График функции

В математике график функции $f$ это набор упорядоченных пар $(x,y)$ , где $f(x)=y.$ В общем случае, когда $x$ и $f(x)$ являются действительными числами , эти пары представляют собой декартовы координаты точек на плоскости и часто образуют кривую . Графическое представление графика функции также известно как график .

В случае функций двух переменных , то есть функций, область определения которых состоит из пар $(x,y)$ – граф обычно относится к множеству упорядоченных троек $(x,y,z)$ где $f(x,y)=z$ . Это подмножество трехмерного пространства ; для непрерывной действительной функции двух действительных переменных ее график образует поверхность , которую можно визуализировать как график поверхности .

В науке , технике , технологиях , финансах и других областях графики — это инструменты, используемые для многих целей. В простейшем случае одна переменная отображается как функция другой, обычно с использованием прямоугольных осей ; см . в разделе График (графика) подробности .

График функции является частным случаем отношения . В современных основах математики и, как правило, в теории множеств функция фактически равна своему графику. ^[1] Однако часто бывает полезно рассматривать функции как отображения . ^[2]которые состоят не только из отношения между входом и выходом, но также из того, какой набор является доменом, а какой набор является кодоменом . Например, чтобы сказать, что функция находится на ( сюръективной ) или нет, следует учитывать кодомен. График функции сам по себе не определяет кодомен. Это общепринято ^[3] использовать оба термина «функция» и «график функции», поскольку, даже если рассматривать один и тот же объект, они указывают на его рассмотрение с другой точки зрения.

Определение [ править ]

Дана функция $f:X\to Y$ из набора $X$ ( домен ) в набор $Y$ ( кодомен ), графиком функции является множество ^[4]

G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},

которое является подмножеством декартова произведения

X\times Y

. При определении функции в терминах теории множеств принято отождествлять функцию с ее графиком, хотя формально функция образуется тройкой, состоящей из ее области определения, ее кодомена и ее графика.

Примеры [ править ]

Функции одной переменной [ править ]

График функции $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ определяется

f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}

является подмножеством множества

\{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}

G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.

Судя по графику, область $\{1,2,3\}$ восстанавливается как набор первых компонентов каждой пары в графе $\{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}$ . Аналогично, диапазон можно восстановить как $\{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}$ . Кодомен $\{a,b,c,d\}$ Однако невозможно определить только по графику.

График кубического полинома на вещественной прямой

f(x)=x^{3}-9x

является

\{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.

Если этот набор нанести на декартову плоскость , результатом будет кривая (см. рисунок).

Функции двух переменных [ править ]

График тригонометрической функции

f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})

является

\{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.

Если этот набор нанести на трехмерную декартову систему координат , результатом будет поверхность (см. рисунок).

Часто бывает полезно показать на графике градиент функции и несколько кривых уровня. Кривые уровня могут быть отображены на функциональной поверхности или спроецированы на нижнюю плоскость. На втором рисунке представлен такой рисунок графика функции:

f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Чарльз Пинтер (2014) [1971]. Книга по теории множеств . Дуврские публикации. п. 49. ИСБН 978-0-486-79549-2 .
^ ТМ Апостол (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 35.
^ П.Р. Халмош (1982). Книга задач о гильбертовом пространстве . Спрингер Верлаг. п. 31 . ISBN 0-387-90685-1 .
^ Д.С. Бриджес (1991). Основы реального и абстрактного анализа . Спрингер. п. 285 . ISBN 0-387-98239-6 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0 . МР 1921556 . OCLC 285163112 – через Интернет-архив .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. « Функциональный график ». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

[Pinter2014-1] Чарльз Пинтер (2014) [1971]. Книга по теории множеств . Дуврские публикации. п. 49. ИСБН 978-0-486-79549-2 .

[2] ТМ Апостол (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 35.

[3] П.Р. Халмош (1982). Книга задач о гильбертовом пространстве . Спрингер Верлаг. п. 31 . ISBN 0-387-90685-1 .

[4] Д.С. Бриджес (1991). Основы реального и абстрактного анализа . Спрингер. п. 285 . ISBN 0-387-98239-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т Это Исчисление
Precalculus	Binomial theorem Concave function Continuous function Factorial Finite difference Free variables and bound variables Graph of a function Linear function Radian Rolle's theorem Secant Slope Tangent
Limits	Indeterminate form Limit of a function One-sided limit Limit of a sequence Order of approximation (ε, δ)-definition of limit
Differential calculus	Derivative Second derivative Partial derivative Differential Differential operator Mean value theorem Notation Leibniz's notation Newton's notation Rules of differentiation linearity Power Sum Chain L'Hôpital's Product General Leibniz's rule Quotient Other techniques Implicit differentiation Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates Stationary points First derivative test Second derivative test Extreme value theorem Maximum and minimum Further applications Newton's method Taylor's theorem Differential equation Ordinary differential equation Partial differential equation Stochastic differential equation
Integral calculus	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
Vector calculus	Derivatives Curl Directional derivative Divergence Gradient Laplacian Basic theorems Line integrals Green's Stokes' Gauss'
Multivariable calculus	Divergence theorem Geometric Hessian matrix Jacobian matrix and determinant Lagrange multiplier Line integral Matrix Multiple integral Partial derivative Surface integral Volume integral Advanced topics Differential forms Exterior derivative Generalized Stokes' theorem Tensor calculus
Sequences and series	Arithmetico-geometric sequence Types of series Alternating Binomial Fourier Geometric Harmonic Infinite Power Maclaurin Taylor Telescoping Tests of convergence Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison Ratio Root Term
Special functions and numbers	Bernoulli numbers e (mathematical constant) Exponential function Natural logarithm Stirling's approximation
History of calculus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Wilhelm Leibniz Infinitesimal Infinitesimal calculus Isaac Newton Fluxion Law of Continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Lists	Differentiation rules List of integrals of exponential functions List of integrals of hyperbolic functions List of integrals of inverse hyperbolic functions List of integrals of inverse trigonometric functions List of integrals of irrational functions List of integrals of logarithmic functions List of integrals of rational functions List of integrals of trigonometric functions Secant Secant cubed List of limits Lists of integrals
Miscellaneous topics	Complex calculus Contour integral Differential geometry Manifold Curvature of curves of surfaces Tensor Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid