Стохастическое дифференциальное уравнение

Стохастическое дифференциальное уравнение ( СДУ ) — это дифференциальное уравнение , в котором один или несколько членов представляют собой случайный процесс . в результате чего получается решение, которое также является стохастическим процессом. СДУ имеют множество применений в чистой математике и используются для моделирования различного поведения стохастических моделей, таких как цены на акции , модели случайного роста или физические системы, которые подвержены тепловым флуктуациям .

СДУ имеют случайный дифференциал, который в самом основном случае представляет собой случайный белый шум, рассчитываемый как производная броуновского движения или, в более общем смысле, семимартингала . Однако возможны и другие типы случайного поведения, такие как скачкообразные процессы, такие как процессы Леви. или семимартингалы со скачками. Случайные дифференциальные уравнения сопряжены со стохастическим дифференциальными уравнениями. Стохастические дифференциальные уравнения также могут быть распространены на дифференциальные многообразия .

Предыстория

Стохастические дифференциальные уравнения возникли в теории броуновского движения в работах Альберта Эйнштейна и Мариан Смолуховской в ​​1905 году, хотя Луи Башелье был первым человеком, которому приписывают моделирование броуновского движения в 1900 году, дав очень ранний пример известного сейчас стохастического дифференциального уравнения. как модель Башелье . Некоторыми из этих ранних примеров были линейные стохастические дифференциальные уравнения, также называемые уравнениями Ланжевена в честь французского физика Ланжевена , описывающие движение гармонического осциллятора, подверженного воздействию случайной силы. Математическая теория стохастических дифференциальных уравнений была разработана в 1940-х годах благодаря новаторской работе японского математика Киёси Ито , который ввел понятие стохастического интеграла и положил начало изучению нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Другой подход был позже предложен русским физиком Стратоновичем , что привело к исчислению, похожему на обычное исчисление.

Терминология

Наиболее распространенной формой СДУ в литературе является обыкновенное дифференциальное уравнение , правая часть которого возмущена членом, зависящим от переменной белого шума . В большинстве случаев под СДУ понимают непрерывный по времени предел соответствующих стохастических разностных уравнений . Такое понимание СДУ неоднозначно и должно быть дополнено правильным математическим определением соответствующего интеграла. Такое математическое определение было впервые предложено Кийоси Ито в 1940-х годах, что привело к тому, что сегодня известно как исчисление Ито .Другая конструкция была позже предложена русским физиком Стратоновичем . что приводит к так называемому интегралу Стратоновича .Интеграл Ито и интеграл Стратоновича — родственные, но разные объекты, и выбор между ними зависит от рассматриваемого приложения. Исчисление Ито основано на концепции непредвиденности или причинности, что естественно в приложениях, где переменной является время.С другой стороны, исчисление Стратоновича имеет правила, напоминающие обычное исчисление, и обладает внутренними геометрическими свойствами, которые делают его более естественным при решении геометрических задач, таких как случайное движение на многообразиях , хотя возможно, а в некоторых случаях предпочтительнее моделировать случайное движение. на многообразиях через СДУ Ито, например, при попытке оптимально аппроксимировать СДУ на подмногообразиях.

Альтернативный взгляд на СДУ - это стохастический поток диффеоморфизмов. Это понимание однозначно и соответствует версии Стратоновича о непрерывном временном пределе стохастических разностных уравнений. С СДУ связано уравнение Смолуховского или уравнение Фоккера-Планка , уравнение, описывающее эволюцию во времени функций распределения вероятностей . Обобщение эволюции Фоккера–Планка на временную эволюцию дифференциальных форм обеспечивается понятием оператора стохастической эволюции .

