Тесты сходимости

В математике . тесты сходимости — это методы проверки сходимости , условной сходимости , абсолютной сходимости , интервала сходимости или расхождения бесконечного ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Список тестов

Предел слагаемого

Если предел слагаемого не определен или ненулевой, то есть $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, то ряд должен расходиться. В этом смысле частичные суммы являются Коши только в том случае, если этот предел существует и равен нулю. Тест не дает результатов, если предел слагаемого равен нулю. Это также известно как тест n-го члена , тест на дивергенцию или тест на дивергенцию .

Тест на соотношение

Это также известно как критерий Даламбера .

Предположим, что существует $r$ такой, что

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Если r < 1, то ряд сходится абсолютно. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, тест на соотношение не дает результатов, и ряд может сходиться или расходиться.

Корневой тест

Это также известно как n критерий корня или критерий Коши .

Позволять

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

где $\limsup$ обозначает верхний предел (возможно $\infty$; если предел существует, это то же самое значение).

Если r < 1, то ряд сходится абсолютно. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, проверка корня не дает результатов, и ряд может сходиться или расходиться.

Корневой тест более силен, чем тест отношения: всякий раз, когда тест отношения определяет сходимость или расхождение бесконечного ряда, корневой тест делает то же самое, но не наоборот.

Интегральный тест

Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расхождение. Позволять $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ — неотрицательная и монотонно убывающая функция такая, что $f(n)=a_{n}$. Если

$$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$$

то ряд сходится. Но если интеграл расходится, то и ряд расходится. Другими словами, сериал ${a_{n}}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл.

p тест серии

Часто используемым следствием интегрального теста является тест p-серии. Позволять $k>0$. Затем $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ сходится, если $p>1$.

Случай $p=1,k=1$ дает гармонический ряд, который расходится. Случай $p=2,k=1$ является Базельской задачей , и ряд сходится к ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$. В общем, для $p>1,k=1$, ряд равен дзета-функции Римана, примененной к $p$, то есть $\zeta (p)$.

Прямой сравнительный тест

Если сериал $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ является абсолютно сходящимся рядом и $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ для достаточно больших n то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится абсолютно.

Сравнительный тест пределов

Если $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$, (то есть каждый элемент двух последовательностей положителен) и предел $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ существует, конечен и ненулевой, то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.

Тест на конденсацию Коши

Позволять $\left\{a_{n}\right\}$ быть неотрицательной невозрастающей последовательностью. Тогда сумма $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сумма $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ сходится. Более того, если они сходятся, то $A\leq A^{*}\leq 2A$ держит.

Тест Абеля

Предположим, что следующие утверждения верны:

1. $\sum a_{n}$ является сходящимся рядом,
2. $\left\{b_{n}\right\}$ представляет собой монотонную последовательность, и
3. $\left\{b_{n}\right\}$ ограничен.

Затем $\sum a_{n}b_{n}$ также является сходящимся.

Тест

Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Испытание попеременной серии

Предположим, что следующие утверждения верны:

• $a_{n}$ все положительные,
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ и
• для каждого n , $a_{n+1}\leq a_{n}$.

Затем $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ являются сходящимися рядами. Этот критерий также известен как критерий Лейбница .

Проба Дирихле

Если $\{a_{n}\}$ представляет собой последовательность действительных чисел и $\{b_{n}\}$ последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая

• $a_{n}\geq a_{n+1}$

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ для каждого натурального числа N

где M — некоторая константа, то ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

сходится.

Тест сходимости Коши

Серия $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существует натуральное число N такое, что

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

справедливо для всех n > N и всех p ≥ 1 .

Теорема Штольца–Чезаро

Позволять $(a_{n})_{n\geq 1}$ и $(b_{n})_{n\geq 1}$ быть двумя последовательностями действительных чисел. Предположим, что $(b_{n})_{n\geq 1}$ является строго монотонной и расходящейся последовательностью и существует следующий предел:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$

Тогда предел

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

М-тест Вейерштрасса

Предположим, что ( f _n ) — последовательность вещественных или комплекснозначных функций, определенных на множестве A , и что существует последовательность неотрицательных чисел ( M _n ), удовлетворяющая условиям

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ для всех $n\geq 1$ и все $x\in A$, и
• $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ сходится.

Тогда сериал

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

сходится абсолютно и равномерно на A .

Расширения теста соотношения

Тест на соотношение может оказаться неубедительным, если предел отношения равен 1. Однако расширение теста на соотношение иногда позволяет справиться с этим случаем.

Тест Раабе-Дюамеля

Пусть { a _n } — последовательность положительных чисел.

Определять

$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).$

Если

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

существует три возможности:

• если L > 1, то ряд сходится (включая случай L = ∞)
• если L < 1, ряд расходится
• и если L = 1, тест не дает результатов.

Альтернативная формулировка этого теста следующая. Пусть { a _n } будет рядом действительных чисел. Тогда если b > 1 и K (натуральное число) существуют такие, что

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}$

для всех n > K ряд { an _} сходится.

Проба Бертрана

Пусть { a _n } — последовательность положительных чисел.

Определять

$b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).$

Если

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

существует, есть три возможности:

• если L > 1, то ряд сходится (включая случай L = ∞)
• если L < 1, ряд расходится
• и если L = 1, тест не дает результатов.

Тест Гаусса

Пусть { a _n } — последовательность положительных чисел. Если ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })$ для некоторого β > 1, то $\sum a_{n}$ сходится, если α > 1 , и расходится, если α ≤ 1 .

Тест Куммера

Пусть { a _n } — последовательность положительных чисел. Затем:

(1) $\sum a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда существует последовательность $b_{n}$ положительных чисел и действительного числа c > 0 такого, что $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c$.

(2) $\sum a_{n}$ расходится тогда и только тогда, когда существует последовательность $b_{n}$ положительных чисел таких, что $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$

и $\sum 1/b_{n}$ расходится.

Тест Абу-Мостафы

Позволять $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ будет бесконечным рядом с действительными членами и пусть $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ быть любой действительной функцией такой, что $f(1/n)=a_{n}$ для всех натуральных чисел n и второй производной $f''$ существует в $x=0$. Затем $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится абсолютно, если $f(0)=f'(0)=0$ и расходится в противном случае.

Примечания

• Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для рядов Фурье есть тест Дини .

Примеры

Рассмотрим серию

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$ ( я )

Из теста конденсации Коши следует, что ( i ) конечно сходится, если

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$ ( ii )

конечно сходится. С

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

( ii ) представляет собой геометрическую прогрессию с отношением $2^{(1-\alpha )}$. ( ii ) конечно сходится, если его отношение меньше единицы (а именно $\alpha >1$). Таким образом, ( i ) конечно сходится тогда и только тогда, когда $\alpha >1$.

Конвергенция продуктов

Хотя большинство тестов связаны со сходимостью бесконечных рядов, их также можно использовать для демонстрации сходимости или расхождения бесконечных произведений . Этого можно добиться, используя следующую теорему: Пусть $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ быть последовательностью положительных чисел. Тогда бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ сходится тогда и только тогда, когда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится. Аналогично, если $0<a_{n}<1$ держится, тогда $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ приближается к ненулевому пределу тогда и только тогда, когда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится.

Это можно доказать, взяв логарифм произведения и применив тест сравнения пределов.

См. также

• Правило больницы
• Правило смены

Дальнейшее чтение

• Лейтольд, Луи (1972). Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.). Нью-Йорк: Харпер и Роу. стр. 655–737. ISBN  0-06-043959-9 .