Мнимая единица

«Я (номер)» перенаправляется сюда. Интернет-номера см. в разделе i-number .

Мнимая единица i на комплексной плоскости : действительные числа обычно рисуются на горизонтальной оси, а мнимые числа — на вертикальной оси.

Мнимая единица или единичное мнимое число ( i ) является решением квадратного уравнения x ² + 1 = 0. не существует Хотя действительного числа с этим свойством , i можно использовать для расширения действительных чисел до так называемых комплексных чисел , используя сложение и умножение . Простой пример использования i в комплексном числе: 2 + 3 i .

Мнимые числа — важное математическое понятие; они расширяют действительную систему счисления $\mathbb {R}$ в комплексную систему счисления $\mathbb {C} ,$ в котором существует хотя бы один корень для каждого непостоянного многочлена (см. Алгебраическое замыкание и Основная теорема алгебры ). Здесь используется термин «мнимый», поскольку не существует действительного числа, имеющего отрицательный квадрат .

Есть два комплексных квадратных корня из −1: i и − i , точно так же, как есть два комплексных квадратных корня из каждого действительного числа, отличного от нуля (которое имеет один двойной квадратный корень ).

В контекстах, в которых использование буквы i буква j неоднозначно или проблематично, вместо нее иногда используется . Например, в электротехнике и системах управления мнимая единица обычно обозначается j вместо i , потому что i обычно используется для обозначения электрического тока .

Терминология

Дополнительная информация: Комплексное число § История.

Квадратные корни отрицательных чисел называются мнимыми , потому что в ранней современной математике только те числа, которые сейчас называются действительными числами числами вообще считались , которые можно получить с помощью физических измерений или базовой арифметики – даже к отрицательным числам относились со скептицизмом – поэтому квадратные корни из отрицательных чисел называются мнимыми. корень отрицательного числа ранее считался неопределенным или бессмысленным. Имя «воображаемое» обычно приписывают Рене Декарту , а Исаак Ньютон использовал этот термин еще в 1670 году. Обозначение i было введено Леонардом Эйлером .

Единица — это неделимое целое, а единица или номер единицы — это цифра один ( 1 ).

Определение

Силы я цикличны:
$\ \vdots$
$\ i^{-4}={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ i^{-3}={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{6}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{7}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \vdots$

Мнимая единица i определяется исключительно тем свойством, что ее квадрат равен −1:

$$i^{2}=-1.$$

Если i непосредственно следует алгебры , что i и −i определено таким образом, из являются квадратными корнями из −1.

Хотя конструкция называется «мнимой» и хотя понятие мнимого числа может быть интуитивно более трудным для понимания, чем понятие действительного числа, конструкция действительна с математической точки зрения. Операции с действительными числами можно распространить на мнимые и комплексные числа, рассматривая i как неизвестную величину при манипулировании выражением (и используя определение для замены любого вхождения i ² с −1 ). Таким образом, высшие целые степени i равны

$${\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}$$

и так далее, циклически перебирая четыре значения 1 , i , −1 и − i . Как и любое ненулевое действительное число, я ⁰ = 1.

Как комплексное число, i можно представить в прямоугольной форме как 0 + 1 i с нулевой действительной составляющей и единичной мнимой составляющей. В полярной форме i можно представить как 1 × e ^{пи /2} (или просто е ^{пи /2} ), с абсолютным значением (или величиной) 1 и аргументом (или углом) ${\tfrac {\pi }{2}}$ радианы . (Добавление к этому углу любого целого числа, кратного 2 π, также работает.) В комплексной плоскости , которая является специальной интерпретацией декартовой плоскости , i — это точка, расположенная на одну единицу от начала координат вдоль мнимой оси (которая ортогональна реальная ось ).

я против - я

Будучи квадратичным многочленом без кратного корня , определяющее уравнение x ² = −1 имеет два различных решения, которые одинаково действительны и являются аддитивными и мультипликативными обратными друг другу. Хотя эти два решения представляют собой разные числа, их свойства неразличимы; не существует собственности, которой обладает один, которой нет у другого. Одно из этих двух решений помечено + i (или просто i ), а другое помечено - i , хотя это по своей сути неоднозначно.

Единственные различия между + i и − i возникают из-за этой маркировки. Например, по соглашению i имеет считается, что аргумент + $+{\tfrac {\pi }{2}}$ и — говорят, что я имею аргумент $-{\tfrac {\pi }{2}},$ связано с соглашением об ориентации маркировки в декартовой плоскости относительно положительной оси x с положительными углами, поворачивающимися против часовой стрелки в направлении положительной оси y . Несмотря на написанные ими знаки, ни + i, ни − i по своей сути не являются положительными или отрицательными в том смысле, в каком они являются действительными числами.

Более формальное выражение этой неотличимости + i и - i состоит в том, что, хотя комплексное поле уникально с (как расширение действительных чисел) точностью до изоморфизма , оно не уникально с точностью до уникального изоморфизма. То есть существуют два полевых автоморфизма комплексных чисел $\mathbb {C}$ которые сохраняют каждое действительное число фиксированным, а именно тождество и комплексное сопряжение . Подробнее об этом общем явлении см. в группе Галуа .