В физике существует неоднозначность в использовании термина «СДУ Ланжевена» . Хотя СДУ Ланжевена могут иметь более общую форму , этот термин обычно относится к узкому классу СДУ с градиентными векторными полями потока. Этот класс СДУ особенно популярен, поскольку он является отправной точкой процедуры стохастического квантования Паризи – Сурласа. что приводит к суперсимметричной модели N=2, тесно связанной с суперсимметричной квантовой механикой . Однако с физической точки зрения этот класс СДУ не очень интересен, поскольку в нем никогда не наблюдается спонтанного нарушения топологической суперсимметрии, т.е. (перезатухающие) ланжевеновские СДУ никогда не являются хаотическими .

Стохастическое исчисление

Броуновское движение или винеровский процесс оказалось исключительно сложным математически. Винеровский процесс почти наверняка нигде не дифференцируем; таким образом, он требует своих собственных правил исчисления. Существуют две доминирующие версии стохастического исчисления: стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича . У каждого из двух есть свои преимущества и недостатки, и новички часто не понимают, подходит ли один из них лучше другого в данной ситуации. Существуют руководящие принципы (например, Оксендал, 2003 г.). и, что удобно, можно легко преобразовать СДУ Ито в эквивалентное СДУ Стратоновича и обратно. Тем не менее, нужно быть осторожным, какое исчисление использовать при первоначальной записи СДУ.

Численные решения

Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений включают метод Эйлера-Маруямы , метод Мильштейна , метод Рунге-Кутты (СДУ) , метод Розенброка, и методы, основанные на различных представлениях повторных стохастических интегралов.

Использование в физике

Смотрите также: уравнение Ланжевена

В физике СДУ имеют широкое применение: от молекулярной динамики до нейродинамики и динамики астрофизических объектов. Точнее, СДУ описывают все динамические системы, в которых квантовые эффекты либо не важны, либо могут учитываться как возмущения. СДУ можно рассматривать как обобщение теории динамических систем на модели с шумом. Это важное обобщение, поскольку реальные системы не могут быть полностью изолированы от окружающей среды и по этой причине всегда испытывают внешнее стохастическое влияние.

Существуют стандартные методы преобразования уравнений высшего порядка в несколько связанных уравнений первого порядка путем введения новых неизвестных. Таким образом, наиболее общим классом SDE является следующий:

${\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,$

где $x\in X$ — положение системы в ее фазовом пространстве (или пространстве состояний) , $X$, предполагаемое дифференцируемым многообразием, $F\in TX$ представляет собой векторное поле потока, представляющее детерминированный закон эволюции, и $g_{\alpha }\in TX$ представляет собой набор векторных полей, которые определяют связь системы с гауссовским белым шумом, $\xi ^{\alpha }$. Если $X$ является линейным пространством и $g$ являются константами, говорят, что система подвержена аддитивному шуму, в противном случае говорят, что она подвержена мультипликативному шуму. Этот термин несколько вводит в заблуждение, поскольку он стал обозначать общий случай, хотя он, по-видимому, подразумевает ограниченный случай, в котором $g(x)\propto x$.

Для фиксированной конфигурации шума СДУ имеет единственное решение, дифференцируемое по начальному условию. Нетривиальность стохастического случая проявляется, когда кто-то пытается усреднить различные интересующие объекты по конфигурациям шума. В этом смысле СДУ не является однозначно определенной сущностью, когда шум является мультипликативным и когда СДУ понимается как непрерывный временной предел стохастического разностного уравнения . В этом случае СДУ необходимо дополнить так называемыми «интерпретациями СДУ», такими как интерпретации СДУ Ито или Стратоновича. Тем не менее, когда СДУ рассматривается как стохастический поток диффеоморфизмов с непрерывным временем, это однозначно определенный математический объект , который соответствует подходу Стратоновича к непрерывному временному пределу стохастического разностного уравнения.

В физике основным методом решения является нахождение функции распределения вероятностей как функции времени с помощью эквивалентного уравнения Фоккера-Планка (УФП). Уравнение Фоккера-Планка представляет собой детерминированное уравнение в частных производных . Оно показывает, как функция распределения вероятностей развивается во времени, аналогично тому, как уравнение Шредингера дает временную эволюцию квантовой волновой функции или уравнение диффузии дает временную эволюцию химической концентрации. Альтернативно, численные решения могут быть получены с помощью моделирования Монте-Карло . Другие методы включают интеграцию по траекториям , основанную на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шредингера путем изменения масштаба нескольких переменных) или путем записи обыкновенных дифференциальных уравнений для статистических моментов. функции распределения вероятностей.

в вероятностных и

Обозначения, используемые в теории вероятностей (и во многих приложениях теории вероятностей, например, при обработке сигналов с помощью задач фильтрации и в математических финансах ), немного отличаются. Это также обозначение, используемое в публикациях по численным методам решения стохастических дифференциальных уравнений. Эти обозначения делают экзотическую природу случайной функции времени $\eta _{m}$ в физической формулировке более явной. Говоря строгими математическими терминами, $\eta _{m}$ нельзя выбрать как обычную функцию, а только как обобщенную функцию . Математическая формулировка рассматривает это осложнение с меньшей двусмысленностью, чем физическая формулировка.

Типичное уравнение имеет вид

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},$

где $B$ обозначает винеровский процесс (стандартное броуновское движение).Это уравнение следует интерпретировать как неформальный способ выражения соответствующего интегрального уравнения

$X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.$

Приведенное выше уравнение характеризует поведение с непрерывным временем случайного процесса X _t как суммы обычного интеграла Лебега и интеграла Ито . Эвристическая обычно (но очень полезная) интерпретация стохастического дифференциального уравнения состоит в том, что за небольшой интервал времени длиной δ случайный процесс X _t меняет свое значение на величину, которая распределяется с математическим ожиданием µ ( X _t , t ) δ и дисперсией σ ( Икс _т , т ) ²  δ и не зависит от прошлого поведения процесса. Это происходит потому, что приращения винеровского процесса независимы и нормально распределены. Функция µ называется коэффициентом дрейфа, а σ – коэффициентом диффузии. Случайный процесс X _t называется диффузионным процессом и удовлетворяет марковскому свойству .

Формальная интерпретация СДУ дается с точки зрения того, что представляет собой решение СДУ. Существует два основных определения решения СДУ: сильное решение и слабое решение. Оба требуют существования процесса X _t , который решает версию СДУ для интегральных уравнений. Разница между ними заключается в основном вероятностном пространстве ( $\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P$). Слабое решение состоит из вероятностного пространства и процесса, удовлетворяющего интегральному уравнению, тогда как сильное решение — это процесс, удовлетворяющий уравнению и определенный в заданном вероятностном пространстве. Теорема Ямады -Ватанабэ устанавливает связь между ними.

Важным примером является уравнение геометрического броуновского движения.

$\mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.$

которое представляет собой уравнение динамики цены акции в модели Блэка – Шоулза. ценообразования опционов финансовой математики.

Обобщая геометрическое броуновское движение, также можно определить СДУ, допускающие сильные решения и распределение которых представляет собой выпуклую комбинацию плотностей, происходящих из различных геометрических броуновских движений или моделей Блэка-Шоулза, получая одно СДУ, решения которого распределены как динамика смеси логнормальных распределения различных моделей Блэка-Шоулза. Это приводит к моделям, которые могут справиться с улыбкой волатильности в финансовой математике.

Более простое СДУ, называемое арифметическим броуновским движением.

$\mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}$

использовалась Луи Башелье в качестве первой модели цен на акции в 1900 году и сегодня известна как модель Башелье .

Существуют также более общие стохастические дифференциальные уравнения, в которых коэффициенты µ и σ зависят не только от текущего значения процесса X _t , но и от предыдущих значений процесса, а также, возможно, от текущих или предыдущих значений других процессов. В этом случае процесс решения X не является марковским процессом и называется процессом Ито, а не диффузионным процессом. Когда коэффициенты зависят только от текущих и прошлых значений X , определяющее уравнение называется стохастическим дифференциальным уравнением с запаздыванием.

