Исчисление Маллявена

В теории вероятностей и смежных областях исчисление Маллявена представляет собой набор математических методов и идей, которые расширяют математическую область вариационного исчисления от детерминированных функций до случайных процессов . В частности, он позволяет вычислять производные величин случайных . Исчисление Маллявена также называют исчислением стохастическим вариационным . П. Маллявен первым положил начало исчислению бесконечномерного пространства. Затем такие важные участники, как С. Кусуока, Д. Строок, Дж.М. Висмут , Синдзо Ватанабэ , И. Сигэкава и так далее наконец завершили фундамент.

Исчисление Маллявена названо в честь Поля Маллявена, чьи идеи привели к доказательству того, что условие Хёрмандера подразумевает существование и гладкость плотности решения стохастического дифференциального уравнения ; Первоначальное доказательство Хёрмандера было основано на теории уравнений в частных производных . применялось к стохастическим уравнениям в частных производных Это исчисление также .

Исчисление допускает интегрирование по частям со случайными величинами ; эта операция используется в математических финансах для расчета чувствительности производных финансовых инструментов . Это исчисление имеет применение, например, в стохастической фильтрации .

Обзор и история

Маллявен ввел исчисление Маллявена, чтобы обеспечить стохастическое доказательство того, что условие Хёрмандера подразумевает существование плотности решения стохастического дифференциального уравнения ; Первоначальное доказательство Хёрмандера было основано на теории уравнений в частных производных . Его исчисление позволило Маллявену доказать границы регулярности плотности решения. Исчисление было применено к стохастическим уравнениям в частных производных .

Принцип инвариантности

Обычный принцип инвариантности интегрирования Лебега по всей действительной прямой состоит в том, что для любого действительного числа ε и интегрируемой f функции следующие запреты

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\,d\lambda (x)$ и, следовательно, $\int _{-\infty }^{\infty }f'(x)\,d\lambda (x)=0.$

Это можно использовать для вывода формулы интегрирования по частям , поскольку, полагая f = gh , это подразумевает

$0=\int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda .$

Аналогичная идея может быть применена в стохастическом анализе для дифференциации по направлению Кэмерона-Мартина-Гирсанова. Действительно, пусть $h_{s}$ интегрируемым с квадратом быть предсказуемым процессом, и заданным

$\varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.$

Если $X$ является винеровским процессом , то теорема Гирсанова дает следующий аналог принципа инвариантности:

$E(F(X+\varepsilon \varphi ))=E\left[F(X)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right].$

Дифференцируя по ε с обеих сторон и оценивая при ε=0, получаем следующую формулу интегрирования по частям:

$E(\langle DF(X),\varphi \rangle )=E{\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\Bigr ]}.$

Здесь левая часть — производная Маллявена случайной величины $F$ в направлении $\varphi$ а интеграл, стоящий в правой части, следует интерпретировать как интеграл Ито .

вероятностное

Основная статья: Гауссово вероятностное пространство

Игрушечная модель исчисления Маллявена представляет собой неприводимое гауссово вероятностное пространство. $X=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$. Это (полное) вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ вместе с замкнутым подпространством ${\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ такой, что все $H\in {\mathcal {H}}$ являются средними нулевыми гауссовскими переменными и ${\mathcal {F}}=\sigma (H:H\in {\mathcal {H}})$. Если выбрать основу для ${\mathcal {H}}$ потом один звонит $X$ численная модель . С другой стороны, для любого сепарабельного гильбертова пространства ${\mathcal {G}}$ существует каноническое неприводимое гауссово вероятностное пространство $\operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})$ назвал модель Сигала, имеющую ${\mathcal {G}}$ как его гауссово подпространство. Свойства гауссовского вероятностного пространства, которые не зависят от конкретного выбора базиса, называются внутренними , а те, которые зависят от выбора внешнего базиса . Обозначим счетно-бесконечное произведение вещественных пространств как $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$.

Позволять $\gamma$ быть канонической гауссовской мерой, перенеся теорему Кэмерона-Мартина из $(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} }=\otimes _{n\in \mathbb {N} }\gamma )$ в числовую модель $X$, аддитивная группа ${\mathcal {H}}$ определит группу квазиавтоморфизмов на $\Omega$. Построение можно осуществить следующим образом: выбрать ортонормированный базис в ${\mathcal {H}}$, позволять $\tau _{\alpha }(x)=x+\alpha$ обозначим перевод на $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ к $\alpha$, обозначим отображение в пространство Кэмерона-Мартина через $j:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}$, обозначаем

$L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=\bigcap \limits _{p<\infty }L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\quad$ и $\quad q:L^{\infty -0}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} })\to L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P),$

мы получаем каноническое представление аддитивной группы $\rho :{\mathcal {H}}\to \operatorname {End} (L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P))$ действуя на эндоморфизмы , определяя

$\rho (h)=q\circ \tau _{j(h)}\circ q^{-1}.$

Можно показать, что действие $\rho$ является внешним, то есть не зависит от выбора основы для ${\mathcal {H}}$, дальше $\rho (h+h')=\rho (h)\rho (h')$для $h,h'\in {\mathcal {H}}$ и для генератора бесконечно малого $(\rho (h))_{h}$ что

$\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\rho (\varepsilon h)-I}{\varepsilon }}=M_{h}$

где $I$ является оператором идентификации и $M_{h}$ обозначает оператор умножения на случайную величину на $\Omega$ связанный с $h\in {\mathcal {H}}$ (действующий на эндоморфизмы).

Формула Кларка-Окона

Основная статья: Теорема Кларка – Окона

Одним из наиболее полезных результатов исчисления Маллявена является теорема Кларка-Окона процесс в теореме о мартингальном представлении , которая позволяет явно идентифицировать . Упрощенная версия этой теоремы выглядит следующим образом:

Рассмотрим стандартную меру Винера в каноническом пространстве $C[0,1]$, оснащенный своей канонической фильтрацией. Для $F:C[0,1]\to \mathbb {R}$ удовлетворяющий $E(F(X)^{2})<\infty$ который является липшицевым и такой, что F имеет сильное производное ядро ​​в том смысле, чтодля $\varphi$ в С [0,1]

$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X$

затем

$F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t},$

где H — предвидимая проекция F '( x , ( t ,1]), которую можно рассматривать как производную функции F относительно подходящего параллельного сдвига процесса X по части ( t ,1] его домен.

Более кратко это можно выразить словами

$F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F\mid {\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}.$

Большая часть работы по формальному развитию исчисления Маллявена включает распространение этого результата на максимально возможный класс функционалов F путем замены ядра производной, использованного выше, на « производную Маллявена », обозначенную $D_{t}$ в приведенной выше формулировке результата.

Skorokhod integral

Основная статья: Интеграл Скорохода

, Интегральный оператор Скорохода который обычно обозначается δ, определяется как сопряженный производной Маллявена в случае белого шума , когда гильбертово пространство является $L^{2}$ пространстве, таким образом, для u в области определения оператора, который является подмножеством $L^{2}([0,\infty )\times \Omega )$,для F в области производной Маллявена потребуем

$E(\langle DF,u\rangle )=E(F\delta (u)),$

где внутренний продукт - это то, что на $L^{2}[0,\infty )$ а именно

$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(s)g(s)\,ds.$

Существование этого сопряженного следует из теоремы Рисса о представлении линейных операторов в гильбертовых пространствах .

Можно показать, что если u адаптировано, то

$\delta (u)=\int _{0}^{\infty }u_{t}\,dW_{t},$

где интеграл следует понимать в смысле Ито. Таким образом, это обеспечивает метод расширения интеграла Ито на неадаптированные подынтегральные выражения.

Приложения

Исчисление допускает интегрирование по частям со случайными величинами ; эта операция используется в математических финансах для расчета чувствительности производных финансовых инструментов . Это исчисление имеет применение, например, в стохастической фильтрации .

Ссылки

• Кусуока, С. и Строок, Д. (1981) «Применение исчисления Маллявена I», Стохастический анализ, Труды Международного симпозиума Танигучи, Катата и Киото , 1982, стр. 271–306.
• Кусуока С. и Строок Д. (1985) «Применение исчисления Маллявена II», J. Faculty Sci. Университет. Токийская секта. 1А Математика. , 32 стр. 1–76.
• Кусуока С. и Строок Д. (1987) «Применение исчисления Маллявена III», J. Faculty Sci. унив. Токийская секта. 1А Математика. , 34 стр. 391–442.
• Маллявен, Поль и Тальмайер, Антон. Стохастическое вариационное исчисление в математических финансах , Springer 2005, ISBN   3-540-43431-3
• Нуаларт, Дэвид (2006). Исчисление Маллявена и связанные с ним темы (второе изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  978-3-540-28328-7 .
• Белл, Денис. (2007) Исчисление Маллявена , Дувр. ISBN   0-486-44994-7 ; электронная книга
• Санс-Соле, Марта (2005) Исчисление Маллявена с приложениями к стохастическим уравнениям в частных производных . EPFL Press, распространяется CRC Press, Taylor & Francisco Group.
• Шиллер, Алекс (2009) Исчисление Маллявена для моделирования Монте-Карло с финансовыми приложениями . Диссертация, факультет математики, Принстонский университет
• Оксендал, Бернт К. (1997) Введение в исчисление Маллявена с приложениями к экономике . Конспекты лекций, факультет математики, Университет Осло (Zip-файл, содержащий диссертацию и приложение)
• Ди Нунно, Джулия , Оксендал, Бернт, Проске, Франк (2009) «Исчисление Маллявена для процессов Леви с приложениями к финансам», Universitext, Springer. ISBN   978-3-540-78571-2

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с исчислением Маллявена, в Wikiquote
• Фриз, Питер К. (10 апреля 2005 г.). «Введение в исчисление Маллявена» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 апреля 2007 г. Проверено 23 июля 2007 г. Конспект лекций, 43 страницы.

• Чжан, Х. (11 ноября 2004 г.). «Исчисление Маллявена» (PDF) . Проверено 11 ноября 2004 г. Диссертация, 100 страниц.