Комплексный логарифм

Одна ветвь комплексного логарифма. Оттенок аргумента цвета используется для обозначения комплексного логарифма. Яркость цвета используется для отображения модуля комплексного логарифма.

Действительная часть log(z) представляет собой логарифм натуральный | г | . Таким образом, его график получается вращением графика ln( x ) вокруг z оси .

В математике комплексный логарифм представляет собой обобщение натурального логарифма на ненулевые комплексные числа . Этот термин относится к одному из следующих явлений, которые тесно связаны между собой:

• Комплексный логарифм ненулевого комплексного числа $z$, определяемый как любое комплексное число $w$ для которого $e^{w}=z$. Такое число $w$ обозначается $\log z$. Если $z$ задается в полярной форме как $z=re^{i\theta }$, где $r$ и $\theta$ действительные числа с $r>0$, затем $\ln r+i\theta$ это один логарифм $z$, и все комплексные логарифмы $z$ это в точности числа вида $\ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)$ для целых чисел $k$. Эти логарифмы равномерно распределены по вертикали комплексной плоскости.
• Комплексная функция $\log \colon U\to \mathbb {C}$, определенный на некотором подмножестве $U$ из набора $\mathbb {C} ^{*}$ ненулевых комплексных чисел, удовлетворяющих $e^{\log z}=z$ для всех $z$ в $U$. Такие функции комплексного логарифма аналогичны функции действительного логарифма. $\ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R}$, которая является обратной действительной показательной функции и, следовательно, удовлетворяет e ^{ln х} = x для всех положительных действительных чисел x . Функции комплексного логарифма можно построить по явным формулам, включающим вещественные функции, путем интегрирования $1/z$, или методом аналитического продолжения .

Не существует непрерывной функции комплексного логарифма, определенной для всех $\mathbb {C} ^{*}$. Способы решения этой проблемы включают ветвления , связанную с ними риманову поверхность и частичные инверсии комплексной экспоненциальной функции . Главное значение определяет конкретную функцию комплексного логарифма. $\operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C}$это непрерывно, за исключением отрицательной действительной оси; на комплексной плоскости с удаленными отрицательными действительными числами и 0 это аналитическое продолжение (действительного) натурального логарифма.

Проблемы с обращением комплексной показательной функции

График многозначной мнимой части функции комплексного логарифма с ветвями. Когда комплексное число z движется вокруг начала координат, мнимая часть логарифма увеличивается или уменьшается. Это делает начало координат точкой ветвления функции.

Чтобы функция имела обратную величину, она должна сопоставлять отдельные значения с разными значениями ; то есть оно должно быть инъективным . Но комплексная показательная функция не является инъективной, поскольку $e^{w+2\pi ik}=e^{w}$ для любого комплексного числа $w$ и целое число $k$, с момента добавления $i\theta$ к $z$ имеет эффект вращения $e^{w}$ против часовой $\theta$ радианы . Итак, точки

$\ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,$

равномерно расположенные вдоль вертикальной линии, все отображаются в одно и то же число с помощью экспоненциальной функции. Это означает, что показательная функция не имеет обратной функции в общепринятом смысле. Есть два решения этой проблемы.

Один из них — ограничить область определения экспоненциальной функции областью, которая не содержит двух чисел, отличающихся на целое число, кратное ${\mathit {2\pi i}}$ определению ветвей : это естественно приводит к $\log z$, которые представляют собой определенные функции, которые выделяют один логарифм каждого числа в своих областях определения. Это аналогично определению $\arcsin x$ на $[-1,1]$ как обратное ограничение $\sin \theta$ к интервалу $[-\pi /2,\pi /2]$: существует бесконечно много действительных чисел $\theta$ с $\sin \theta =x$, но человек произвольно выбирает тот, который находится в $[-\pi /2,\pi /2]$.

Другой способ устранить неопределенность — рассматривать логарифм как функцию, областью определения которой является не область комплексной плоскости , а риманова поверхность, которая покрывает проколотую комплексную плоскость с точностью до бесконечности до 1.

Преимущество ветвей состоит в том, что их можно оценивать комплексными числами. С другой стороны, функция на римановой поверхности элегантна тем, что она объединяет все ветви логарифма и не требует произвольного выбора в рамках своего определения.

Основная ценность

Определение

Для каждого ненулевого комплексного числа $z$, главное значение $\operatorname {Log} z$ – логарифм, мнимая часть которого лежит в интервале $(-\pi ,\pi ]$. Выражение $\operatorname {Log} 0$ остается неопределенным, поскольку нет комплексного числа $w$ удовлетворяющий $e^{w}=0$.