Обобщением стохастических дифференциальных уравнений с интегралом Фиска-Стратоновича на семимартингалы со скачками являются СДУ типа Маркуса . Интеграл Маркуса является расширением стохастического исчисления МакШейна.

Инновационное применение в стохастических финансах основано на использовании уравнения процесса Орнштейна – Уленбека.

$\mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.$

которое представляет собой уравнение динамики доходности цены акции при гипотезе, что доходность имеет логнормальное распределение .Согласно этой гипотезе, методология, разработанная Марчелло Миненной, определяет интервал прогнозирования, способный выявить аномальную доходность, которая может скрыть явления рыночного злоупотребления .

SDEs on manifolds

В более общем смысле можно распространить теорию стохастического исчисления на дифференциальные многообразия , и для этой цели используется интеграл Фиска-Стратоновича. Рассмотрим многообразие $M$, некоторое конечномерное векторное пространство $E$, фильтрованное вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)$ с $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ удовлетворяющее обычным условиям , и пусть ${\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}$ быть одноточечной компактификацией и $x_{0}$ быть ${\mathcal {F}}_{0}$-измеримый. Стохастическое дифференциальное уравнение на $M$ написано

$\mathrm {d} X=A(X)\circ dZ$

это пара $(A,Z)$, такой, что

• $Z$ представляет собой непрерывный $E$-оценный семимартингал,
• $A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e$ является гомоморфизмом векторных расслоений над $M$.

Для каждого $x\in M$ карта $A(x):E\to T_{x}M$ является линейным и $A(\cdot )e\in \Gamma (TM)$ для каждого $e\in E$.

Решение СДУ на $M$ с начальным состоянием $X_{0}=x_{0}$ представляет собой непрерывный $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$-адаптированный $M$-ценный процесс $(X_{t})_{t<\zeta }$ до конца жизни $\zeta$, st для каждой тестовой функции $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ процесс $f(X)$ является действительным семимартингалом и для каждого времени остановки $\tau$ с $0\leq \tau <\zeta$ уравнение

$f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z$

держит $P$- почти наверняка, где $(df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M$ это дифференциал в $X$. Это решение является максимальным, если время жизни максимально, т. е.

$\{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}$

$P$- почти наверняка. Это следует из того, что $f(X)$ для каждой тестовой функции $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ это семимартингал, то есть $X$ это семимартингал на $M$. Учитывая максимальное решение, мы можем продлить время $X$ на полную $\mathbb {R} _{+}$ и после продолжения $f$ на ${\widehat {M}}$ мы получаем

$f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0$

вплоть до неразличимых процессов. Хотя СДУ Стратоновича являются естественным выбором для СДУ на многообразиях, учитывая, что они удовлетворяют правилу цепочки и что их коэффициенты сноса и диффузии ведут себя как векторные поля при изменении координат, есть случаи, когда исчисление Ито на многообразиях предпочтительнее. Теория исчисления Ито на многообразиях была впервые развита Лораном Шварцем на основе концепции морфизма Шварца: см. также соответствующую двухструйную интерпретацию СДУ Ито на многообразиях, основанных на расслоении джетов. Эта интерпретация полезна при попытке оптимально аппроксимировать решение СДУ, заданное в большом пространстве, с решениями СДУ, заданными на подмногообразии этого пространства: в том, что проекция, основанная на Стратоновиче, не является оптимальной. Это было применено к задаче фильтрации , что привело к созданию оптимальных проекционных фильтров.

