуется с вертикальной ориентацией, перпендикулярной действительной оси, нарисованной горизонтально.

Гауссовы целые числа [ править ]

Целые суммы вещественной единицы $1$ и мнимой единицы $i$ образуют квадратную решетку на комплексной плоскости, называемую гауссовскими целыми числами . Сумма, разность или произведение гауссовых целых чисел также является гауссовским целым числом:

{\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}

Четвертьоборотное вращение [ править ]

При умножении на мнимую единицу $i$ любое произвольное комплексное число в комплексной плоскости поворачивается на четверть оборота ( ${\tfrac {1}{2}}\pi$ радианы или $90°$ ) против часовой стрелки . При умножении на $- i$ любое произвольное комплексное число поворачивается на четверть оборота по часовой стрелке. В полярной форме:

i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.

В прямоугольной форме,

i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.

Целые степени [ править ]

Степени числа $i$ повторяются в цикле, который можно выразить следующим образом, где $n$ — любое целое число:

i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.

Таким образом, при умножении $i$ является генератором циклической группы порядка 4, дискретной подгруппы группы непрерывного круга единичных комплексных чисел при умножении.

Написано как частный случай формулы Эйлера для целого числа $n$ :

i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.

При тщательном выборе ответвлений и главных значений это последнее уравнение также можно применить к произвольным комплексным значениям $n$ , включая такие случаи, как $n = i$ . ^{[ нужна цитата ]}

Корни [ править ]

Два квадратных корня из $i$ в комплексной плоскости

Как и все ненулевые комплексные числа, ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ имеет два различных квадратных корня , которые являются аддитивными обратными . В полярной форме они

{\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}

В прямоугольной форме они ^[а]

{\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&=\ (1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-(1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}

Возведение в квадрат любого выражения дает

\left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.

Три кубических корня из $i$ в комплексной плоскости

Три кубических корня из $i$ равны ^[12]

{\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.

Для общего положительного целого числа $n$ корни $n$ -й степени из $i$ равны для $k = 0, 1, ..., n - 1,$

\exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).

Значение, связанное с

k = 0,

является главным

корнем n

-й степени из

i

. Набор корней равен соответствующему набору корней из единицы, повернутому главным

корнем n

-й степени из

i

. Это вершины правильного многоугольника , вписанного в единичную комплексную окружность .

Экспонента и логарифм [ править ]

Комплексная экспоненциальная функция связывает сложное сложение в домене с комплексным умножением в кодомене. Действительные значения в домене представляют масштабирование в кодомене (умножение на действительный скаляр), где $1$ представляет умножение на $e$ , а мнимые значения в домене представляют вращение в кодомене (умножение на единичное комплексное число), где $i$ представляет поворот на $1.$ радиан. Таким образом, комплексная экспонента является периодической функцией в мнимом направлении с периодом $2 πi$ и изображением $1$ в точках $2 kπi$ для всех целых чисел $k$ , кратных решетке мнимых целых чисел.

Комплексную экспоненту можно разбить на четные и нечетные компоненты, гиперболические функции $cosh$ и $sinh$ или тригонометрические функции $cos$ и $sin$ :

\exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)

Формула Эйлера разлагает экспоненту мнимого числа, представляющего вращение:

\exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .

Частное $coth z = cosh z / sinh z при$ соответствующем масштабировании может быть представлено как разложение бесконечных частных дробей как сумма обратных функций , переведенных мнимыми целыми числами: ^[13]

\pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.

Другие функции, основанные на комплексной экспоненте, четко определены с мнимыми входными данными. Например, число, возведенное в $степень ni$ :

x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).

Поскольку экспонента является периодической, ее обратный комплексный логарифм является многозначной функцией , где каждое комплексное число в области определения соответствует множеству значений в области значений, отделенных друг от друга любым целым числом, кратным $2 πi .$ Один из способов получения однозначной функции — рассматривать кодомен как цилиндр , где комплексные значения, разделенные любым целым числом, кратным $2 πi,$ рассматриваются как одно и то же значение; другой — принять область как риманову поверхность , состоящую из нескольких копий комплексной плоскости, сшитых вместе вдоль отрицательной вещественной оси в виде разреза ветвления , причем каждая ветвь в области соответствует одной бесконечной полосе в кодомене. ^[14] Таким образом, функции, зависящие от комплексного логарифма, зависят от тщательного выбора ветви для четкого определения и оценки.

Например, если кто-то выберет любую ветку, где $\ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i$ тогда, когда $x$ - положительное действительное число,

\log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.

Факториал [ править ]

Факториал , мнимой единицы $i$ чаще всего выражается через гамма-функцию оцениваемую как $1 + i$ : ^[15]

i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.

Величина и аргумент этого числа: ^[16]

|\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.