Когда обозначения $\log z$появляется без указания какого-либо конкретного логарифма, обычно лучше предположить, что подразумевается главное значение. В частности, это дает значение, соответствующее реальной стоимости $\ln z$ когда $z$является положительным действительным числом. Заглавные буквы в обозначениях ${\text{Log}}$ используется некоторыми авторами отличать главное значение от других логарифмов $z.$

Расчет основной стоимости

Полярная форма ненулевого комплексного числа $z=x+yi$ является $z=re^{i\theta }$, где ${\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ это значение абсолютное $z$, и $\theta$это его аргумент . Абсолютная ценность реальна и положительна. Аргумент определяется с точностью до сложения целого числа, кратного 2 π . Его главным значением является значение, принадлежащее интервалу $(-\pi ,\pi ]$, что выражается как $\operatorname {atan2} (y,x)$.

Это приводит к следующей формуле для главного значения комплексного логарифма:

$\operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).$

Например, $\operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2$, и $\operatorname {Log} (-3)=\ln 3+\pi i$.

Главное значение как обратная функция

Еще один способ описать $\operatorname {Log} z$является обратным ограничением комплексной показательной функции, как в предыдущем разделе. Горизонтальная полоса $S$ состоящий из комплексных чисел $w=x+yi$ такой, что $-\pi <y\leq \pi$ является примером региона, не содержащего двух чисел, отличающихся на целое число, кратное $2\pi i$, поэтому ограничение показательной функции на $S$имеет обратную величину. Фактически показательная функция отображает $S$ биективно к проколотой комплексной плоскости $\mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}$, а обратное этому ограничению равно $\operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to S$. В разделе конформного отображения ниже более подробно объясняются геометрические свойства этой карты.

Главное значение как аналитическое продолжение

О регионе $\mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}$ состоящая из комплексных чисел, которые не являются отрицательными действительными числами или 0, функция $\operatorname {Log} z$является аналитическим продолжением натурального логарифма. Значения на отрицательной действительной линии можно получить как пределы значений близлежащих комплексных чисел с положительными мнимыми частями.

Свойства

Не все идентичности удовлетворяются $\ln$распространиться на комплексные числа. Правда, что $e^{\operatorname {Log} z}=z$ для всех $z\not =0$ (вот что это значит для $\operatorname {Log} z$ быть логарифмом $z$), но тождество $\operatorname {Log} (e^{z})=z$ терпит неудачу для $z$ за пределами полосы $S$. По этой причине не всегда можно применять ${\text{Log}}$ обеим сторонам личности $e^{z}=e^{w}$ вывести $z=w$. Кроме того, личность $\operatorname {Log} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Log} z_{1}+\operatorname {Log} z_{2}$ может потерпеть неудачу: две стороны могут отличаться на целое число, кратное $2\pi i$; например,

$\operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},$

но

$\operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.$

Функция $\operatorname {Log} z$ является разрывным в каждом отрицательном действительном числе, но непрерывным повсюду в $\mathbb {C} ^{*}$. Чтобы объяснить разрыв, рассмотрим, что происходит с $\arg z$ как $z$ приближается к отрицательному действительному числу $a$. Если $z$ подходы $a$ сверху, тогда $\arg z$ подходы $\pi ,$ что также является ценностью $\arg a$сам. Но если $z$ подходы $a$ снизу, затем $\arg z$ подходы $-\pi .$ Так $\arg z$ «прыгает» мимо $2\pi$ как $z$ пересекает отрицательную действительную ось, и аналогично $\operatorname {Log} z$ прыгает мимо $2\pi i.$

Ветви комплексного логарифма

Есть ли другой способ выбрать логарифм каждого ненулевого комплексного числа, чтобы получить функцию $\operatorname {L} (z)$ который непрерывен на всех $\mathbb {C} ^{*}$? Ответ - нет. Чтобы понять почему, представьте, что вы отслеживаете такую ​​функцию логарифма вдоль единичного круга , вычисляя $\operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)$ как $\theta$ увеличивается с $0$ к $2\pi$. Если $\operatorname {L} (z)$ непрерывно, то и $\operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)-i\theta$, но последнее представляет собой разность двух логарифмов $e^{i\theta },$ поэтому он принимает значения из дискретного набора $2\pi i\mathbb {Z} ,$так это постоянно. В частности, $\operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi i=\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0$, что противоречит $\operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi =\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0$.

