Тензорное исчисление

В математике тензорное исчисление , тензорный анализ или исчисление Риччи представляет собой расширение векторного исчисления до тензорных полей ( тензоров , которые могут изменяться в многообразии , например, в пространстве-времени ).

Разработан Грегорио Риччи-Курбастро и его учеником Туллио Леви-Чивита . ^[1]его использовал Альберт Эйнштейн для разработки своей общей теории относительности . В отличие от исчисления бесконечно малых , тензорное исчисление позволяет представлять физические уравнения в форме, не зависящей от выбора координат на многообразии .

Тензорное исчисление имеет множество применений в физике , технике и информатике, включая упругость , механику сплошной среды , электромагнетизм (см. математические описания электромагнитного поля ), общую теорию относительности (см. математику общей теории относительности ), квантовую теорию поля и машинное обучение .

Работая вместе с главным сторонником внешнего исчисления Эли Картаном , влиятельный геометр Шиинг-Шен Черн резюмирует роль тензорного исчисления: ^[2]

В нашем предмете дифференциальной геометрии, где вы говорите о многообразиях, одна трудность состоит в том, что геометрия описывается координатами, но координаты не имеют значения. Им позволено претерпеть трансформацию. И чтобы справиться с такого рода ситуациями, важным инструментом является так называемый тензорный анализ, или исчисление Риччи, которое было новым для математиков. В математике у вас есть функция, вы записываете функцию, вычисляете, или складываете, или умножаете, или можете дифференцировать. У вас есть что-то очень конкретное. В геометрии геометрическая ситуация описывается числами, но вы можете произвольно менять свои числа. Итак, чтобы справиться с этим, вам понадобится исчисление Риччи.

Синтаксис [ править ]

В тензорной нотации используются верхние и нижние индексы объектов, которые используются для обозначения переменного объекта как ковариантного (нижний индекс), контравариантного (верхний индекс) или смешанного ковариантного и контравариантного (имеющего как верхний, так и нижний индексы). Фактически, в обычном математическом синтаксисе мы используем ковариантные индексы при работе с декартовыми системами координат. $(x_{1},x_{2},x_{3})$ часто не осознавая этого, это ограниченное использование тензорного синтаксиса в качестве ковариантных индексированных компонентов.

Тензорная нотация позволяет использовать верхний индекс объекта, который можно спутать с обычными степенными операциями из обычного математического синтаксиса.

Ключевые понятия [ править ]

Векторное разложение [ править ]

Обозначение тензоров позволяет использовать вектор ( ${\vec {V}}$ ) разложить на суммирование Эйнштейна , представляющее тензорное сжатие базисного вектора ( ${\vec {Z}}_{i}$ или ${\vec {Z}}^{i}$ ) с вектором-компонентом ( $V_{i}$ или $V^{i}$ ).

${\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}$

Каждый вектор имеет два разных представления, одно из которых называется контравариантным компонентом ( $V^{i}$ ) с ковариантным базисом ( ${\vec {Z}}_{i}$ ), а другой как ковариантная компонента ( $V_{i}$ ) с контравариантным базисом ( ${\vec {Z}}^{i}$ ). Тензорные объекты со всеми верхними индексами называются контравариантными, а тензорные объекты со всеми нижними индексами — ковариантными. Необходимость различать контравариант и ковариант возникает из-за того, что когда мы расставляем точку над произвольным вектором с его базисным вектором, связанным с определенной системой координат, есть два способа интерпретации этого скалярного произведения : либо мы рассматриваем его как проекцию базиса вектор на произвольный вектор, или мы рассматриваем его как проекцию произвольного вектора на базисный вектор, оба представления скалярного произведения полностью эквивалентны, но имеют разные составные элементы и разные базисные векторы:

{\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}_{i}=V_{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}_{i}={\vec {Z}}_{i}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}^{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}_{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}^{i})}\cdot {\vec {V}}

{\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}^{i}=V^{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}^{i}={{\vec {Z}}^{i}}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}_{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}^{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}_{i})}\cdot {\vec {V}}

Например, в физике вы начинаете с векторного поля , разлагаете его по ковариантному базису и таким образом получаете контравариантные координаты. Для ортонормированных декартовых координат ковариантный и контравариантный базис идентичны, поскольку базисным набором в этом случае является просто единичная матрица, однако для неаффинной системы координат, такой как полярная или сферическая, необходимо различать разложение с помощью контравариантный или ковариантный базис для генерации компонентов системы координат.