См. также [ править ]

Гиперболическая единица
Правый версор в кватернионах

Примечания [ править ]

^ Чтобы найти такое число, можно решить уравнение $(x + iy) 2 = i$ , где $x$ и $y$ — реальные параметры, которые необходимо определить, или, что то же самое, $x 2 + 2 икси - у 2 = я .$ Поскольку действительная и мнимая части всегда разделены, мы перегруппируем термины $x 2 - и 2 + 2 ixy знак равно 0 + я .$ Приравняв коэффициенты , разделив действительную часть и мнимую часть, получим систему двух уравнений: ${\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}$ Замена ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ в первое уравнение получаем ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$ Поскольку $x$ — действительное число, это уравнение имеет два действительных решения для $x.$ $x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ и $x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ . любой из этих результатов в уравнение $2 xy = 1$ Подставив поочередно $, мы получим соответствующий результат для y$ . Таким образом, квадратные корни из $i$ — это числа ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ и $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ . ^[11]

Ссылки [ править ]

^ Стаббингс, Джордж Уилфред (1945). Элементарные векторы для инженеров-электриков . Лондон: И. Питман. п. 69.
Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Уайли. п. 49. ИСБН 0-471-19826-9 .
^ Сильвер, Дэниел С. (ноябрь – декабрь 2017 г.). «Новый язык математики» . Американский учёный . 105 (6): 364–371. дои : 10.1511/2017.105.6.364 .
^ «мнимое число» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации .)
^ Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Дом К. (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья . стр. 100-1 439–445 . ISBN 978-0-471-54397-8 .
^ Доксиадес, Апостолос К.; Мазур, Барри (2012). Нарушенные круги: взаимодействие математики и повествования (иллюстрированное издание). Издательство Принстонского университета. п. 225 . ISBN 978-0-691-14904-2 – через Google Книги.
^ Интерпретация мнимой единицы как отношения двух перпендикулярных векторов была предложена Германом Грассманом в предисловии к его Ausdehnungslehre 1844 года; позже Уильям Клиффорд понял, что это соотношение можно интерпретировать как бивектор.
Хестенес, Дэвид (1996). «Видение Грассмана» (PDF) . В Шубринге, Г. (ред.). Герман Гюнтер Грассманн (1809–1877) . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-015-8753-2_20 .
^ Банч, Брайан (2012). Математические заблуждения и парадоксы (иллюстрированное издание). Курьерская корпорация. п. 31 -34. ISBN 978-0-486-13793-3 – через Google Книги.
^ Крамер, Артур (2012). Математика для электричества и электроники (4-е изд.). Cengage Обучение. п. 81 . ISBN 978-1-133-70753-0 – через Google Книги.
^ Пиччотто, Анри; Вау, Анита (1994). Алгебра: Темы, инструменты, понятия (Изд. Уч.). Анри Пиччиотто. п. 424 . ISBN 978-1-56107-252-1 – через Google Книги.
^ Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история « $i$ » [квадратный корень из минус один] . Издательство Принстонского университета. п. 12 . ISBN 978-1-4008-3029-9 – через Google Книги.
^ «Каков квадратный корень из $i$ ?» . Математическая сеть Университета Торонто . Проверено 26 марта 2007 г.
^ Зилл, Деннис Г.; Шанахан, Патрик Д. (2003). Первый курс комплексного анализа с приложениями . Бостон: Джонс и Бартлетт. стр. 24–25. ISBN 0-7637-1437-2 . OCLC 50495529 .
^ Эйлер выразил разложение тригонометрического котангенса на частные дроби как ${\textstyle \pi \cot \pi z={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}+{\frac {1}{z+1}}+{\frac {1}{z-2}}+{\frac {1}{z+2}}+\cdots .}$
Варадараджан, В.С. (2007). «Эйлер и его работа о бесконечных рядах» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 44 (4): 515–539. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01175-5 .
^ Гбур, Грег (2011). Математические методы оптической физики и техники . Издательство Кембриджского университета. стр. 278–284. ISBN 978-0-511-91510-9 .
^ Иван, М.; Торнбер, Н.; Куба, О.; Консталес, Д. (2013). «Аргх! Факториал глаз... Arg(i!)». Американский математический ежемесячник . 120 : 662–665. doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.07.660 . S2CID 24405635 .
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Десятичное разложение действительной части i!», последовательность A212877 ; и «Десятичное разложение отрицательной мнимой части i!», последовательность A212878 . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Слоан, NJA (ред.). «Десятичное разложение абсолютного значения i!», последовательность A212879 ; и «Десятичное разложение отрицательного аргумента i!», последовательность A212880 . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

Дальнейшее чтение [ править ]

Нахин, Пол Дж. (1998). Воображаемая сказка: история $i$ [квадратный корень из минус один] . Чичестер: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1 – через Archive.org.