Матрицы

Используя понятия матриц и умножения матриц , комплексные числа можно представить в линейной алгебре. Реальная единица 1 и мнимая единица i могут быть представлены любой парой матриц I и J, удовлетворяющих I ² = I , IJ = JI = J ​ и J ² = - Я . Тогда комплексное число a + bi можно представить матрицей aI + bJ , и все обычные правила комплексной арифметики можно вывести из правил матричной арифметики.

Наиболее распространенный выбор — представить 1 и i I размера × 2 единичной матрицей 2 и матрицей J ,

$$I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$$

Тогда произвольное комплексное число a + bi можно представить следующим образом:

$$aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.$$

любая вещественная , матрица размером 2 × 2 со равным нулю, и определителем, равным единице в квадрате до −I следом может быть выбрана В более общем смысле, в качестве J . Также можно использовать матрицы большего размера, например, 1 может быть представлена ​​единичной матрицей 4 × 4 , а i может быть представлена ​​любой из матриц Дирака для пространственных измерений.

Корень х ² + 1

Полиномы (взвешенные суммы степеней переменной) — основной инструмент алгебры. Многочлены, коэффициенты которых являются действительными числами, образуют кольцо , обозначаемое $\mathbb {R} [x],$ алгебраическая структура со сложением и умножением, имеющая множество общих свойств с кольцом целых чисел .

Полином $x^{2}+1$ из действительных чисел не имеет корней , но имеет множество всех многочленов с действительными коэффициентами, делящихся на $x^{2}+1$ образует идеал , и поэтому существует факторкольцо $\mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .$ Это факторкольцо изоморфно комплексным числам, а переменная $x$ выражает мнимую единицу.

Графическое представление

Основная статья: Сложный самолет

Комплексные числа можно представить графически, нарисовав линию действительных чисел как горизонтальную ось, а мнимые числа — как вертикальную ось декартовой плоскости, называемой комплексной плоскостью . В этом представлении числа 1 и i находятся на одинаковом расстоянии от 0 , с прямым углом между ними. Сложение на комплексное число соответствует перемещению в плоскости, а умножение на комплексное число единичной величины соответствует вращению вокруг начала координат. Каждое преобразование подобия плоскости можно представить комплексно-линейной функцией $z\mapsto az+b.$

Геометрическая алгебра

В геометрической алгебре евклидовой плоскости геометрическое произведение или частное двух произвольных векторов представляет собой сумму скалярной (действительной) части и бивекторной части. (Скаляр — это величина без ориентации, вектор — это величина, ориентированная как линия, а бивектор — это величина, ориентированная как плоскость.) Квадрат любого вектора — это положительный скаляр, представляющий квадрат его длины, а квадрат любого бивектора является отрицательным скаляром.

Фактор вектора с самим собой является скаляром 1 = u / u , и при умножении на любой вектор оставляет его неизменным ( тождественное преобразование ). Частное любых двух перпендикулярных векторов одной и той же величины, J = u / v , которое при умножении поворачивает делитель на четверть и превращается в делимое, Jv = u , является единичным бивектором, который приводится в квадрат к −1 , и поэтому его можно взять как представитель воображаемой единицы. Любую сумму скаляра и бивектора можно умножить на вектор, чтобы масштабировать и повернуть его, и алгебра таких сумм изоморфна алгебре комплексных чисел. В этой интерпретации точки, векторы и суммы скаляров и бивекторов представляют собой отдельные типы геометрических объектов.

В более общем смысле, в геометрической алгебре любого многомерного евклидова пространства единичный бивектор любых произвольных плоских ориентационных квадратов до −1 может быть взят для представления мнимой единицы i .

Правильное использование

Мнимая единица была исторически записана ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ и до сих пор присутствует в некоторых современных произведениях. , необходимо соблюдать большую осторожность Однако при работе с формулами, включающими радикалы . Радикальное знаковое обозначение ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ зарезервировано либо для функции главного квадратного корня, которая определена только для действительного x ≥ 0, либо для главной ветви функции комплексного квадратного корня. Попытка применить правила вычисления главной (действительной) функции квадратного корня для манипулирования основной ветвью функции комплексного квадратного корня может привести к ложным результатам:

$$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(incorrect).}}$$

В целом правила расчета ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$и ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x/y}}}$гарантированно действительны только для реальных положительных значений x и y .

Когда x или y действительны, но отрицательны, этих проблем можно избежать, написав и манипулируя такими выражениями, как ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$, скорее, чем ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$. Более подробное обсуждение см. в разделе «Квадратный корень и точка ветвления» .

Свойства

Как комплексное число, мнимая единица подчиняется всем правилам комплексной арифметики .

Мнимые целые и мнимые числа

Когда мнимая единица многократно добавляется или вычитается, результатом является некоторое целое число , умноженное на мнимую единицу, мнимое целое число ; любые такие числа можно сложить, и результат также будет мнимым целым числом:

$$ai+bi=(a+b)i.$$

Таким образом, мнимая единица является генератором складывающейся группы , а именно бесконечной циклической группы .