Как неровные тропы

Обычно решение СДУ требует вероятностной постановки, поскольку интеграл, подразумеваемый в решении, является стохастическим. Если бы можно было иметь дело с дифференциальным уравнением по пути, не нужно было бы определять стохастический интеграл и можно было бы развивать теорию независимо от теории вероятностей. Это указывает на необходимость рассмотрения SDE

$\mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )$

как одно детерминированное дифференциальное уравнение для каждого $\omega \in \Omega$, где $\Omega$ - это выборочное пространство в данном вероятностном пространстве ( $\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P$). Однако прямая интерпретация СДУ по траекториям невозможна, поскольку траектории броуновского движения имеют неограниченную вариацию и нигде не дифференцируются с вероятностью единица, так что не существует наивного способа придать смысл таким терминам, как $\mathrm {d} B_{t}(\omega )$, что исключает также наивное попутное определение стохастического интеграла как интеграла против каждого отдельного $\mathrm {d} B_{t}(\omega )$. Однако, руководствуясь результатом Вонга-Закая, для пределов решений СДУ с регулярным шумом и с использованием теории грубых путей , добавляя выбранное определение повторных интегралов броуновского движения, можно определить детерминированный грубый интеграл для каждого отдельного $\omega \in \Omega$ что совпадает, например, с интегралом Ито с вероятностью единица для конкретного выбора повторного броуновского интеграла. Другие определения повторного интеграла приводят к детерминированным путевым эквивалентам различных стохастических интегралов, таких как интеграл Стратоновича. Это использовалось, например, в финансовой математике для оценки опционов без учета вероятности.

Существование и единственность решений

Как и в случае с детерминированными обыкновенными уравнениями и уравнениями в частных производных, важно знать, имеет ли данное СДУ решение и уникально оно или нет. Ниже приводится типичная теорема существования и единственности СДУ Ито, принимающих значения в n - мерном евклидовом пространстве R. ^н и приводится в движение m -мерным броуновским движением B ; доказательство можно найти у Оксендала (2003, §5.2).

Пусть T > 0 и пусть

$\mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};$

$\sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};$

— измеримые функции , для которых существуют константы C и D такие, что

${\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};$

${\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;$

для всех t ∈ [0, T ] и всех x и y ∈ R ^н , где

$|\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.$

Пусть Z — случайная величина, независимая от σ порожденной Bs _s , -алгебры , ≥ 0 и с конечным вторым моментом :

$\mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .$

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение/задача начального значения

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];$

$X_{0}=Z;$

имеет P- почти единственное t- непрерывное решение ( t , ω ) ↦ X _t ( ω ) такое, X адаптировано что к фильтрации F _t ^С порожденный Z и B _s , s ≤ t и

$\mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .$

: локальное условие Липшица и

Приведенное выше стохастическое дифференциальное уравнение является лишь частным случаем более общей формы.

$\mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}$

где

• $X$ представляет собой непрерывный семимартингал в $\mathbb {R} ^{n}$ и $Y$ является непрерывным семимартингалом в $\mathbb {R} ^{d}$
• $\alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})$ это карта некоторого открытого непустого множества $U\subset \mathbb {R} ^{d}$, где $\operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})$ — пространство всех линейных отображений из $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{d}$.

В более общем плане можно также рассмотреть стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях .

Будет ли решение этого уравнения взрываться, зависит от выбора $\alpha$. Предполагать $\alpha$ удовлетворяет некоторому локальному условию Липшица, т.е. для $t\geq 0$ и некоторый компактный набор $K\subset U$ и некоторая константа $L(t,K)$ состояние

$|\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,$

где $|\cdot |$ является евклидовой нормой. Это условие гарантирует существование и единственность так называемого максимального решения .

Предполагать $\alpha$ непрерывен и удовлетворяет указанному выше локальному условию Липшица, и пусть $F:\Omega \to U$ быть некоторым начальным условием, то есть это измеримая функция относительно исходной σ-алгебры. Позволять $\zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ быть предсказуемым временем остановки с $\zeta >0$ почти наверняка. А $U$-оценный семимартингал $(Y_{t})_{t<\zeta }$ называется максимальным решением

$dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F$

со временем жизни $\zeta$ если

• за одно (а значит, и за все) объявление $\zeta _{n}\nearrow \zeta$ остановленный процесс $Y^{\zeta _{n}}$ является решением остановленного стохастического дифференциального уравнения

$\mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}$

• на съемочной площадке $\{\zeta <\infty \}$ у нас это почти наверняка $Y_{t}\to \partial U$ с $t\to \zeta$.