векторное разложение Ковариантное

${\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}$

переменная	описание	Тип
${\vec {V}}$	вектор	инвариант
$V^{i}$	контравариантные компоненты (упорядоченный набор скаляров)	вариант
${\vec {Z}}_{i}$	ковариантные базисы (упорядоченный набор векторов)	вариант

векторное разложение Контравариантное

${\vec {V}}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}$

переменная	описание	тип
${\vec {V}}$	вектор	инвариант
$V_{i}$	ковариантные компоненты (упорядоченный набор скаляров)	вариант
${\vec {Z}}^{i}$	контравариантные базисы (упорядоченный набор ковекторов )	вариант

Метрический тензор [ править ]

Метрический тензор представляет собой матрицу со скалярными элементами ( $Z_{ij}$ или $Z^{ij}$ ) и представляет собой тензорный объект, который используется для повышения или понижения индекса другого тензорного объекта с помощью операции, называемой сокращением, что позволяет преобразовать ковариантный тензор в контравариантный тензор и наоборот.

Пример понижения индекса с использованием метрического тензора:

$T_{i}=Z_{ij}T^{j}$

Пример повышения индекса с использованием метрического тензора:

$T^{i}=Z^{ij}T_{j}$

Метрический тензор определяется как:

$Z_{ij}={\vec {Z}}_{i}\cdot {\vec {Z}}_{j}$

$Z^{ij}={\vec {Z}}^{i}\cdot {\vec {Z}}^{j}$

Это означает, что если мы возьмем каждую перестановку набора базисных векторов и расставим их точками друг против друга, а затем расположим их в квадратную матрицу, у нас будет метрический тензор. Предостережение здесь заключается в том, какой из двух векторов в перестановке используется для проекции на другой вектор, что является отличительным свойством ковариантного метрического тензора по сравнению с контравариантным метрическим тензором.

Существуют две разновидности метрических тензоров: (1) контравариантный метрический тензор ( $Z^{ij}$ ) и (2) ковариантный метрический тензор ( $Z_{ij}$ ). Эти два варианта метрического тензора связаны тождеством:

$Z_{ik}Z^{jk}=\delta _{i}^{j}$

Для ортонормированной декартовой системы координат метрический тензор представляет собой просто дельту Кронекера. $\delta _{ij}$ или $\delta ^{ij}$ , который является просто тензорным эквивалентом единичной матрицы и $\delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{j}^{i}$ .

Якобиан [ править ]

Кроме того, тензор можно легко преобразовать из неперечеркнутого( $x$ ) к координате с перемычкой( ${\bar {x}}$ ) система, имеющая разные наборы базисных векторов:

f(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})=f{\bigg (}x^{1}({\bar {x}}),x^{2}({\bar {x}}),\dots ,x^{n}({\bar {x}}){\bigg )}={\bar {f}}({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\dots ,{\bar {x}}^{n})={\bar {f}}{\bigg (}{\bar {x}}^{1}(x),{\bar {x}}^{2}(x),\dots ,{\bar {x}}^{n}(x){\bigg )}

с использованием матричных отношений Якоби между системой координат с перемычкой и без перемычки ( ${\bar {J}}=J^{-1}$ ). Якобиан между системой с перемычкой и без нее играет важную роль в определении ковариантных и контравариантных базисных векторов, поскольку для существования этих векторов они должны удовлетворять следующему соотношению относительно системы с перемычкой и без перемычки:

Контравариантные векторы должны подчиняться законам:

$v^{i}={\bar {v}}^{r}{\frac {\partial x^{i}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{r}}}$

${\bar {v}}^{i}=v^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}$

Ковариантные векторы должны подчиняться законам:

$v_{i}={\bar {v}}_{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}$

${\bar {v}}_{i}=v_{r}{\frac {\partial x^{r}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{i}}}$

Существует два варианта матрицы Якобиана:

1. Матрица J, представляющая переход от незапрещенных координат к запрещенным. Чтобы найти J, мы берем «градиент с перемычкой», т.е. частную производную по ${\bar {x}}^{i}$ :

$J={\bar {\nabla }}f(x({\bar {x}}))$

2. ${\bar {J}}$ матрица, представляющая переход от запрещенных к незапрещенным координатам. Найти ${\bar {J}}$ , мы берем «незапрещенный градиент», т.е. частичный вывод по отношению к $x^{i}$ :

${\bar {J}}=\nabla {\bar {f}}({\bar {x}}(x))$

Вектор градиента [ править ]

Тензорное исчисление обеспечивает обобщение формулы вектора градиента из стандартного исчисления, которая работает во всех системах координат:

$\nabla F=\nabla _{i}F{\vec {Z}}^{i}$

Где:

$\nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial Z^{i}}}$

Напротив, для стандартного исчисления формула вектора градиента зависит от используемой системы координат (пример: формула декартовой вектора градиента по сравнению с формулой вектора полярного градиента по сравнению с формулой вектора сферического градиента и т. д.). В стандартном исчислении каждая система координат имеет свою собственную формулу, в отличие от тензорного исчисления, которое имеет только одну формулу градиента, эквивалентную для всех систем координат. Это стало возможным благодаря пониманию метрического тензора, который использует тензорное исчисление.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.). «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» . Mathematische Annalen (на французском языке). 54 (1–2). Спрингер: 125–201. дои : 10.1007/BF01454201 . S2CID 120009332 .
^ «Интервью с Шиинг Шен Чженем» (PDF) . Уведомления АМС . 45 (7): 860–5. Август 1998 года.