Следовательно, чтобы получить непрерывный логарифм, определенный для комплексных чисел, необходимо ограничить область определения меньшим подмножеством. $U$сложной плоскости. Поскольку одна из целей состоит в том, чтобы иметь возможность дифференцировать функцию, разумно предположить, что функция определена в окрестности каждой точки своей области определения; другими словами, $U$должен быть открытый набор . Также разумно предположить, что $U$ связна , так как в противном случае значения функции на разных компонентах $U$могли быть не связаны друг с другом. Все это мотивирует следующее определение:

Филиал ​ ​ $\log z$ является непрерывной функцией $\operatorname {L} (z)$ определено на связном открытом подмножестве $U$ комплексной плоскости такая, что $\operatorname {L} (z)$ представляет собой логарифм $z$ для каждого $z$ в $U$.

Например, главное значение определяет ветвь открытого множества, где оно является непрерывным, то есть множества $\mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}$ получается удалением 0 и всех отрицательных действительных чисел из комплексной плоскости.

Другой пример: сериал «Меркатор».

$\ln(1+u)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}u^{n}=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\cdots$

сходится локально равномерно для $|u|<1$, поэтому установка $z=1+u$ определяет ветвь $\log z$ на открытом диске радиуса 1 с центром в точке 1. (На самом деле это всего лишь ограничение $\operatorname {Log} z$, что можно показать, дифференцировав разницу и сравнив значения с 1.)

Если ветвь зафиксирована, ее можно обозначить $\log z$если это не приведет к путанице. Однако разные ветви могут давать разные значения логарифма конкретного комплексного числа, поэтому ветвь должна быть зафиксирована заранее (или же необходимо понять основную ветвь), чтобы « $\log z$"иметь точное однозначное значение.

Обрезка ветвей

Приведенный выше аргумент, касающийся единичного круга, обобщается и показывает, что ни одна ветвь $\log z$ существует на открытом множестве $U$ содержащий замкнутую кривую , вращающуюся вокруг 0. Говорят, что « $\log z$«имеет точку ветвления в 0». Чтобы избежать содержания замкнутых кривых, оборачивающихся вокруг 0, $U$обычно выбирается как дополнение луча или кривой в комплексной плоскости, идущей от 0 (включительно) до бесконечности в некотором направлении. В этом случае кривая называется разрезом ветки . Например, главная ветвь имеет разрез вдоль отрицательной вещественной оси.

Если функция $\operatorname {L} (z)$расширяется до определения в точке разреза ветви, там она обязательно будет прерывистой; в лучшем случае это будет сплошная "с одной стороны", типа $\operatorname {Log} z$ при отрицательном вещественном числе.

Производная комплексного логарифма

Каждая ветка $\operatorname {L} (z)$ из $\log z$ на открытой площадке $U$ является обратным ограничению показательной функции, а именно ограничению на изображение $\operatorname {L} (U)$. Поскольку показательная функция голоморфна комплексный аналог теоремы об обратной функции (т. е. комплексно дифференцируема) с ненулевой производной, применяется . Это показывает, что $\operatorname {L} (z)$ голоморфен на $U$, и $\operatorname {L} '(z)=1/z$ для каждого $z$ в $U$. Другой способ доказать это — проверить уравнения Коши–Римана в полярных координатах .

Построение веток через интеграцию

Функция $\ln(x)$ серьезно $x>0$ можно построить по формуле

$$\ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.$$

Если диапазон интегрирования начинался с положительного числа $a$ кроме 1, формула должна быть

$$\ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}$$

вместо.

При разработке аналога комплексного логарифма возникает дополнительная сложность: определение комплексного интеграла требует выбора пути. К счастью, если подынтегральная функция голоморфна, то значение интеграла не изменится за счет деформации пути (при фиксированных концах), причем в односвязной области $U$ (область без дыр), любой путь из $a$ к $z$ внутри $U$ может непрерывно деформироваться внутри $U$в любой другой. Все это приводит к следующему:

Если $U$ является односвязным открытым подмножеством $\mathbb {C}$ не содержащий 0, то ветвь $\log z$ определено на $U$ можно построить, выбрав начальную точку $a$ в $U$, выбирая логарифм $b$ из $a$и определение

$$L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}$$

для каждого $z$ в $U$.

конформное

Окружности Re(Log z ) = постоянные и лучи Im(Log z ) = постоянные в комплексной z -плоскости.