Мнимую единицу также можно умножить на любое произвольное действительное число, чтобы получить мнимое число . Эти числа можно изобразить на числовой прямой , воображаемой оси , которая как часть комплексной плоскости обычно рисуется с вертикальной ориентацией, перпендикулярной действительной оси, нарисованной горизонтально.

Гауссовы целые числа

Целые суммы вещественной единицы 1 и мнимой единицы i образуют квадратную решетку на комплексной плоскости, называемую гауссовскими целыми числами . Сумма, разность или произведение гауссовых целых чисел также является гауссовским целым числом:

$${\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}$$

Четвертьоборотное вращение

При умножении на мнимую единицу i любое произвольное комплексное число в комплексной плоскости поворачивается на четверть оборота ( ${\tfrac {1}{2}}\pi$ радианы или 90° ) против часовой стрелки . При умножении на − i любое произвольное комплексное число поворачивается на четверть оборота по часовой стрелке. В полярной форме:

$$i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.$$

В прямоугольной форме,

$$i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.$$

Целые степени

Степени числа i повторяются в цикле, который можно выразить следующим образом, где n — любое целое число:

$$i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.$$

Таким образом, при умножении i является генератором циклической группы порядка 4, дискретной подгруппы группы непрерывного круга единичных комплексных чисел при умножении.

Написано как частный случай формулы Эйлера для целого числа n :

$$i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.$$

При тщательном выборе ответвлений и главных значений это последнее уравнение также можно применить к произвольным комплексным значениям n , включая такие случаи, как n = i .

Корни

Два квадратных корня из i в комплексной плоскости

Как и все ненулевые комплексные числа, ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ имеет два различных квадратных корня , которые являются аддитивными обратными . В полярной форме они

$${\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}$$

В прямоугольной форме они

$${\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&=\ (1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-(1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}$$

Возведение в квадрат любого выражения дает

$$\left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.$$

Три кубических корня из i в комплексной плоскости

Три кубических корня из i равны

$${\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.$$

Для общего положительного целого числа n корни n -й степени из i равны для k = 0, 1, ..., n - 1,

$$\exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).$$

Значение, связанное с k = 0, является главным корнем n-й степени из i . Набор корней равен соответствующему набору корней из единицы, повернутому главным корнем n-й степени из i . Это вершины правильного многоугольника , вписанного в единичную комплексную окружность .

Экспонента и логарифм

Комплексная экспоненциальная функция связывает сложное сложение в домене с комплексным умножением в кодомене. Действительные значения в домене представляют масштабирование в кодомене (умножение на действительный скаляр), где 1 представляет умножение на e , а мнимые значения в домене представляют вращение в кодомене (умножение на единичное комплексное число), где i представляет поворот на 1. радиан. Таким образом, комплексная экспонента является периодической функцией в мнимом направлении с периодом 2 πi и изображением 1 в точках 2 kπi для всех целых чисел k , кратным решетке мнимых целых чисел.

Комплексную экспоненту можно разбить на четные и нечетные компоненты, гиперболические функции cosh и sinh или тригонометрические функции cos и sin :

$$\exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)$$

Формула Эйлера разлагает экспоненту мнимого числа, представляющего вращение:

$$\exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .$$

Частное coth z = cosh z / sinh z при соответствующем масштабировании может быть представлено как разложение бесконечных частных дробей как сумма обратных функций, переведенных мнимыми целыми числами:

$$\pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.$$

Другие функции, основанные на комплексной экспоненте, четко определены с мнимыми входными данными. Например, число, возведенное в степень ni :

$$x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).$$

Поскольку экспонента является периодической, ее обратный комплексный логарифм является многозначной функцией , где каждое комплексное число в области определения соответствует множеству значений в области значений, отделенных друг от друга любым целым числом, кратным 2 πi . Один из способов получения однозначной функции — рассматривать кодомен как цилиндр , где комплексные значения, разделенные любым целым числом, кратным 2 πi, рассматриваются как одно и то же значение; другой — принять область как риманову поверхность, состоящую из нескольких копий комплексной плоскости, сшитых вместе вдоль отрицательной действительной оси в виде разреза ветвления , причем каждая ветвь в области соответствует одной бесконечной полосе в кодомене. Таким образом, функции, зависящие от комплексного логарифма, зависят от тщательного выбора ветви для четкого определения и оценки.

Например, если кто-то выберет любую ветку, где $\ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i$ тогда, когда x - положительное действительное число,

$$\log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.$$

Факториал

Факториал оцениваемую мнимой единицы i чаще всего выражается через гамма-функцию, как 1 + i :

$$i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.$$

Величина и аргумент этого числа:

$$|\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.$$

См. также

• Гиперболическая единица
• Правый версор в кватернионах

Дальнейшее чтение

• Нахин, Пол Дж. (1998). Воображаемая сказка: история i [квадратный корень из минус один] . Чичестер: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-02795-1 – через Archive.org.

Внешние ссылки

• Эйлер, Леонард . «Мнимые корни многочленов» . в «Конвергенция» . mathdl.maa.org . Математическая ассоциация Америки. Архивировано из оригинала 13 июля 2007 года.