Бессельский процесс

В математике процесс Бесселя , названный в честь Фридриха Бесселя , является разновидностью случайного процесса .

Формальное определение

Три реализации процессов Бесселя.

Процесс Бесселя порядка n — это вещественный процесс X, заданный (когда n ≥ 2) формулой

$X_{t}=\|W_{t}\|,$

где ||·|| обозначает евклидову норму в R ^н и W — n -мерный винеровский процесс ( броуновское движение ).Для любого n -мерный процесс Бесселя n является решением стохастического дифференциального уравнения (СДУ)

$dX_{t}=dW_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}$

где W — одномерный винеровский процесс ( броуновское движение ). Обратите внимание, что это СДУ имеет смысл для любого реального параметра. $n$ (хотя член дрейфа сингулярен в нуле).

Обозначения

Обозначение процесса Бесселя размерности n, начинающегося с нуля, — BES ₀ ( n ) .

В определенных размерах

При n ≥ 2 n -мерный винеровский процесс, начатый в начале координат, является переходным от своей начальной точки: с вероятностью единица , т. е. X _t > 0 для всех t он является рекуррентным по соседству > 0. Однако для n = 2 . , что означает, что с вероятностью 1 для любого r > 0 существуют сколь угодно большие t с X _t < r ; с другой стороны, оно действительно является переходным при n > 2, а это означает, что X _t ≥ r для всех t достаточно больших .

При n ≤ 0 процесс Бесселя обычно начинается в точках, отличных от 0, поскольку дрейф к 0 настолько силен, что процесс застревает в точке 0, как только достигает 0.

Связь с броуновским движением

0- и 2-мерные процессы Бесселя связаны с локальными моментами броуновского движения теоремами Рэя – Найта .

Закон броуновского движения вблизи x-экстремумов — это закон трехмерного процесса Бесселя (теорема Танаки).

Ссылки

• Оксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 .
• Уильямс Д. (1979) Диффузия, марковские процессы и мартингалы, Том 1: Основы. Уайли. ISBN   0-471-99705-6 .