Комплексное картографирование бревен сопоставляет радиусы с горизонтальными линиями, а круги с вертикальными линиями.

Любая голоморфная карта $f\colon U\to \mathbb {C}$ удовлетворяющий $f'(z)\neq 0$ для всех $z\in U$ является конформным отображением , что означает, что если две кривые, проходящие через точку $a$ из $U$ сформировать угол $\alpha$ (в том смысле, что касательные к кривым в точках $a$ сформировать угол $\alpha$), то изображения двух кривых образуют один и тот же угол $\alpha$ в $f(a)$. Поскольку филиал $\log z$ голоморфна, и поскольку ее производная $1/z$ никогда не равен 0, он определяет конформное отображение.

Например, основная ветвь $w=\operatorname {Log} z$, рассматриваемый как отображение из $\mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}$ к горизонтальной полосе, определяемой $\left|\operatorname {Im} z\right|<\pi$, обладает следующими свойствами, которые являются прямыми следствиями формулы в полярной форме:

• Круги в плоскости z с центром в 0 отображаются в вертикальные сегменты в плоскости w , соединяющие $a-\pi i$ к $a+\pi i$, где $a$ - реальный логарифм радиуса круга.
• Лучи, исходящие из точки 0 в плоскости z , отображаются на горизонтальные линии в плоскости w .

Каждый круг и луч в плоскости z , как указано выше, встречаются под прямым углом. Их изображения под Log представляют собой вертикальный сегмент и горизонтальную линию (соответственно) в w -плоскости, и они тоже пересекаются под прямым углом. Это иллюстрация конформного свойства Log.

Соответствующая риманова поверхность

Визуализация римановой поверхности log z . Кажется, что поверхность вращается вокруг вертикальной линии, соответствующей началу комплексной плоскости. Реальная поверхность простирается сколь угодно далеко как по горизонтали, так и по вертикали, но на этом изображении обрезана.

Строительство

Различные отрасли $\log z$ нельзя склеить, чтобы получить одну непрерывную функцию $\log \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C}$потому что две ветви могут давать разные значения в точке, где обе определены. Сравните, например, главную ветвь $\operatorname {Log} z$ на $\mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}$ с мнимой частью $\theta$ в $(-\pi ,\pi )$ и филиал $\operatorname {L} (z)$ на $\mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}$ чья мнимая часть $\theta$ заключается в $(0,2\pi )$. Они совпадают в верхней полуплоскости , но не в нижней полуплоскости. Поэтому имеет смысл склеивать домены этих ветвей только по копиям верхней полуплоскости . Полученная склеенная область является связной, но имеет две копии нижней полуплоскости. Эти две копии можно представить как два уровня гаража, и попасть в них можно с ${\text{Log}}$ уровне нижней полуплоскости до ${\text{L}}$ уровень нижней полуплоскости, пройдя $2\pi$ радиан против часовой стрелки вокруг 0 , сначала пересекая положительную действительную ось ( ${\text{Log}}$ уровень) в общую копию верхней полуплоскости, а затем пересекая отрицательную действительную ось ( ${\text{L}}$ уровень) в ${\text{L}}$ уровень нижней полуплоскости.

Можно продолжить, приклеивая ветки с воображаемой частью. $\theta$ в $(\pi ,3\pi )$, в $(2\pi ,4\pi )$, и так далее, и в другую сторону ветки с мнимой частью $\theta$ в $(-2\pi ,0)$, в $(-3\pi ,-\pi )$, и так далее. Конечным результатом является связанная поверхность, которую можно рассматривать как спиральный гараж с бесконечным множеством уровней, простирающихся как вверх, так и вниз. Это риманова поверхность $R$ связано с $\log z$.

Точка на $R$ можно рассматривать как пару $(z,\theta )$ где $\theta$ – возможное значение аргумента $z$. Таким образом, R можно встроить в $\mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}$.

Функция логарифма на римановой поверхности

Поскольку области ветвей склеивались только вдоль открытых множеств, где их значения совпадали, ветви склеивались, образуя одну четко определенную функцию. $\log _{R}\colon R\to \mathbb {C}$. Он отображает каждую точку $(z,\theta )$ на $R$ к $\ln |z|+i\theta$. Этот процесс расширения исходной ветки ${\text{Log}}$ склеиванием совместимых голоморфных функций называется аналитическим продолжением .