Дальнейшее чтение [ править ]

Дмитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции . Спрингер. ISBN 1-4020-1015-Х .
Сокольников, Иван С (1951). Тензорный анализ: теория и приложения к геометрии и механике сплошных сред . Уайли. ISBN 0471810525 .
Борисенко А.И.; Тарапов, И.Э. (1979). Векторный и тензорный анализ с приложениями (2-е изд.). Дувр. ISBN 0486638332 .
Ицков, Михаил (2015). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошных сред (2-е изд.). Спрингер. ISBN 9783319163420 .
Тилдесли, младший (1973). Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников . Лонгман. ISBN 0-582-44355-5 .
Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. МакГроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6 .
Гринфельд, П. (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Спрингер. ISBN 978-1-4614-7866-9 .

Внешние ссылки [ править ]

Даллемонд, Кес; Петерс, Каспер (1991–2010). «Введение в тензорное исчисление» (PDF) . Проверено 17 мая 2018 г.

[1] Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.). «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» . Mathematische Annalen (на французском языке). 54 (1–2). Спрингер: 125–201. дои : 10.1007/BF01454201 . S2CID 120009332 .

[2] «Интервью с Шиинг Шен Чженем» (PDF) . Уведомления АМС . 45 (7): 860–5. Август 1998 года.

[1]

[2]

v т Это Исчисление
Precalculus	Binomial theorem Concave function Continuous function Factorial Finite difference Free variables and bound variables Graph of a function Linear function Radian Rolle's theorem Secant Slope Tangent
Limits	Indeterminate form Limit of a function One-sided limit Limit of a sequence Order of approximation (ε, δ)-definition of limit
Differential calculus	Derivative Second derivative Partial derivative Differential Differential operator Mean value theorem Notation Leibniz's notation Newton's notation Rules of differentiation linearity Power Sum Chain L'Hôpital's Product General Leibniz's rule Quotient Other techniques Implicit differentiation Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates Stationary points First derivative test Second derivative test Extreme value theorem Maximum and minimum Further applications Newton's method Taylor's theorem Differential equation Ordinary differential equation Partial differential equation Stochastic differential equation
Integral calculus	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
Vector calculus	Derivatives Curl Directional derivative Divergence Gradient Laplacian Basic theorems Line integrals Green's Stokes' Gauss'
Multivariable calculus	Divergence theorem Geometric Hessian matrix Jacobian matrix and determinant Lagrange multiplier Line integral Matrix Multiple integral Partial derivative Surface integral Volume integral Advanced topics Differential forms Exterior derivative Generalized Stokes' theorem Tensor calculus
Sequences and series	Arithmetico-geometric sequence Types of series Alternating Binomial Fourier Geometric Harmonic Infinite Power Maclaurin Taylor Telescoping Tests of convergence Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison Ratio Root Term
Special functions and numbers	Bernoulli numbers e (mathematical constant) Exponential function Natural logarithm Stirling's approximation
History of calculus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Wilhelm Leibniz Infinitesimal Infinitesimal calculus Isaac Newton Fluxion Law of Continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Lists	Differentiation rules List of integrals of exponential functions List of integrals of hyperbolic functions List of integrals of inverse hyperbolic functions List of integrals of inverse trigonometric functions List of integrals of irrational functions List of integrals of logarithmic functions List of integrals of rational functions List of integrals of trigonometric functions Secant Secant cubed List of limits Lists of integrals
Miscellaneous topics	Complex calculus Contour integral Differential geometry Manifold Curvature of curves of surfaces Tensor Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid

v т Это Основные темы математического анализа
Calculus: Integration Differentiation Differential equations ordinary partial stochastic Fundamental theorem of calculus Calculus of variations Vector calculus Tensor calculus Matrix calculus Lists of integrals Table of derivatives
Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis (quaternionic analysis) Functional analysis Fourier analysis Least-squares spectral analysis Harmonic analysis P-adic analysis (P-adic numbers) Measure theory Representation theory Functions Continuous function Special functions Limit Series Infinity
Mathematics portal