График функции

Для представления функции в виде теоретико-графиков см. Функциональный график .

График функции $f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.$

В математике график функции $f$ это набор упорядоченных пар $(x,y)$, где $f(x)=y.$ В общем случае, когда $x$ и $f(x)$ являются действительными числами , эти пары представляют собой декартовы координаты точек на плоскости и часто образуют кривую .Графическое представление графика функции также известно как график .

В случае функций двух переменных , то есть функций, область определения которых состоит из пар $(x,y)$ – граф обычно относится к множеству упорядоченных троек $(x,y,z)$ где $f(x,y)=z$. Это подмножество трехмерного пространства ; для непрерывной действительной функции двух действительных переменных ее график образует поверхность , которую можно визуализировать как график поверхности .

В науке , технике , технологиях , финансах и других областях графики — это инструменты, используемые для многих целей. В простейшем случае одна переменная отображается как функция другой, обычно с использованием прямоугольных осей ; см . в разделе График (графика) подробности .

График функции является частным случаем отношения . В современных основах математики и, как правило, в теории множеств функция фактически равна своему графику. Однако часто бывает полезно рассматривать функции как отображения . которые состоят не только из отношения между входом и выходом, но также из того, какой набор является доменом, а какой набор является кодоменом . Например, чтобы сказать, что функция находится на ( сюръективной ) или нет, следует учитывать кодомен. График функции сам по себе не определяет кодомен. Это обычное дело использовать оба термина «функция» и «график функции», поскольку, даже если рассматривать один и тот же объект, они указывают на его рассмотрение с другой точки зрения.

График функции $f(x)=x^{4}-4^{x}$ на интервале [−2,+3]. Также показаны два действительных корня и локальный минимум, находящиеся в интервале.

Определение

Дана функция $f:X\to Y$ из набора X ( домен ) в набор Y ( кодомен ), графиком функции является множество

$$G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},$$

которое является подмножеством декартова произведения $X\times Y$. При определении функции в терминах теории множеств принято отождествлять функцию с ее графиком, хотя формально функция образуется тройкой, состоящей из ее области определения, ее кодомена и ее графика.

Примеры

Функции одной переменной

График функции $f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).$

График функции $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ определяется

$$f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}$$

является подмножеством множества $\{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}$

$$G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.$$

Судя по графику, область $\{1,2,3\}$ восстанавливается как набор первых компонентов каждой пары в графе $\{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}$.Аналогично, диапазон можно восстановить как $\{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}$.Кодомен $\{a,b,c,d\}$Однако невозможно определить только по графику.

График кубического полинома на вещественной прямой

$$f(x)=x^{3}-9x$$

является

$$\{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.$$

Если этот набор нанести на декартову плоскость , результатом будет кривая (см. рисунок).

Функции двух переменных

График графика $f(x,y)=-\left(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)\right)^{2},$ также показан его градиент, проецируемый на нижнюю плоскость.

График тригонометрической функции

$$f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})$$

является

$$\{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.$$

Если этот набор нанести на трехмерную декартову систему координат , результатом будет поверхность (см. рисунок).

Часто бывает полезно показать на графике градиент функции и несколько кривых уровня. Кривые уровня могут быть отображены на функциональной поверхности или спроецированы на нижнюю плоскость. На втором рисунке представлен такой рисунок графика функции:

$$f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.$$

См. также

• Асимптота
• Диаграмма
• Сюжет
• Вогнутая функция
• Выпуклая функция
• Контурный сюжет
• Критическая точка
• Производная
• Эпиграф
• Нормаль к графику
• Склон
• Стационарная точка
• Тетравью
• Вертикальный перевод
• пересечение оси Y

Дальнейшее чтение

• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. « Функциональный график ». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.