Есть "карта проекции" от $R$ вплоть до $\mathbb {C} ^{*}$ который «сглаживает» спираль, отправляя $(z,\theta )$ к $z$. Для любого $z\in \mathbb {C} ^{*}$, если взять все точки $(z,\theta )$ из $R$ лежащий «прямо сверху» $z$ и оценивает $\log _{R}$ во всех этих точках получаются все логарифмы $z$.

Склеиваем все ветки бревна z

Вместо того, чтобы приклеивать только выбранные выше ветки, можно начать со всех ветвей. $\log z$, и одновременно приклеиваем каждую пару веточек $L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C}$ и $L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C}$ вдоль самого большого открытого подмножества $U_{1}\cap U_{2}$ на которой $L_{1}$ и $L_{2}$соглашаться. Это дает ту же самую риманову поверхность $R$ и функция $\log _{R}$как прежде. Этот подход, хотя его немного сложнее визуализировать, более естественен, поскольку не требует выбора каких-либо конкретных ветвей.

Если $U'$ является открытым подмножеством $R$ биективно проецируя на свое изображение $U$ в $\mathbb {C} ^{*}$, то ограничение $\log _{R}$ к $U'$ соответствует ветке $\log z$ определено на $U$. Каждая ветвь $\log z$ возникает таким образом.

Риманова поверхность как универсальное покрытие

Карта проекции $R\to \mathbb {C} ^{*}$ осознает $R$ как пространства прикрытие $\mathbb {C} ^{*}$. Фактически это накрытие Галуа с группой преобразований колоды , изоморфной $\mathbb {Z}$, порожденный гомеоморфизма отправкой $(z,\theta )$ к $(z,\theta +2\pi )$.

Будучи сложным многообразием , $R$ биголоморфен ​ с $\mathbb {C}$ с помощью $\log _{R}$. (Обратная карта отправляет $z$ к $\left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)$.) Это показывает, что $R$ просто связен, поэтому $R$ это обложка универсальная $\mathbb {C} ^{*}$.

Приложения

• Комплексный логарифм необходим для определения возведения в степень , в котором основанием является комплексное число. А именно, если $a$ и $b$ являются комплексными числами с $a\not =0$, можно использовать главное значение для определения $a^{b}=e^{b\operatorname {Log} a}$. Можно также заменить $\operatorname {Log} a$ другими логарифмами $a$ получить другие значения $a^{b}$, различающиеся множителями вида $e^{2\pi inb}$. Выражение $a^{b}$ имеет единственное значение тогда и только тогда, когда $b$ является целым числом.
• Поскольку тригонометрические функции можно выразить как рациональные функции $e^{iz}$обратные тригонометрические функции можно выразить через комплексные логарифмы.
• Поскольку отображение $w=\operatorname {Log} z$ преобразует круги с центром в 0 в вертикальные сегменты прямых линий, это полезно в инженерных приложениях, связанных с кольцевым пространством .
• В электротехнике константа распространения представляет собой комплексный логарифм.

Обобщения

Логарифмы по другим основаниям

Как и для действительных чисел, для комплексных чисел можно определить $b$ и $x$

$\log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},$

с той лишь оговоркой, что его значение зависит от выбора ветки журнала, определенной в $b$ и $x$ (с $\log b\not =0$). Например, использование основного значения дает

$\log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.$

Логарифмы голоморфных функций

Если f — голоморфная функция на связном открытом подмножестве $U$ из $\mathbb {C}$, затем ветка $\log f$ на $U$ является непрерывной функцией $g$ на $U$ такой, что $e^{g(z)}=f(z)$ для всех $z$ в $U$. Такая функция $g$ обязательно голоморфен $g'(z)=f'(z)/f(z)$ для всех $z$ в $U$.

Если $U$ является односвязным открытым подмножеством $\mathbb {C}$, и $f$ является никуда не исчезающей голоморфной функцией на $U$, затем ветка $\log f$ определено на $U$ можно построить, выбрав начальную точку a в $U$, выбирая логарифм $b$ из $f(a)$и определение

$g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw$

для каждого $z$ в $U$.

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). МакГроу-Хилл.
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной (2-е изд.). Спрингер. ISBN  9780387903286 .
• Крейциг, Эрвин (2011). Высшая инженерная математика (10-е изд.). Берлин: Уайли . ISBN  9780470458365 .
• Ланг, Серж (1993). Комплексный анализ (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  9783642592737 .
• Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной . Прентис-Холл.
• Сарасон, Дональд (2007). Теория комплексных функций (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  9780821886229 .
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (Четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета.