Правило генерала Лейбница

Чтобы узнать о других значениях, см. Правило Лейбница (значения) .

В исчислении действует общее правило Лейбница . названный в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»). В нем говорится, что если $f$ и $g$ являются n -кратно дифференцируемыми функциями , то произведение $fg$ также n - раз дифференцируема, а ее n -я производная определяется выражением

$$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},$$

где ${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент и $f^{(j)}$ обозначает j- ю производную функции f (и, в частности, $f^{(0)}=f$).

Это правило можно доказать, используя правило произведения и математическую индукцию .

Вторая производная

Если, например, n = 2 , правило дает выражение для второй производной произведения двух функций:

$$(fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).$$

Более двух факторов

Формулу можно обобщить на произведение m дифференцируемых функций f ₁ ,..., f _m .

$$\left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,$$

где сумма распространяется на все m -кортежи ( k ₁ ,..., km _с ) неотрицательных целых чисел ${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ и

$${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}$$

– полиномиальные коэффициенты . Это похоже на полиномиальную формулу из алгебры.

Доказательство

Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Позволять $f$ и $g$ быть $n$-раз дифференцируемые функции. Базовый случай, когда $n=1$ утверждает, что:

$$(fg)'=f'g+fg',$$

это обычное правило произведения , и оно, как известно, верно. Далее предположим, что утверждение справедливо для фиксированного $n\geq 1,$ то есть, что

$$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.$$

Затем,

$${\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}$$

Итак, утверждение справедливо для $n+1$, и доказательство завершено.

Многомерное исчисление

При использовании многоиндексной записи частных производных функций нескольких переменных правило Лейбница в более общем смысле гласит:

$$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).$$

Эту формулу можно использовать для вывода формулы, вычисляющей символ композиции дифференциальных операторов. Действительно, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, дифференцируемыми достаточно много раз) и $R=P\circ Q.$ Поскольку R также является дифференциальным оператором, символ R задается следующим образом:

$$R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).$$

Прямое вычисление теперь дает:

$$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).$$

Эту формулу обычно называют формулой Лейбница. Он используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым вызывая кольцевую структуру.

См. также

• Биномиальная теорема - алгебраическое разложение степеней бинома.
• Вывод (дифференциальная алгебра) - алгебраическое обобщение производной.
• Производная – мгновенная скорость изменения (математика)
• Дифференциальная алгебра - алгебраическое исследование дифференциальных уравнений.
• Треугольник Паскаля - Треугольный массив биномиальных коэффициентов по математике.
• Правило продукта – формула производной продукта
• Правило частного – формула для производной отношения функций.