$\zeta$ это также так называемое время взрыва .

Некоторые явно решаемые примеры

К явно решаемым СДУ относятся:

СДУ:

$\mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}$

$X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)\mathrm {d} (s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}\mathrm {d} (s)\mathrm {d} W_{s}\right)$

где

$\Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)$

СДУ:

$\mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}$

для данной дифференцируемой функции $f$ эквивалентно СДУ Стратоновича

$\mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}$

который имеет общее решение

$X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))$

где

$h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}$

СДУ:

$\mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}$

для данной дифференцируемой функции $f$ эквивалентно СДУ Стратоновича

$\mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}$

который сводится к

$\mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}$

где $Y_{t}=h(X_{t})$ где $h$ определяется, как и раньше.Его общее решение

$X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))$

SDEs and supersymmetry

Основная статья: Суперсимметричная теория стохастической динамики

В суперсимметричной теории СДУ стохастическая динамика определяется через оператор стохастической эволюции, действующий на дифференциальные формы в фазовом пространстве модели. В этой точной формулировке стохастической динамики все СДУ обладают топологической суперсимметрией , которая представляет собой сохранение непрерывности фазового пространства посредством непрерывного потока времени. Спонтанное нарушение этой суперсимметрии является математической сущностью повсеместного динамического явления, известного в разных дисциплинах как хаос , турбулентность , самоорганизованная критичность и т. д., а теорема Голдстоуна объясняет связанное с этим динамическое поведение на больших расстояниях, т. е. эффект бабочки , 1/ f и потрескивающие шумы, а также безмасштабная статистика землетрясений, нейролавин, солнечных вспышек и т. д.

См. также

• Обратное стохастическое дифференциальное уравнение
• Динамика Ланжевена
• Локальная волатильность
• Случайный процесс
• Стохастическая волатильность
• Стохастические уравнения в частных производных
• Процесс диффузии
• Стохастическое разностное уравнение

Дальнейшее чтение

• Эванс, Лоуренс С. (2013). Введение в стохастические дифференциальные уравнения Американское математическое общество.
• Адомян, Джордж (1983). Стохастические системы . Математика в науке и технике (169). Орландо, Флорида: Academic Press Inc.
• Адомян, Джордж (1986). Нелинейные стохастические операторные уравнения . Academic Press Inc. Орландо, Флорида: ISBN  978-0-12-044375-8 .
• Адомян, Джордж (1989). Теория нелинейных стохастических систем и приложения к физике . Математика и ее приложения (46). Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer.
• Калин, Овидиу (2015). Неформальное введение в стохастическое исчисление с приложениями . Сингапур: Мировое научное издательство. п. 315. ИСБН  978-981-4678-93-3 .
• Тойгельс, Дж.; Сунд, Б., ред. (2004). Энциклопедия актуарной науки . Чичестер: Уайли. стр. 523–527.
• К.В. Гардинер (2004). Справочник по стохастическим методам: для физики, химии и естественных наук . Спрингер. п. 415.
• Томас Микош (1998). Элементарное стохастическое исчисление: с учетом финансов . Сингапур: Мировое научное издательство. п. 212. ИСБН  981-02-3543-7 .
• Сейфедин Кадри (2007). «Решение линейного стохастического дифференциального уравнения». Всемирные труды по математике . США: WSEAS TRANSACTIONS по МАТЕМАТИКЕ, апрель 2007 г.: 618. ISSN   1109-2769 .
• Хайэм, Десмонд Дж. (январь 2001 г.). «Алгоритмическое введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений». Обзор СИАМ . 43 (3): 525–546. Бибкод : 2001SIAMR..43..525H . CiteSeerX   10.1.1.137.6375 . дои : 10.1137/S0036144500378302 .
• Десмонд Хайэм и Питер Клоден: «Введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений», SIAM, ISBN   978-1-611976-42-7 (2021 г.).