Внешние ссылки [ править ]

Эйлер, Леонард . «Мнимые корни многочленов» . в «Конвергенция» . mathdl.maa.org . Математическая ассоциация Америки. Архивировано из оригинала 13 июля 2007 года.

[12] Чтобы найти такое число, можно решить уравнение $(x + iy) 2 = i$ , где $x$ и $y$ — реальные параметры, которые необходимо определить, или, что то же самое, $x 2 + 2 икси - у 2 = я .$ Поскольку действительная и мнимая части всегда разделены, мы перегруппируем термины $x 2 - и 2 + 2 ixy знак равно 0 + я .$ Приравняв коэффициенты , разделив действительную часть и мнимую часть, получим систему двух уравнений: ${\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}$ Замена ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ в первое уравнение получаем ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$ Поскольку $x$ — действительное число, это уравнение имеет два действительных решения для $x.$ $x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ и $x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ . любой из этих результатов в уравнение $2 xy = 1$ Подставив поочередно $, мы получим соответствующий результат для y$ . Таким образом, квадратные корни из $i$ — это числа ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ и $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ . ^[11]

[1] Стаббингс, Джордж Уилфред (1945). Элементарные векторы для инженеров-электриков . Лондон: И. Питман. п. 69.
Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Уайли. п. 49. ИСБН 0-471-19826-9 .

[2] Сильвер, Дэниел С. (ноябрь – декабрь 2017 г.). «Новый язык математики» . Американский учёный . 105 (6): 364–371. дои : 10.1511/2017.105.6.364 .

[3] «мнимое число» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации .)

[Boyer-4] Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Дом К. (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья . стр. 100-1 439–445 . ISBN 978-0-471-54397-8 .

[5] Доксиадес, Апостолос К.; Мазур, Барри (2012). Нарушенные круги: взаимодействие математики и повествования (иллюстрированное издание). Издательство Принстонского университета. п. 225 . ISBN 978-0-691-14904-2 – через Google Книги.

[6] Интерпретация мнимой единицы как отношения двух перпендикулярных векторов была предложена Германом Грассманом в предисловии к его Ausdehnungslehre 1844 года; позже Уильям Клиффорд понял, что это соотношение можно интерпретировать как бивектор.
Хестенес, Дэвид (1996). «Видение Грассмана» (PDF) . В Шубринге, Г. (ред.). Герман Гюнтер Грассманн (1809–1877) . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-015-8753-2_20 .

[7] Банч, Брайан (2012). Математические заблуждения и парадоксы (иллюстрированное издание). Курьерская корпорация. п. 31 -34. ISBN 978-0-486-13793-3 – через Google Книги.

[8] Крамер, Артур (2012). Математика для электричества и электроники (4-е изд.). Cengage Обучение. п. 81 . ISBN 978-1-133-70753-0 – через Google Книги.

[9] Пиччотто, Анри; Вау, Анита (1994). Алгебра: Темы, инструменты, понятия (Изд. Уч.). Анри Пиччиотто. п. 424 . ISBN 978-1-56107-252-1 – через Google Книги.

[10] Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история « $i$ » [квадратный корень из минус один] . Издательство Принстонского университета. п. 12 . ISBN 978-1-4008-3029-9 – через Google Книги.

[11] «Каков квадратный корень из $i$ ?» . Математическая сеть Университета Торонто . Проверено 26 марта 2007 г.

[13] Зилл, Деннис Г.; Шанахан, Патрик Д. (2003). Первый курс комплексного анализа с приложениями . Бостон: Джонс и Бартлетт. стр. 24–25. ISBN 0-7637-1437-2 . OCLC 50495529 .

[14] Эйлер выразил разложение тригонометрического котангенса на частные дроби как ${\textstyle \pi \cot \pi z={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}+{\frac {1}{z+1}}+{\frac {1}{z-2}}+{\frac {1}{z+2}}+\cdots .}$
Варадараджан, В.С. (2007). «Эйлер и его работа о бесконечных рядах» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 44 (4): 515–539. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01175-5 .

[15] Гбур, Грег (2011). Математические методы оптической физики и техники . Издательство Кембриджского университета. стр. 278–284. ISBN 978-0-511-91510-9 .

[16] Иван, М.; Торнбер, Н.; Куба, О.; Консталес, Д. (2013). «Аргх! Факториал глаз... Arg(i!)». Американский математический ежемесячник . 120 : 662–665. doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.07.660 . S2CID 24405635 .
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Десятичное разложение действительной части i!», последовательность A212877 ; и «Десятичное разложение отрицательной мнимой части i!», последовательность A212878 . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[17] Слоан, NJA (ред.). «Десятичное разложение абсолютного значения i!», последовательность A212879 ; и «Десятичное разложение отрицательного аргумента i!», последовательность A212880 . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[а]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[11]